参考系与坐标系

1、1物理学物理学( (上册上册) )第第0章章 绪论和数学预备知识绪论和数学预备知识物理学是探讨物质结构和运动基本规律的学科。2第一节第一节 课程介绍课程介绍物质世界普遍而基本的规律运动形式：运动形式：机械运动：研究物质相对位置的变化力学热运动：研究物质的热现象分子物理学，热学电磁运动：研究带电体及其在电磁场中的运动电磁学原子运动：研究原子及原子内部的运动原子物理学3物质物质：（）实体看得见，摸得着（）场摸不着，也不易看到，但能感觉到大学物理课程的地位、性质和目的大学物理课程的地位、性质和目的（1）使学生较全面系统地掌握自然界各种基本运动形式及其规律的知识，让学生打下坚实的物理基础；4大学物理是

2、一门必修公共基础课；（2）培养学生的科学思想和研究方法，提高科学素养；激发同学们的探索和创新精神，增强学生自我更新知识的能力，以适应飞速发展的科技时代的种种要求。通过本课程的学习：通过本课程的学习：怎样学好大学物理？思想上重视，主观上努力，认真听讲，虚心学习！思想上重视，主观上努力，认真听讲，虚心学习！5注重新概念、新内容的学习注重新概念、新内容的学习培养利用高等数学思考、处理问题的能力培养利用高等数学思考、处理问题的能力养成自主、自觉学习的好习惯养成自主、自觉学习的好习惯积极进取，不要松懈积极进取，不要松懈应该抓好以下几个环节：应该抓好以下几个环节：一、做好准备。一、做好准备。二、科学学习。

3、二、科学学习。三、共同学习。三、共同学习。四、课堂学习。四、课堂学习。五、理解例题。五、理解例题。六、完成作业。六、完成作业。七、复习与总结。七、复习与总结。大学物理作业基本要求大学物理作业基本要求完成一定数量的作业习题是为了熟练掌握、灵活运用基本物理概念和原理，提高分析解决问题的能力。长期坚持认真地做好每一道习题还有助于培养严谨的科学作风，提高清晰的论证和表述能力。7课程考核方法和纪律要求课程考核方法和纪律要求 成绩评定采用100分制，60分为及格线：平时成绩占20%，期末考试占80%。 平时成绩主要以平时作业完成情况、课堂纪律.具体是：v（1）旷课1节扣1分；v（2）缺交一次作业扣1分；v

4、（3）20分扣完为止。8第二节第二节 矢量代数的基本知识矢量代数的基本知识一、标量和矢量的概念1. 定义标量只有大小，例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等；矢量既有大小又有方向，并有一定的运算规则，例如：位移、速度、加速度、角速度、力矩、角动量、电场强度、磁感应强度等等；9解析表示解析表示: :几何表示几何表示: : 大小大小: :4. 4. 单位矢量单位矢量长度为一个单位的矢量长度为一个单位的矢量10),( 321AAAA AA有指向的线段有指向的线段3. 3. 矢量相等矢量相等两个矢量大小相同，方向相同两个矢量大小相同，方向相同AAeA2. 2. 矢量（矢量（vectorvector

5、）的几种表示方式）的几种表示方式11矢量的运算法则矢量的运算法则：交换律交换律ABBA 结合律结合律CBACBA )()(1 1、加法：（矢量的合成）、加法：（矢量的合成）含平行四边形法则和三角形法则平行四边形法则 三角形法则 BAC2 2、矢量的数乘：、矢量的数乘：反向与同向与方向大小ACACACCA 0 0 12结合律结合律AA)()(分配律分配律AAABABA)()(矢量乘标量结果仍为矢量矢量乘标量结果仍为矢量3. 3. 矢量的分解矢量的分解 在一个平面内，若存在两个不共线的矢量 和 ， 则平面内的任一矢量可以分解为：（1）正交分解：选择（2）三维空间中应有3个不共面的矢量131e2e2

6、211eAeAA21ee的投影（分量）。方向上 在 为矢量 为单位矢量，则 如果.)(,cosBABABBAABBA之间的夹角与是其中14交换律交换律ABBA 分配律分配律CABACBA )(1)(1)定义定义BABAAAAA或或，则若000B024. 4. 矢量的标积（点积、内积）矢量的标积（点积、内积）(2)(2)性质性质15)0(sin:ABBAC大小5. 5. 矢量的矢积（叉积、外积）矢量的矢积（叉积、外积） (1)(1)定义定义AB方向:时右手螺旋方向的角转向经小于由BA180CBAAB 16CABACBA)(0 AAABBA 不交换！不交换！BA AB 【思考思考】下列运算下列运算

