第三章 力学量的算符

1、第三章 力学量的算符3-1 算符的引入代表对波函数进行某种运算或变换的符号代表对波函数进行某种运算或变换的符号 由于算符只是一种运算符号，所以它单独存由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：函数做相应的运算才有意义，例如： u = v 表示表示 把函数把函数 u 变成变成 v， 就是这种变就是这种变 换的算符。换的算符。1）du / dx = v ， d / dx 就是算符，其作用就是算符，其作用 是对函数是对函数 u 微商，微商， 故称为微商算符。故称为微商算符。2）x u =

2、v， x 也是算符。也是算符。 它对它对 u 作用作用 是使是使 u 变成变成 v。 izkyjxiiprrxx 体系状态用坐标表象中的波函数体系状态用坐标表象中的波函数 (r) (r) 描描写时，坐标写时，坐标 x x 的算符就是其的算符就是其自身自身，即，即说明力学量在说明力学量在自身表象中的算符形式最简单自身表象中的算符形式最简单。dxdipx 而动量而动量 p px x 在坐标表象（非自身表象）中的形式在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：必须改造成动量算符形式：三维情况三维情况：rdrTrTTmpTmpT)()(2222 则则所以动能算符所以动能算符在经典力学中，在

3、经典力学中，角动量算符角动量算符prLprL )()()(xyyxipypxLzxxzipxpzLyzzyipzpyLxyzzxyyzx 三三个个分分量量：rdrLrL)()( Hamilton Hamilton 算符算符的粒子的粒子在势场中在势场中)(2)()(22rVmrVTHVTHrV 问题：问题：算符、动量算符、算符、动量算符、 Hamilton算符算符nnnFF 其中其中F Fn n, , n n 分别称为算符分别称为算符 F F的本征值和相应的本征态，的本征值和相应的本征态，上式即是算符上式即是算符F F的本征方程。求解时，的本征方程。求解时， 作为力学量作为力学量的本征态或本征函

4、数还要满足物理上对波函数的要求的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。即波函数的标准条件。3-2 3-2 算符的本征值和本征函数算符的本征值和本征函数问题：问题：本征值、本征态、本征方程本征值、本征态、本征方程（1 1）线性算符）线性算符(c11+c22)= c11+c22其中其中c1, c2是任意复常数，是任意复常数， 1, 1是任意两个波函数。是任意两个波函数。满足如下运算规律的满足如下运算规律的 算符算符 称为线性算符称为线性算符是是线线性性算算符符。单单位位算算符符动动量量算算符符Iip 例如：例如：开方算符、取复共轭就不是线性算符。开方算符、取复共轭就不是线

5、性算符。 注意：注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。加原理的反映。3-3 算符的运算规则 线性厄米算符（2 2）算符相等）算符相等 若两个算符若两个算符 、对体系的任何波函数对体系的任何波函数 的运算结果都相的运算结果都相 同，即同，即= ，则算符则算符 和算符和算符 相等记为相等记为 = 。（3 3）算符之和）算符之和 若两个算符若两个算符 、 对体系的任何波函数对体系的任何波函数 有：有： ( + ) = + = 则则 + = 称为算符之和。称为算符之和。算符求和满足交换率和结合率。算符求和满足交换率和结合率。之之

6、和和。势势能能算算符符和和体体系系动动能能算算符符等等于于算算符符表表明明VTHHamiltonVTH 例如：体系例如：体系Hamilton 算符算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 - - = = + + （- -）。）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。很易证明线性算符之和仍为线性算符。（4 4）算符之积）算符之积若若 ( ) = () = 则则 = 其中其中是任意波函数。是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即一般来说算符之积不满足交换律，即 这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。（

7、5 5）对易关系）对易关系若若 ，则称则称 与与 不对易不对易。不不对对易易。例例如如：算算符符 xxipx xxxxiixpx )()1(证证：显然二者结果不相等显然二者结果不相等ixppxixppxxppxxxxxxx 所所以以是是任任意意波波函函数数，因因为为）（而而 xxxxiixixp )()2(对易对易关系关系 izppziyppyzzyy与与共共轭轭动动量量满满足足同同理理可可证证其其它它坐坐标标算算符符zyxppppixppx,0 量子力学中最基本的量子力学中最基本的 对易关系。对易关系。写成通式写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相

