量子力学习题课2010

1、Harbin Engineering University 教学要求教学要求： 1 .了解光电效应的基求定律和经典理论解释这规律的困了解光电效应的基求定律和经典理论解释这规律的困 难，掌握爱因斯坦的光子假说及光的二象性，能推导难，掌握爱因斯坦的光子假说及光的二象性，能推导 爱因斯坦公式和康普顿公式。爱因斯坦公式和康普顿公式。 2. 掌握实物粒子的波粒二象性、掌握德布洛意波的计掌握实物粒子的波粒二象性、掌握德布洛意波的计 算，了解其统计解释；理解什么是不确定关系。掌握算，了解其统计解释；理解什么是不确定关系。掌握 波函数及其统计解释。波函数及其统计解释。 3. 掌握氢原子光谱的实验规律及波尔的氢

2、原子理论。能掌握氢原子光谱的实验规律及波尔的氢原子理论。能 定量计算氢原子的定态半径和能量。定量计算氢原子的定态半径和能量。 4. 掌握定态的薛定谔方程。了解定态薛定谔方程的应掌握定态的薛定谔方程。了解定态薛定谔方程的应 用，理解能量、角动量的量子化和量子数的物理意义。用，理解能量、角动量的量子化和量子数的物理意义。 Harbin Engineering University 光的波光的波粒二象性小结粒二象性小结 光光 的的 波波 粒粒 二二 象象 性性 光电效应光电效应 康普顿散射康普顿散射 当光照在金属时，金属板将释放电子当光照在金属时，金属板将释放电子 即光电子的现象。即光电子的现象。

3、a eUeKmV 2 0 2 1 实验规律实验规律 爱因斯坦方程爱因斯坦方程AmVh 2 0 2 1 h A 0 遏止频率遏止频率 在散射光中除有与在散射光中除有与入入0射波长相同的射线射波长相同的射线 外，还有波长比入外，还有波长比入0射波长更长的射线射波长更长的射线 . m cm h e e e 12 22 0 1043. 2 2 sin2 2 sin 2 hE h p Harbin Engineering University 粒子的波粒二象性小结粒子的波粒二象性小结 粒粒 子子 的的 波波 粒粒 二二 象象 性性 2 2 0 1 c v m m mv h 德布罗意波德布罗意波 粒子的波

4、粒二象性粒子的波粒二象性 2 mcE h E p h 实验证明：实验证明： 戴维孙戴维孙- -革末实验革末实验 meU h 2 微观解释：而对多数粒子来说，在空间不同位置出微观解释：而对多数粒子来说，在空间不同位置出 现的几率遵从一定的统计规律（几率波）现的几率遵从一定的统计规律（几率波） 不确定关系不确定关系 hpzhpyhpx zyx Harbin Engineering University 氢原子的玻尔理论小结氢原子的玻尔理论小结 氢氢 原原 子子 的的 玻玻 尔尔 理理 论论 玻尔理论玻尔理论 实验规律实验规律 理论计算理论计算 ) 11 ( 1 22 nm R 2, 1, 3 ,

5、2 , 1 mmnm m=1，赖曼系，赖曼系 m=2=2，巴耳末系（可见光），巴耳末系（可见光） m=3=3，帕邢系，帕邢系 （1 1）定态假设）定态假设 h EE mn （2 2）跃迁假设：）跃迁假设： （3 3）角动量量子化假设）角动量量子化假设3 , 2 , 1 nnL mrnrn me n r o n 10 11 2 2 22 10529. 0), 3 , 2 , 1( 4 ),3,2,1( 6.13 ) 8 ( 1 2 1 2 2 n n eV r e n E o n Harbin Engineering University 量子力学小结量子力学小结 量量 子子 力力 学学 波函数

6、波函数 是一个复指数函数，本身无物理意义是一个复指数函数，本身无物理意义 ),(tr 波函数应满足单值、有限、连续的标准条件波函数应满足单值、有限、连续的标准条件 1 2 dV 波函数归一化条件波函数归一化条件 薛定谔方程：薛定谔方程： 其定态薛定谔方程其定态薛定谔方程： )()()( )( 2 2 22 xExxV dx xd m 波函数模的平方波函数模的平方 代表时刻代表时刻t 在在 r 处粒子出现的几率密度。即：处粒子出现的几率密度。即：t 时刻出现在空时刻出现在空 间（间（x,y,z）点的单位体积内的几率点的单位体积内的几率 * | 2 Harbin Engineering Unive