7、“合法合法”吗？吗？DCBAln,1 (2)(2)性质性质矢量与标量不能相等！矢量与标量不能相等！ 书写时别忘记加上矢量号（帽子）。书写时别忘记加上矢量号（帽子）。1. 正交坐标系的基矢 一个坐标系需要由基矢量组成的基，基矢量相互正交的坐标系称为正交坐标系。直角坐标系是正交坐标系，它的基为： 17), kji（三、正交坐标系三、正交坐标系jikikjkjikkjjiiikkjji;102. 2. 矢量运算在正交坐标系中的表示矢量运算在正交坐标系中的表示 一个矢量可以用基矢展开一个矢量可以用基矢展开( (即按基矢分解，也称即按基矢分解，也称向坐标轴投影向坐标轴投影) )开可利用拉普拉斯定理展zy

8、xzyxzzyyxxzyxBBBAAAkjiBABABABABAkAjAiAA1819第一部分第一部分 力学力学20运动学运动学( (kinematics) ) 动力学动力学( (dynamics) )静力学静力学( (statics) )只描述物体的运动，不涉及引起运动和改只描述物体的运动，不涉及引起运动和改变运动的原因。变运动的原因。研究运动与相互作用之间的关系。研究运动与相互作用之间的关系。研究物体在相互作用下的平衡问题。研究物体在相互作用下的平衡问题。21第第一一章章 质点运动学质点运动学 Kinematics of particles一切物理现象都是物质运动的表现一切物理现象都是物质

9、运动的表现22 在物质的各种运动形式中，最简单、最基本的一种在物质的各种运动形式中，最简单、最基本的一种运动是物体之间运动是物体之间( (或物体各部分之间或物体各部分之间) )相对位置的变化，相对位置的变化，称为称为机械运动机械运动。机械运动是一切物理运动机械运动是一切物理运动中最简单的运动；中最简单的运动；质点的曲线运动是机械运质点的曲线运动是机械运动中最基本的形式动中最基本的形式1-11-1质点运动的描述质点运动的描述2323一时间和空间一时间和空间1. 时间的单位和标准时间的单位和标准时间表征物质运动的持续性。时间表征物质运动的持续性。 1s是铯的一种同位素是铯的一种同位素133 Cs原

10、子发出的原子发出的一个特征频率光波周期的一个特征频率光波周期的9 192 631 770倍倍1s为平均太阳日的为平均太阳日的1/86400国际计量大会规定国际计量大会规定2. 2. 时间和时刻时间和时刻一个过程对应的时间间隔称一个过程对应的时间间隔称时间时间，某一瞬时，某一瞬时称称时刻时刻。242.2.空间空间 长度的单位和标准长度的单位和标准空间反映物质运动的广延性。空间反映物质运动的广延性。 1 m是光在真空中是光在真空中(1/299 792 458)s时间间时间间隔内所经路径的长度隔内所经路径的长度国际计量大会规定国际计量大会规定 18 世纪世纪法国把通过巴黎的子午线从北极法国把通过巴黎

11、的子午线从北极到赤道之间长度的千万分之一定义为米，到赤道之间长度的千万分之一定义为米，二、参考系、坐标系和质点二、参考系、坐标系和质点 宇宙中的一切物体都在运动，没有绝对静止宇宙中的一切物体都在运动，没有绝对静止的物体，这叫的物体，这叫运动的绝对性运动的绝对性。251. 1. 参考系（参照系参考系（参照系）太阳系太阳系zx y地心系地心系地面系地面系参考系的选择可视问题性质而任意选定：参考系的选择可视问题性质而任意选定：研究地球的运动时，太阳为参考系；研究地球的运动时，太阳为参考系；研究地面上物体的运动时，以地球为参考系研究地面上物体的运动时，以地球为参考系26 为了描述一个物体的机械运动，必