8、互对易。对易，各动量之间相互对易。（6 6）对易括号）对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号：对易括号： , - 不难证明对易括号满足如下对易关系：不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) , = - , 2) ,+ = , + , 3) , = ,+ , 4) , + , + , , = 0 上面的第四式称为上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。恒等式。 ipx ,（7 7）逆算符）逆算符1. 定义定义: 设设= , 能够唯一的解出能够唯一的解出, 则可定义则可定义算符算符之逆之逆

9、-1 为为:-1 = 并不是所有算符都存并不是所有算符都存在逆算符在逆算符, ,例如投影例如投影算符就不存在逆算符就不存在逆. .2.性质性质 I: 若算符若算符之逆之逆-1存在存在,则则 -1 = -1 = I , , -1 = 0证证: =-1=-1()=-1因为因为是任意函数是任意函数,所以所以-1=I成立成立. 同理同理,-1=I 亦成立亦成立.3.性质性质 II: 若若 , 均存在逆算符均存在逆算符, 则则 ( )-1 = -1 -1例如例如: : nnFnxxFn!)0(0)()( 设给定一函数设给定一函数 F(x),F(x),其各阶导数均存在其各阶导数均存在, ,其幂级数展开收敛

10、其幂级数展开收敛则可定义算符则可定义算符 的函数的函数 F()为为:nnFnUUFn)(!)0(0)( ninntHitHe!10 （8 8）算符函数）算符函数（9 9）复共轭算符）复共轭算符算符算符的复共轭算符的复共轭算符*就是把就是把表达式中表达式中的所有量换成复共轭的所有量换成复共轭.piip*)(* 例如例如: : 坐标表象中坐标表象中是是两两个个任任意意函函数数。和和式式中中定定义义为为：的的转转置置算算符符算算符符 *UdUdUU（1010）转置算符）转置算符()ABBA可以证明：xx ：例例*xdx证：利用波函数标准条件利用波函数标准条件: 当当|x| 时时, 0。0)(* xx

11、dxxxxx 0)(xxpp 由于由于、是任意波是任意波函数函数, 所以所以 * xdx xdx*|*xdx 同理可证同理可证: :(11)厄密共轭算符厄密共轭算符 *)(*OdOd *)(*OdOd由此可得：由此可得：:转置算符转置算符的定义的定义*OO 厄密共轭厄密共轭算符亦可算符亦可写成：写成：算符算符 之厄密共轭算符之厄密共轭算符 + 定义定义:可以证明可以证明: ( )+ = + + ( .)+ = . + + + *)(* Od * Od *Od(12) (12) 厄米算符厄米算符满足如右关系的算符满足如右关系的算符称为厄密算符称为厄密算符.OOOdOd*)(* 或或 性质性质 I

12、: 两个厄密算符之和两个厄密算符之和仍是厄密算符。仍是厄密算符。 + = , + = (+)+ = + + + = (+) 性质性质 II: 两个厄密算符之积一般两个厄密算符之积一般不是厄密算符不是厄密算符, 除非二算符对易。除非二算符对易。 因为因为 ( )+ = + + = 仅当仅当 , , = 0 成立时成立时, ( )+ = 才成立。才成立。问题：问题：厄米算符厄米算符定理定理I I：体系任何状态体系任何状态下，其厄密算符的平下，其厄密算符的平 均值必为实数。均值必为实数。证：证： FdF* *)(Fd* Fd*F 逆定理：在任何状态下，平均值均为逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数

13、的算符必为厄密算符。实数的算符必为厄密算符。 nnFdF *定理定理IIII：厄密算符的本征值必为实。厄密算符的本征值必为实。 当体系处于当体系处于 F F 的本征态的本征态n n 时，则每次测量时，则每次测量结果都是结果都是 F Fn n 。由由 本征方程可以看出，在本征方程可以看出，在n n（设已归一）态下（设已归一）态下证证 nnndF *nF 是是实实数数。所所以以必必为为实实，nFF量子力学基本假定量子力学基本假定IIIIII(I) (I) 量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。(II) (II) 测量力学量测量力学量F F时所有可能出现的值，都

14、对应于时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符线性厄密算符 F F的本征值的本征值 F Fn n（即测量值是本征值之（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符一），该本征值由力学量算符 F F的本征方程给出的本征方程给出（问题？）（问题？）（1 1）正交性）正交性定理定理III： 厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交证：mmmnnnFFFF 设设存存在在并并设设积积分分 dnn*)*(mmmFF 取复共轭，取复共轭， F Fm m 为实数为实数两边右乘两边右乘 n 后积分后积分 dFdFnmmnm*)( dFdFdFnmnnmnm*)(二式相减得