7、rsity 量量 子子 力力 学学 解解 决决 的的 问问 题题 一维无限深势阱一维无限深势阱 ), 3 , 2 , 1(, 8 2 2 2 n ma h nEn ax,n ), a xn sin(A)x( n 0321 ax,x,)x( n 00 氢原子氢原子 ),()(),( lmnlnlm YrRr 决定氢原子状态的四个量子数决定氢原子状态的四个量子数 n, l, ml , ms Harbin Engineering University 确定氢原子的状态的四个量子数确定氢原子的状态的四个量子数 sl mmln、 主量子数主量子数 决定电子的能量。决定电子的能量。, 3 , 2 , 1n

8、 222 0 42 1 )4( 2 nh e En ) 1( llL 角量子数角量子数 决定电子轨道角动量决定电子轨道角动量, 1, 2 , 1 , 0nl 磁量子数磁量子数 决定轨道角动量决定轨道角动量 的空间取向，的空间取向， , 2, 1, 0lm l ; lZ mL 自旋磁量子数自旋磁量子数 决定自旋角动量的空决定自旋角动量的空 间取向，间取向， 。 sZ mS 2 1 s m 为正时，称为自旋向上。为正时，称为自旋向上。为负时，称为自旋向下。为负时，称为自旋向下。 Harbin Engineering University 1.已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金已知某

9、单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金 属的逸出电势是属的逸出电势是U0 ，则此单色光的波长，则此单色光的波长 必须满足河种条必须满足河种条 件？件？ 光的粒子性光的粒子性 )/( 0 eUhc 00 eUh 专题典型例题：专题典型例题： Harbin Engineering University 2.当波长为当波长为3000 的光照射在某金属表面时，光电子的能量的光照射在某金属表面时，光电子的能量 范围从范围从 0到到 4.010-19 J在作上述光电效应实验时遏止电压在作上述光电效应实验时遏止电压 为为 |Ua| 为多少；此金属的红限频率为多少；此金属的红限频率 0 为多少？为多少？

10、 3.93 1014Hz a eUmV 2 0 2 1 2.5V 0 2 0 2 1 hmV hc Harbin Engineering University 3.红限波长为红限波长为 0 =0.15 的金属箔片置于的金属箔片置于B =3010-4 T的均匀的均匀 磁场中磁场中.今用单色今用单色 射线照射而释放出电子，且电子在垂直于磁射线照射而释放出电子，且电子在垂直于磁 场的平面内作场的平面内作R = 0.1 m的圆周运动求的圆周运动求 射线的波长射线的波长 (普朗克常量普朗克常量h =6.62610-34 Js，基本电荷，基本电荷e =1.6010-19 C, 电电 子质量子质量me=9.

11、1110-31 kg) 137. 0 )2/()(1 2 0 0 hcmeBR e evB R v m 2 m eBR v 0 2 2 1 hc mv hc Harbin Engineering University (1)1.22 10-3nm, -2.3 1016Hz, -95.3eV (2) 95.3eV, 5.27 10-24kg.m.s-1, 59 32 4.一具有一具有1.0 104eV能量的光子，与一静止自由电子相碰撞，能量的光子，与一静止自由电子相碰撞， 碰撞后，光子的散射角为碰撞后，光子的散射角为60 ，试问：，试问： （1）光子的波长、频率和能量各改变多少？）光子的波长、频

12、率和能量各改变多少？ （2）碰撞后，电子的动能、动量和运动方向又如何？）碰撞后，电子的动能、动量和运动方向又如何？ nm10432 3 C . Harbin Engineering University 5.康普顿散射中，当散射光子与入射光子方向成夹角康普顿散射中，当散射光子与入射光子方向成夹角 为为 多少多少时，散射光子的频率小得最多；当时，散射光子的频率小得最多；当 为多少为多少 时，散射时，散射 光子的频率与入射光子相同光子的频率与入射光子相同 0 Harbin Engineering University 6.如图所示，一频率为如图所示，一频率为 的入射光子与起始静止的自由电子的入射光

13、子与起始静止的自由电子 发生碰撞散射如果散射光子的频率为发生碰撞散射如果散射光子的频率为 ，反冲电子的动量，反冲电子的动量 为为p，则在与入射光子平行的方向上的动量守恒定律的分量，则在与入射光子平行的方向上的动量守恒定律的分量 形式为形式为 cos )cos( p c h c h Harbin Engineering University 作业分类作业分类 作业作业113. 波长为波长为 的单色光照射某金属的单色光照射某金属M表面发生光电效应，表面发生光电效应， 发射的光电子发射的光电子(电荷绝对值为电荷绝对值为e，质量为，质量为m)经狭缝经狭缝 S 后垂直后垂直 进入磁感应强度为的均匀磁场进