12、须选另一个为了描述一个物体的机械运动，必须选另一个物体作为参考物，被选作参考的物体称为物体作为参考物，被选作参考的物体称为参考系参考系同一物体的运动，由于我们选取的参考系不同，同一物体的运动，由于我们选取的参考系不同，对它的运动的描述就不同，这称为对它的运动的描述就不同，这称为运动描述的相运动描述的相对性对性。因此，描述运动必须指出参考系因此，描述运动必须指出参考系! !例如例如: :火车开动后火车开动后, ,火车上的乘客看火车上的乘客看同车厢的乘客同车厢的乘客和和车外的树木房屋车外的树木房屋 车外的人车外的人2. 2. 坐标系坐标系只有参考系不能定量地描述物体在各个时刻相对于只有参考系不能定

13、量地描述物体在各个时刻相对于参考系的位置。所以必须在参考系上选取适当的参考系的位置。所以必须在参考系上选取适当的坐标坐标系系。这样就可定量描述物体的位置。这样就可定量描述物体的位置。27最常用的坐标系是最常用的坐标系是直角坐标系直角坐标系。其它的。其它的坐标系还有极坐标系、坐标系还有极坐标系、自然坐标系、柱坐标自然坐标系、柱坐标系和球坐标系系和球坐标系。3. 3. 质点质点注意注意：（1 1）质点为一个理想模型；物理学中有很多模型（以后将会接触到），是实际）质点为一个理想模型；物理学中有很多模型（以后将会接触到），是实际情况的简化。是对复杂问题抽出主要矛盾，加以研究的有效方法；情况的简化。是对

14、复杂问题抽出主要矛盾，加以研究的有效方法；（2 2）能否将运动物体视为质点要视乎问题的性质；例如：研究足球的运动、花）能否将运动物体视为质点要视乎问题的性质；例如：研究足球的运动、花样溜冰运动员的运动？样溜冰运动员的运动？28在某些问题中，物体的形状和大小对我们所在某些问题中，物体的形状和大小对我们所关心的问题影响不大，可以忽略不计，这样就关心的问题影响不大，可以忽略不计，这样就可把物体看成一个可把物体看成一个只有质量、没有大小和形状只有质量、没有大小和形状的几何点的几何点，这样的物体称为，这样的物体称为质点质点。（足球的大小尺寸和旋转情况相对于飞行的弧线可忽略不计；足球的大小尺寸和旋转情况相

15、对于飞行的弧线可忽略不计；花样溜冰运动员动作复杂，既有旋转又有平移，动作进行技术分解花样溜冰运动员动作复杂，既有旋转又有平移，动作进行技术分解只研只研究滑行路线究滑行路线）。）。（3 3）在本课程力学部分，除了刚体以外，一般将物体视为质点。）在本课程力学部分，除了刚体以外，一般将物体视为质点。29三位置矢量运动方程三位置矢量运动方程 位移位移 矢量作用矢量作用矢量运算规则矢量运算规则 物理定律用矢量表示形式简洁；使物理定律用矢量表示形式简洁；使定律的推导大为简化。定律的推导大为简化。 加减法遵从平行四边形法则或三角形加减法遵从平行四边形法则或三角形法则。法则。矢量矢量方向的变化方向的变化同样重

16、要同样重要注意注意30. .位置矢量（位矢）位置矢量（位矢）为描述质点的运动，我们在参考系上建立了坐标系。如何确定质点在某一时刻的位置呢？仅有一个数量的概念行不行？例：一个人在距中北大学五公里的地方，现派人去找他例：一个人在距中北大学五公里的地方，现派人去找他(1)(1)位置矢量：从坐标原点到质点所在位置位置矢量：从坐标原点到质点所在位置的有向线段叫做的有向线段叫做位置矢量位置矢量我们要用一个矢量来确定质点的位置我们要用一个矢量来确定质点的位置xy31如上例，以中北大学为坐标原点，建立坐标系，如上例，以中北大学为坐标原点，建立坐标系，则这个人的位置可以表示为则这个人的位置可以表示为x0公里53