15、二式相减得:0*)( dFFnmnm若若FmFn，则必有：，则必有：0* dnm 证毕证毕 3-4 3-4 厄密算符本征函数的正交性和完全性厄密算符本征函数的正交性和完全性（2 2）分立谱、连续谱正交归一表示式）分立谱、连续谱正交归一表示式1. 分立谱正分立谱正 交归一条交归一条 件分别为：件分别为： mnnmnmnnddd *0*1*2. 连续谱正连续谱正 交归一条交归一条 件表示为：件表示为： )(* d3. 正交归一系正交归一系满足上式的函数系满足上式的函数系 n 或或 称为正交归一（函数）系。称为正交归一（函数）系。（4）简并情况）简并情况如果如果 F F 的本征值的本征值F Fn n

16、是是f f度简并的，则对应度简并的，则对应F Fn n有有f f个本征函数：个本征函数：n1n1 , ,n2 n2 , ., , ., nfnf 满足本征方程：满足本征方程：fiFFninni, 2 , 1 一般说来，这些函数一般说来，这些函数 并不一定正交。并不一定正交。证证明明由这由这 f 个个n i 线性组合成线性组合成 f 个新函数个新函数 n jfjAnijifinj, 2 , 11 可以满足正交归一化条件：可以满足正交归一化条件：fjjdAAdj jinniijjififijnnj,2 , 1,*11 nijifinjAFF 1nijifiFA 1 nijifinAF 1njnF

17、算符算符 F F 本征值本征值 F Fn n简并的简并的本质是当本质是当 F Fn n 确定后还不确定后还不能唯一的确定状态，要能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力寻找另外一个或几个力学量算符，学量算符，F F 算符与这算符与这些算符对易，其本征值些算符对易，其本征值与与 F Fn n 共同确定状态。共同确定状态。综合上述讨论可得如下结论：综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时， 都是正交归一化的，即

18、组成正交归一系。都是正交归一化的，即组成正交归一系。1. 函数的完备性函数的完备性有一组函数有一组函数n n(x) (n=1,2,.),(x) (n=1,2,.),如果任意如果任意函数函数(x)(x)可以按这组函数展开可以按这组函数展开: :)()(xcxnnn 则称这组函数则称这组函数n(x) 是完备的。是完备的。pdrpcrpdrtpctrpp33)()()()(),(),( 或或例如：动量本征函数例如：动量本征函数 组成完备系组成完备系(2) 力学量算符本征函数组成完备系力学量算符本征函数组成完备系2. 2. 力学量算符的本征函数组成完备系力学量算符的本征函数组成完备系nnnF )()(

19、xcxnnn 则任意函数则任意函数(x) 可可 按按n(x) 展开：展开： 但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一般证明，这将涉及到一个颇为是否一定完备并无一般证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点分析，量复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点分析，量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。备系。问题：问题：正交性和完全性正交性和完全性 量子力学基本假定量子力学基本假定IIIIII告诉人们，在任意态告诉人们，在任意态(r)(r)中测量任一力学量中测量任一力学量

20、F F，所得的结果只能是由算符，所得的结果只能是由算符 F F 的本征方程的本征方程nnnF 解得的本征值解得的本征值n n之一。之一。但是还有但是还有 两点问题两点问题 没有搞清楚：没有搞清楚：1. 1. 测得每个本征值测得每个本征值n n的几率是多少？也就是说，哪些本征值能的几率是多少？也就是说，哪些本征值能够测到，对应几率是多少，哪些测不到，几率为零。够测到，对应几率是多少，哪些测不到，几率为零。2. 是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。要解决上述问题，要解决上述问题， 我们还得从讨论我们还得从讨论 本征函数的另一本征函数的

21、另一 重要性质入手。重要性质入手。3-5 3-5 力学量平均值的计算力学量平均值的计算 力学量的可能值和相应几率力学量的可能值和相应几率 现在我们再来讨论在一般状态现在我们再来讨论在一般状态 (x) (x) 中测量力学中测量力学量量F F，将会得到哪些值，即测量的可能值及其每一可能，将会得到哪些值，即测量的可能值及其每一可能值对应的几率。值对应的几率。)()(xcxnnn dxxcxdxxxnnnmm)()()()( dxxxcnmnn)()(* mmnnncc dxxxcnn)()( 即即 c cn n 则是则是 F F 空间的波函数空间的波函数证明：当证明：当(x)(x)已归一时，同样已归