14、入磁感应强度为的均匀磁场(如图示如图示)，今已测出电子在该，今已测出电子在该 磁场中作圆运动的最大半径为磁场中作圆运动的最大半径为R求求 (1) 金属材料的逸出功金属材料的逸出功A； (2) 遏止电势差遏止电势差Ua B e M s Harbin Engineering University 作业作业114.如图所示，在一次光电效应实验中得出的曲线。如图所示，在一次光电效应实验中得出的曲线。 （1）求证：对不同材料的金属，）求证：对不同材料的金属，AB线的斜率相同线的斜率相同; （2）从图中的数据求出）从图中的数据求出h=? 05.0 10.0 1.0 2.0 |Ua |(V) (1014Hz

15、) Harbin Engineering University 作业作业115已知已知x射线光子的能量为射线光子的能量为0.6MeV，若在康普，若在康普 顿散射中，散射光子的波长变化了顿散射中，散射光子的波长变化了20，试求：反冲，试求：反冲 电子的动能？电子的动能？ 作业作业116假定在康普顿散射实验中假定在康普顿散射实验中, 入射光的波长入射光的波长 0=0.0030nm , 反冲电子的速度反冲电子的速度 v = 0.6c , 求：散射光的波长求：散射光的波长 . Harbin Engineering University 粒子的波动性粒子的波动性 7.质量为质量为me的电子被电势差的电子

16、被电势差U= 100 kV的电场加速，如果的电场加速，如果 考虑相对论效应，试计算其德布罗意波的波长若不用相考虑相对论效应，试计算其德布罗意波的波长若不用相 对论计算，则相对误差是多少？对论计算，则相对误差是多少？ (电子静止质量电子静止质量me=9.1110-31 kg，普朗克常量，普朗克常量h =6.6310-34 Js 基本电荷基本电荷e =1.6010-19 C) %.64 12 10713 .m Harbin Engineering University 8.若光子的波长和电子的德布罗意波长若光子的波长和电子的德布罗意波长 相等，试求光子的相等，试求光子的 质量与电子的质量之比质量与

17、电子的质量之比 为多少为多少 )/(1 1 2222 0 hcm m m e r Harbin Engineering University 9.（122）已知第一玻尔轨道半径已知第一玻尔轨道半径a，试计算当氢原子中电子，试计算当氢原子中电子 沿第沿第n玻尔轨道运动时，其相应的德布罗意波长是多少？玻尔轨道运动时，其相应的德布罗意波长是多少？ namh2)/( v Harbin Engineering University 10.如图所示，一束动量为如图所示，一束动量为p的电子，通过缝宽为的电子，通过缝宽为a的狭的狭 缝在距离狭缝为缝在距离狭缝为R处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央处放置一荧光屏，

18、屏上衍射图样中央 最大的宽度最大的宽度d 等于多少？等于多少？ 2Rh/(ap) Harbin Engineering University 作业分类作业分类 作业作业117如果室温下（如果室温下（t=270C）中子的动能与同温度下理想）中子的动能与同温度下理想 气体分子的平均平动动能相同，则中子的动能为多少？其德气体分子的平均平动动能相同，则中子的动能为多少？其德 布罗意波长是多少？布罗意波长是多少？ 作业作业118能量为能量为15eV的光子的光子 , 被处于基态的氢原子吸收被处于基态的氢原子吸收 , 使使 氢原子电离发射一个光电子氢原子电离发射一个光电子 , 求：此光电子的德布罗意波长求：

19、此光电子的德布罗意波长 . 作业作业120假设电子绕氢核旋转的玻尔轨道的圆周长刚好为电假设电子绕氢核旋转的玻尔轨道的圆周长刚好为电 子物质波波长的整数倍，试从此点出发解出玻尔的动量矩量子物质波波长的整数倍，试从此点出发解出玻尔的动量矩量 子化条件子化条件 作业作业122已知第一玻尔轨道半径已知第一玻尔轨道半径 a , 试计算当氢原子中电子试计算当氢原子中电子 沿第沿第 n 玻尔轨道运动时玻尔轨道运动时 , 其相应的德布罗意波长是多少其相应的德布罗意波长是多少? Harbin Engineering University 作业作业124一维无限深方势阱中的粒子，其波函数在边界处一维无限深方势阱中

20、的粒子，其波函数在边界处 为零，这种定态物质波相当于两端固定的弦中的驻波，因而为零，这种定态物质波相当于两端固定的弦中的驻波，因而 势阱的宽度势阱的宽度a必须等于德布罗意波半波长的整数倍。试利用必须等于德布罗意波半波长的整数倍。试利用 这一条件求出能量量子化公式：这一条件求出能量量子化公式： 2 2 2 8 n ma h En Harbin Engineering University 玻尔氢原子理论玻尔氢原子理论 11.根据玻尔氢原子理论，氢原子中的电子在基态轨道和第根据玻尔氢原子理论，氢原子中的电子在基态轨道和第 二激发态轨道上运动时速度大小之比二激发态轨道上运动时速度大小之比v1/ v