17、0(2)(2)数学表示数学表示一般地，一质点沿曲线AB运动，某一时刻t质点在A处，j、ir32yx0r矢量可以分解，在二维直角坐矢量可以分解，在二维直角坐标系中，将它沿标系中，将它沿x x轴、轴、y y轴分解轴分解设设 为直角坐标系中为直角坐标系中x x轴和轴和y y轴上的单位矢量轴上的单位矢量则叫做时刻t质点的位置矢量.轴夹角的正切表示方向用与大小用矢量的模表示xxytgyxrjyi xr 22r33则位置矢量可以表示为则位置矢量可以表示为r*Pxyzxzyokj yi xrz 用方向余弦表示用方向余弦表示222zyxr两个要素两个要素方向方向大小大小rxcosrzcosrycos 2. 2

18、. 运动方程运动方程 质点在空间运动时，它相对坐标原点的位质点在空间运动时，它相对坐标原点的位矢是随时间变化的矢是随时间变化的位矢随时间变化的规律位矢随时间变化的规律即为即为运动方程运动方程，记为，记为：35 ktzjtyitxtrr（1）运动方程的分量式x=x(t)、y=y(t)、z=z(t)是运动方程的分量式。（2）运动方程中包含了质点运动的全部信息：可以确定任一时刻质点的位置、速度和加速度；确定质点的运动轨道（3 3）轨道（轨迹）方程）轨道（轨迹）方程在运动方程的分量式中，消去时间t得f f( (x x，y y，z z) )=0=0,此方程称为质点的轨道方轨道方程程；36具体地说，位置矢

19、量末端在空间描出的连续曲具体地说，位置矢量末端在空间描出的连续曲线；直观地说，曲线线；直观地说，曲线ABAB就是质点的运动轨迹；就是质点的运动轨迹；轨道是直线的称为轨道是直线的称为直线运动直线运动；轨道是曲线的称；轨道是曲线的称为为曲线运动曲线运动；37例例已知一质点的位矢为：已知一质点的位矢为：( )(cossin)r tRtitj其中其中R和和 为常量，求该质点的轨迹。为常量，求该质点的轨迹。解：解：rxiyjzkcossin0 xRtyRtz消去参数消去参数 t ：222xyR0z质点的运动轨迹是半径为质点的运动轨迹是半径为R的圆。的圆。1rA2rBrxyOz3. 3. 位移位移（1 1

20、）概念）概念t时刻，质点在A点，位矢为；t+t时刻，质点在B点，位矢为，则在t这段时间内，质点位矢的增量称为质点在t时间内的位移位移。1r2r12rrr它既表示了它既表示了t时间内质点离开时间内质点离开A A点的距离又表示了点的距离又表示了离开离开A A点的方向点的方向（2 2）位移在直角坐标系中的数学表示）位移在直角坐标系中的数学表示39)(2trxyBBrArAroABxx AByy ABrrr jyi xjyyixxABAB)()(平面平面运动运动:三维三维运动运动:kjyyixxrABABAB)()()(zz ，jyixrAAA ，jyixrBBB注意：*位移为矢量，方向从初位置指向末

21、位置。*位移的大小记为，它是位移矢量的长度。12rrr位移和位矢的区别位矢是坐标原点指向质点位置的一段有向线段，与坐标原点的选取有关。位移是质点运动初末位置的位矢之差（满足矢量三角形法则），与坐标原点的选取无关；41),(111zyxA),(222zyxB)(1tr)(2trBxyOzs sr路程 与位移的区别A 质点运动轨迹质点运动轨迹的长度称为路程，的长度称为路程，它是一个它是一个正数正数，是，是一个一个标量标量。从从A到到B：路程路程ABs S位移：矢量，仅与物体的初末位置有关，两点间的位移是唯一的，能完全确定质点位置的改变；路程 ：标量，是t内物体在其轨道上经过的路径的总长，不能完全确

22、定质点位置的改变rs位移大小位移大小 ，是质点实际移动的直线距离，一般情，是质点实际移动的直线距离，一般情况下况下r（1）方向不变的直线运动）方向不变的直线运动rSrddsdssrdrttt所以时，当00limlim0)2(431rA2rBrxyOzr注意注意kj yi xrz 212121z yx222222z yxr222zyxr的意义不同的意义不同rrr rr当 时0tdrrd四、速度四、速度44平均速度平均速度（av. velocityav. velocity）：）：trv 表示质点运动快慢的物理量。表示质点运动快慢的物理量。1. 1. 平均速度平均速度回到前面的示意图，我们定义质点从