22、一时，同样 c cn n 也是也是 归一的。归一的。dxccdxxxmmmnnn *)()(1nmmnmncc * 2|*nnnnnccc dxccmnmnmn * 所以所以|c|cn n| |2 2 具有几率的意义，具有几率的意义，c cn n 称为几率振幅。我们知道称为几率振幅。我们知道|(x)|(x)|2 2 表示在表示在x x点找到粒子的几率密度，点找到粒子的几率密度，|c(p)|c(p)|2 2 表示表示粒子具有动量粒子具有动量 p p 的几率，那末同样，的几率，那末同样，|c|cn n| |2 2 则表示则表示 F F 取取 n n 的几率。的几率。综上所述，量子力学作如下假定：综

23、上所述，量子力学作如下假定：量子力学基本假定量子力学基本假定IVIV 任何力学量算符任何力学量算符 F F 的本征函数的本征函数n n(x)(x)组成正交组成正交归一完备系，在任意已归一态归一完备系，在任意已归一态(x)(x)中测量力学量中测量力学量 F F 得到本征值得到本征值n n 的几率等于的几率等于(x)(x)按按n n(x)(x)展开式中展开式中对应本征函数对应本征函数n n(x)(x)前的系数前的系数 c cn n 的绝对值平方。的绝对值平方。)()(xcxnnn 问题：问题：量子力学基本假定量子力学基本假定IV如果波函数未归一化如果波函数未归一化nnncF 2| 同样，在任一态同

24、样，在任一态(x) (x) 中测量某力学量中测量某力学量 F F 的的 平均值（在理论上）平均值（在理论上） 可写为：可写为： dxxxdxxFxFccFnnnnn)()()()(|*22 dxxFxF)()(* 此式此式等价于等价于 以前的平均以前的平均 值公式值公式力学量的平均值力学量的平均值3-6 3-6 不同力学量同时有确定值的条件不同力学量同时有确定值的条件如果力学量如果力学量 F F 有确定值，有确定值， （x x）必为）必为 F F 的本征态，即的本征态，即 F如果有另一个力学量如果有另一个力学量 G G 在在 态中也有确定值，态中也有确定值， 则则 必也是必也是 G G 的一个

25、本征态，即的一个本征态，即 G结论：结论：当在当在 态中测量力学量态中测量力学量 F F 和和 G G 时，如果同时具有确时，如果同时具有确定值，那么定值，那么 必是二力学量共同本征函数。必是二力学量共同本征函数。两算符对易的物理含义两算符对易的物理含义 GF FG FGFGFG0)( GFFGGFFG是特定函数，是特定函数， 非任意函数也！非任意函数也！但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。考察前面二式：考察前面二式： G F定理：定理：若两个力学

26、量算符有一组共同完备的本征若两个力学量算符有一组共同完备的本征 函数系，则二算符对易。函数系，则二算符对易。证：证：,3,2,1 nGGFFnnnnnn 已已知知：)()(xcxnnn 则则nnncFGGFxFGGF )()()(nnnFGGFc )( nnnnnnnGFFGc )( nnnnnFGGFc )( 因为因为 (x) (x) 是任意函数是任意函数0 FGGF所所以以0 定理：定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系一组力学量算符具有共同完备本征函数系 的充要条件是这组算符两两对易。的充要条件是这组算符两两对易。例例 .,)2(1)(,2/3zyxrpipzyxppperppp同同

27、时时有有确确定定值值：共共同同完完备备本本征征函函数数系系：两两两两对对易易；动动量量算算符符： 问题：问题：不同力学量同时有确定值的条件不同力学量同时有确定值的条件力学量完全集合力学量完全集合（1 1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。例例 1 1： 三维空间中自由粒子，完全确定其状三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：态需要三个两两对易的力学量：.,zyxppp例例 2 2：一维谐振子，只需要一个力一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：学量就可完全确定其状态：H（2 2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同（3 3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开3-7 3-7 测不准关系的严格证明测不准关系的严格证明 两力学