27439984317面积问题

1、面积问题【知识精讲】1、求不规则图形或难以同时求出底和高的三角形的面积，一般的思路是割补法：有一边“水平”或“竖直”的多边形，作垂线分割成直角三角形或直角梯形；“斜”的三角形一般不易找到它的底和高，通常过顶点作铅垂线和水平线“补”成矩形，再减去各角上的直角三角形面积2、对于“斜”三角形可用“铅垂法”求面积3、如果底边与坐标轴的夹角是特殊角，把过顶点的垂线段平移到端点在坐标轴上，则围成一个直角三角形，可求得顶点到该底边的距离，即求得高4、已知抛物线的一条弦，在抛物线的闭合部分上找一点使与该弦组成的三角形面积最大，即把弦所在直线平移至与抛物线只有一个交点的情况，解平移后直线与抛物线的解析式联立所得

2、的方程组，此时判别式等于05、底或高不明显，但已知边的关系，可用由面积比为相似比的平方，间接求得6、运动过程中所求图形要分情况讨论【典型例题】例题1：2009年芜湖市第24题 如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为，将此三角板绕原点顺时针旋转，得到（1）如图，一抛物线经过点，求该抛物线解析式；32112aobxy（2）设点是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形的面积达到最大时点的坐标及面积的最大值例题2：2010年广州市第25题如图所示，四边形oabc是矩形，点a、c的坐标分别为（3，0），（0，1），点d是线段bc上的动点（与端点b、c不重合），过点d作直线交折线oab于点e（

3、1）记ode的面积为s，求s与的函数关系式；cdbaeo（2）当点e在线段oa上时，若矩形oabc关于直线de的对称图形为四边形oa1b1c1，试探究oa1b1c1与矩形oabc的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由变式练习2：2009年益阳市第25题阅读材料：如图1，过abc的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫abc的“水平宽”(a)，中间的这条直线在abc内部线段的长度叫abc的“铅垂高”(h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法：sabcah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题：如图2，抛物线顶点

4、坐标为点c(1，4)，交x轴于点a(3，0)，交y轴于点b.（1）求抛物线和直线ab的解析式；（2）求cab的铅垂高cd及scab ；xcoyabd11图2（3）设点p是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点p，使spabscab，若存在，求出p点的坐标；若不存在，请说明理由.bc铅垂高水平宽ha图1a例题3：2009年大连市第24题debpacq如图，矩形abcd中，ab = 6，ad = 3，点e在边dc上，且de = 4动点p从点a开始沿着abce的路线以2单位/s的速度移动，动点q从点a开始沿着ae以1单位/s的速度移动，当点q移动到点e时，点p停止移动若点p、q从点a同时出

5、发，设点q移动时间为t（s），p、q两点运动路线与线段pq围成的图形面积为s，求s与t的函数关系式例题4：2008年广州市第25题如图，在梯形中， ab = ad = dc =2，bc = 4在等腰中，底边qr = 6点、在同一条直线上，且、两点重合如果等腰以1单位长度 / 秒的速度沿直线按箭头所示方向匀速运动，秒时梯形与等腰重合部分的面积记为s（1）当时，求的值；（2）当时，求与的函数关系式，并求出的最大值【真题演练】12009年恩施自治州第24题acbdea如图，在abc中，a90，bc10，abc的面积为25，点d为ab边上的任意一点（d不与a、b重合），过点d作debc，交ac于点e设

6、dex，以de为折线将ade翻折（使ade落在四边形dbce所在的平面内），所得的a de与梯形dbce重叠部分的面积记为y（1）用x表示ade的面积；（2）求出0 x 5时y与x的函数关系式；（3）求出5 x 10时y与x的函数关系式；（4）当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？22008年丽水市第24题如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动（1）求线段所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点的横坐标为，用的代数式表示点的坐标；当为何值时，线段最短？（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使的面

7、积与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由boapm图132112aoxybp专题七参考答案例题1：（1） （2）解法一：如图1，为第一象限内抛物线上一动点，设则点坐标满足连接=当时，最大此时，即当动点的坐标为时，最大，最大面积为图2g32112aopeflxyb解法二：如图2，连接，p为第一象限内抛物线上一动点，且的面积为定值，最大时，必须最大而长度为定值，最大时点到的距离最大将直线向上平移到与抛物线有唯一交点时，到的距离最大设与直线平行的直线的解析式为联立，得令解得此时直线的解析式为： 代入解得，直线与抛物线唯一交点坐标为 设与轴交于则过作于 在中，过作于 则到的距离 此

8、时四边形的面积最大的最大值为：例题2：（1）由题意得b（3，1）图1若直线过a（3，0）时，b；过b（3，1）时，b；过c（0，1）时，b1若直线与折线oab的交点在oa上时，即1b，如图1，此时e（2b，0），图2soeco2b1b若直线与折线oab的交点在ba上时，即b，如图2此时e（3，），d（2b2，1），ss矩(socdsoae sdbe ) 3(2b1)1(52b)()3()图3（2）如图3，设o1a1与cb交于m，oa与c1b1交于n，则矩形oa1b1c1与矩形oabc的重叠部分的面积，即为四边形dnem的面积由题意知，dmne，dnme，四边形dnem为平行四边形根据轴对称知，

9、medned，又mdened，medmde，mdme，平行四边形dnem为菱形过点d作dhoa，垂足为h，由题意知，tanden，dh1，he2，设菱形dnem 的边长为a，则在rtdhm中，由勾股定理知：，s四边形dnemnedh矩形oa1b1c1与矩形oabc的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为变式练习2：（1）；直线ab：（2）c点坐标为（1，4），当x时，y14，y22，即cd4-22（平方单位）（3）假设存在符合条件的点p，设p点的横坐标为x，pab的铅垂高为h，则由spab=scab，得：化简得：，解得，将代入中，解得p点坐标为例题3：rtade中，当03时，过点q作qmab于m

10、，连接qpabcd，qam=dea，又amq=d=90，aqmead， 当3时，过点q作qmab于m， qnbc于n， 连接qb由知aqmead， ，qn=+（） 当5时连接qb、qc，过q分别作qhdc于h，qmab于m，qnbc于n 由题意得qhad，ehqeda， 例题4：（1）如图1、过点作于点，过点作于点， 则 四边形aged为矩形，从而ad = ge 在梯形中， 在rtcde中，在等腰中，过点作于点， 在中，即点p在直线ad上 ， 如图2，当时，点与点重合，点与点重合重合部分为bcd 图2 图1 （2）当时，如图3，则 设与交于点，与交于点在中，可求得， 过点作于点在中， 同理可得

11、， 当时，当时，如图4，则，设与交于点， 在中，为直角三角形 ， ，当时， 综上所述，当时，s有最大值图3图41（1）debc ，ade=b，aed=cadeabc，即（2）bc=10，bc边所对的三角形的中位线长为5，当0 时，（3）当10时，点a落在三角形的外部，其重叠部分为梯形sade=sade=de边上的高ah=ah=由已知求得af=5，af=aaaf=x5由amnade知，（4）在函数中，0x5，当x=5时，y的最大值为在函数中，当时，y的最大值为综上所述，当时，y的最大值为2（1）设所在直线的函数解析式为，（2，4），即所在直线的函数解析式为.（2）顶点m的横坐标为，且在线段上移动，（02）.顶点的坐标为(,).抛物线函数解析式为.当时，（02）.点的坐标是（2，）.=， 又02，当时，pb最短.（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.假设在抛物线上存在点，使.设点的坐标为（，）.当点落在直线的下方时，过作直线/，交轴于点，点的坐标是（0，）.点