23、时刻回到前面的示意图，我们定义质点从时刻t t到时刻到时刻t+tt+t的平均速度为：的平均速度为：trtrrv12注意注意：（1 1）平均速度的物理意义：质点在）平均速度的物理意义：质点在tt时间内运动的平均快慢程度时间内运动的平均快慢程度（2 2）平均速度为矢量，方向就是位移的方向，大小为）平均速度为矢量，方向就是位移的方向，大小为；单位rsm（3）平均速率的概念45tsv 平均速率平均速率（av. speed）：）：*和平均速度的区别 （4）平均速度在直角坐标系中的分解kvjvivktzjtyitxtrvzyx2. 2. （瞬时）速度（瞬时）速度定义：令，则质点在定义：令，则质点在t t时

24、刻的时刻的瞬时速度为瞬时速度为 0limtdrrvtdt 460tdtdrdtdsdtrdvvrd（2 2）速度的方向为元位移的方向，刚好为质点）速度的方向为元位移的方向，刚好为质点所在处轨道曲线的切线方向，并指向运动方向；所在处轨道曲线的切线方向，并指向运动方向；（1 1）速度是矢量，速度的大小称为（瞬时）速率）速度是矢量，速度的大小称为（瞬时）速率而且速率而且速率（3）在直角坐标系中质点的速度表示为：47kvjvivkdtzjdtyidtxdtrvzyxdddd222zyxvvvvv,cos,cos,coszyxvvvvvv大小 方向 思考思考 (1)速度的大小与速率同否？速度的大小与速率

25、同否？ ,.,rsvvttrsvvdrdsvvdtdtdsdrvv 对平均速度平均速率因为所以对瞬时速度瞬时速率因为所以 vvv区别：48瞬时速率瞬时速率平均速率平均速率平均速度平均速度49 一运动质点在某瞬一运动质点在某瞬时位于位矢时位于位矢 的的端点处，其速度大小为端点处，其速度大小为),(yxrtrdd（A）（B）tdds22)dd()dd(tytx（C）（D）（2）注意注意trdd)(trxyo小自然坐标系中速度的大上的一个分量是速度矢量在位矢方向速率，在极坐标系中叫做径向距离随时间的变化率，表示质点到坐标原点的tstrdd;ddyx50 rsrrrrdd d d rsdr ds 与与

26、与与rdrrrdrs12rrr（3）jiyxvvvxyovyvxv 若质点在若质点在二维二维空间空间中运动中运动,其速度为其速度为已知质点的运动方程用已知质点的运动方程用求导求导方法求速度方法求速度ddd,dddxyzxyztttvvv已知质点的速度用已知质点的速度用积分法积分法求质点运动方程求质点运动方程000000( )( )d( )( )d( )( )dtxttyttztx txtty tyttz tzttvvv已知已知 时质点坐标时质点坐标0t 000(,)xyzd( )dxttv000( )lim( )d( )dttdttx txttttvv同理同理例例 一质点做一质点做直线运动直线

27、运动，其运动方程为，其运动方程为223xtt 求：求：（1）从时刻）从时刻 t=1s 到到 t=3s 时间间隔时间间隔内质点位移的大小和它走过的路程内质点位移的大小和它走过的路程, （2） 该质点在第该质点在第1秒末到第秒末到第3秒末这段秒末这段时间内平均速度，时间内平均速度， （3） 第第1秒末和第秒末和第3秒末的瞬时速度。秒末的瞬时速度。解：解： （1）位移大小为）位移大小为(3)(1)(299)(23 1)2mxxx d32dxttv速度变号速度变号1.5st 1(1.5)(1)(24.52.25)(23 1)0.25mxxx 2| | (3)(1.5)| |(299)(24.52.25

28、)| 2.25mxxx路程为：路程为：12| 0.252.252.5mxx （2） 根据定义根据定义（3）第）第 1 秒末和第秒末和第 3 秒末的瞬时速度，秒末的瞬时速度，可在推导出瞬时速度的通式之后再作计算。可在推导出瞬时速度的通式之后再作计算。0dlim32dxtxxttt v11|1.0m sxtv13|3.0m sxt v将将t=1s 和和 t=3s代入代入1122smtxx例例 讨论以下表达式的对错：讨论以下表达式的对错：ddrtv=rs ddrsddddrrttddddsrttvv（1）（5）（3）（4）（2）分析分析: : t00时，位移的大小与路程可时，位移的大小与路程可视为相