21、3是是 多少？多少？ 3 Harbin Engineering University 12. 若处于基态的氢原子吸收了一个能量为若处于基态的氢原子吸收了一个能量为h =15 eV的光的光 子后其电子成为自由电子子后其电子成为自由电子(电子的质量电子的质量me=9.1110-31 kg)，求该求该 自由电子的速度自由电子的速度v v=7.0105 m/s 2 2 1 v ei mEh Harbin Engineering University 13.欲使氢原子能发射巴耳末系中波长为欲使氢原子能发射巴耳末系中波长为4861.3 的谱线，最的谱线，最 少要给基态氢原子提供多少少要给基态氢原子提供多少

22、eV的能量的能量 (里德伯常量里德伯常量R =1.097107 m-1 ) n=4; 12.75 Harbin Engineering University 14.假设电子绕氢核旋转的玻尔轨道的圆周长刚好为电子物假设电子绕氢核旋转的玻尔轨道的圆周长刚好为电子物 质波波长的整数倍，试从此点出发解出玻尔的动量矩量子化质波波长的整数倍，试从此点出发解出玻尔的动量矩量子化 条件条件 )2/( nhL Harbin Engineering University 15.用某频率的单色光照射基态氢原子气体，使气体发射出三用某频率的单色光照射基态氢原子气体，使气体发射出三 种频率的谱线，试求原照射单色光的频率

23、种频率的谱线，试求原照射单色光的频率 (普朗克常量普朗克常量h =6.6310-34 Js，1 eV =1.6010-19 J) 2.921015 Hz Harbin Engineering University 作业分类作业分类 作业作业119根据玻尔理论，根据玻尔理论， (1) 计算氢原子中电子在量子数为计算氢原子中电子在量子数为n的轨道上作圆周运动的频率；的轨道上作圆周运动的频率； (2) 计算当该电子跃迁到计算当该电子跃迁到(n-1)的轨道上时所发出的光子的频率；的轨道上时所发出的光子的频率； (3) 证明当证明当n很大时，上述很大时，上述(1)和和(2)结果近似相等结果近似相等 作业

24、作业120假设电子绕氢核旋转的玻尔轨道的圆周长刚好为电子物质波波假设电子绕氢核旋转的玻尔轨道的圆周长刚好为电子物质波波 长的整数倍，试从此点出发解出玻尔的动量矩量子化条件长的整数倍，试从此点出发解出玻尔的动量矩量子化条件 作业作业121实验发现基态氢原子可吸收能量为实验发现基态氢原子可吸收能量为12.75eV的光子的光子. (1)试问氢原子吸收该光子后将被激发到哪个能级试问氢原子吸收该光子后将被激发到哪个能级? (2)受激发的氢原子向低能级跃迁时受激发的氢原子向低能级跃迁时 , 可能发出哪几条谱线可能发出哪几条谱线 ? 请画出能级请画出能级 图图(定性定性) , 并将这些跃迁画在能级图上并将这

25、些跃迁画在能级图上 . 作业作业122已知第一玻尔轨道半径已知第一玻尔轨道半径 a , 试计算当氢原子中电子沿第试计算当氢原子中电子沿第 n 玻尔玻尔 轨道运动时轨道运动时 , 其相应的德布罗意波长是多少其相应的德布罗意波长是多少? Harbin Engineering University 已知波函数求相应物理量已知波函数求相应物理量 16、一粒子沿、一粒子沿x方向运动，其波函数为方向运动，其波函数为 )( 1 1 )( x ix cx 试求试求（1）归一化常数）归一化常数 c ; （2）发现粒子概率密度最大的位置；）发现粒子概率密度最大的位置； （3）在）在x=0到到x=1之间粒子出现的概

26、率。之间粒子出现的概率。 1 c 0 x 4 1 P Harbin Engineering University 作业作业123已知粒子在无限深势阱中运动已知粒子在无限深势阱中运动 , 其波函数为：其波函数为： 求：发现粒子几率最大的位置求：发现粒子几率最大的位置 . )ax()a/xsin(a/)x(02 作业作业125一粒子被限制在相距为一粒子被限制在相距为l的两个不可穿透的壁之间，的两个不可穿透的壁之间， 如图所示描写粒子状态的波函数为，其中如图所示描写粒子状态的波函数为，其中c为待定常为待定常 量求在量求在0 区间发现该粒子的概率区间发现该粒子的概率 Harbin Engineering University 利用薛定谔方程解决问