29、等。视为相等。因而（因而（3）正确，（）正确，（5）正确，）正确， （2）错误。）错误。 如图：如图：21dr rr dr1r2rddrr（4）是错的。）是错的。ddddrrttv（1 1）也是错的。）也是错的。五、加速度五、加速度)()(tvttvv581. 1. 平均加速度平均加速度tvav在在tt时间内，速度增量为时间内，速度增量为定义平均加速度定义平均加速度：与速度增量与速度增量方向相同方向相同 xr(t+t )r(t) y z 0v (t )v (t+t )vv (t )v (t+t ) 描述速度的大小和方向随时间描述速度的大小和方向随时间发生变化的物理量（表示速度变发生变化的物理量

30、（表示速度变化的快慢）。化的快慢）。592. 2. 瞬时加速度瞬时加速度220limdtrddtvdtvatdtvddtvdaat0时速度增量的极限方向，在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧（如抛体运动）； 大小大小: :方向方向: :单位：单位：2sm（SI制）2v1v1a2a直线运动v/a3. 直角坐标系中加速度的数学表示aaaaaazyxcos,cos,cos60kajaiaktzjtyitxktvjtvitvtvazyxzyx222222dddddddddddddd222zyxaaaaa大小大小:方向方向:000000( )( )d( )( )d( )( )dtxxxttyyyttzzzt

31、ta ttta ttta ttvvvvvv( )xa t( )ya t( )za t0 xv0yv0zv另一方面，只要知道了质点在各时刻的瞬时加速度另一方面，只要知道了质点在各时刻的瞬时加速度的分量的分量，（通常是由动力学规律确定）和质点在初始时刻即（通常是由动力学规律确定）和质点在初始时刻即t=0时的速度时的速度例例1-3 一质点沿一质点沿y轴作直线运动，它的运动方程为：轴作直线运动，它的运动方程为：235ytt （SI制）。求：第制）。求：第2s内质点的平均加内质点的平均加速度以及速度以及t=1s末和末和t=2s末的瞬时加速度。末的瞬时加速度。解：先求出瞬时速度的表达式：解：先求出瞬时速度

32、的表达式：2d103dyytttv22210() 3() (103 )1063()ytttttttttt v10 63yyattt v第2s内(2 1)s1st 210 6 3 1m sya 瞬时加速度瞬时加速度0d106dlimyyytattt vv21|4.0m sy ta22|2.0m sy ta 例例1-4 已知一质点的运动方程为已知一质点的运动方程为22(48)titrj（SI制）。（1）画出质点的运动轨迹。）画出质点的运动轨迹。（2）求出）求出t=1s和和t=2s时质点的位矢时质点的位矢（3）求出）求出1s末和末和2s末的速度。末的速度。（4）求出加速度。）求出加速度。解：解： 2

33、248xtyt（1）由运动方程得到沿）由运动方程得到沿x，y方向的分量方向的分量 224882xyx消去时间消去时间t可得轨迹方程可得轨迹方程（2） t=1s时， 221242 5mr 14arctan63.432 222484 5mr 28arctan63.434t=2s时时， jir421jir842（3） t=1s时，时， 2211282 17m sv18arctan75.962t=2s时，时， 22122162 65m sv216arctan82.872（4）质点的加速度）质点的加速度 表明质点在表明质点在x轴作匀速直线运动，而在轴作匀速直线运动，而在y轴作匀变速直线运动轴作匀变速直线

34、运动。j tidtrd82 jdtda80vagk v例例1-5 一质点自地面以初速度一质点自地面以初速度 竖直上抛。已知质点竖直上抛。已知质点的加速度为的加速度为 ， k为常数。求质点上升到达的为常数。求质点上升到达的所需的时间和上升的最大高度。所需的时间和上升的最大高度。解：质点沿竖直向上运动，以垂直地面向上为解：质点沿竖直向上运动，以垂直地面向上为y轴的正方向。质点加速度为轴的正方向。质点加速度为ddagkt vvddtgk vv分离变量分离变量00ddttgk vvvv00d()dtgkktgk vvvv0lngkktgk vv0ktggekk vvkvgkvgkt0ln1计算对时间的积分，即可得到质点在各个时刻的位置计算对时间的积分，