容斥原理汇编

1、犀鸟，你赶犀鸟，你赶紧去统计鸟紧去统计鸟的种数。的种数。是，大王是，大王我有翅膀我有翅膀，我算鸟，我算鸟类。类。大王，共大王，共有有80种鸟种鸟类。类。彭彭，去统计彭彭，去统计兽类的种数兽类的种数是，大王！是，大王！共有共有70种兽类种兽类我没有羽毛，我应我没有羽毛，我应该算兽类该算兽类森林中共有鸟类森林中共有鸟类和兽类多少种和兽类多少种?鸟类与兽类共鸟类与兽类共有有150种种你确定有这么多鸟类和你确定有这么多鸟类和兽类吗？你是未来的狮兽类吗？你是未来的狮子王一定要清楚你的领子王一定要清楚你的领地有多少人。地有多少人。我算错了吗？我算错了吗？错啦，大王，蝙蝠重复错啦，大王，蝙蝠重复数了，所以要

2、减去一个，数了，所以要减去一个，应该是应该是149种。种。这个故事反映了一个事实，那就是被这个故事反映了一个事实，那就是被称为称为“容斥原理容斥原理”的数学原理，很多的数学原理，很多数学题都与容斥原理有关数学题都与容斥原理有关。容容包括包括斥斥排除排除一张照片上有两对父子，数数却只有3个人，为什么？想一想想一想661=11（人）（人）答：共有答：共有11人。人。1、排队问题：从前面数，从后面数，丽丽都排第、排队问题：从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这一排共有几个人？这一排共有几个人？ 2、洗好的、洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两

3、块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？ 827=9（个）（个）答：一共要答：一共要9个夹子。个夹子。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。数，应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类，那么具有性质的分类，那么具有性质1或性质或性质2的事物个数等的事物个数等于性质于性质1性质性质2减去它们的共同性质。减去它们的共同性质。一个班有一个班有4848人，班主任在班会上问：人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请谁做完语

4、文作业？请举手！举手！”有有3737人举手。又问：人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！谁做完数学作业？请举手！”有有4242人举手。最后问：人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？谁语文、数学作业都没有做完？”没没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。分别代表什么呢语文语文作业完成作业完成数学数学作业完成作业完成语文、语文、数学作业数学作业都都完成完成总人数总人数+数学数学语文语文+37+42-48=79-48=31（人）答：这个班语文、数学作业都完成的人数为31人。五年级有五年级有122122名学生参加语文、数学考试，每人至少有

5、名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有6565人，人，数学优秀的有数学优秀的有8787人，语文、数学都优秀的有多少人？人，语文、数学都优秀的有多少人？分别代表什么呢语文成绩优秀语文成绩优秀数学成绩优秀数学成绩优秀语文、语文、数学数学都优秀都优秀总人数总人数+数学数学语文语文+65+87-122=152-122=30（人）答：语文、数学都优秀的有30人。某班有某班有3636个同学在一项测试中，答对第一题的有个同学在一项测试中，答对第一题的有2525人，答对第二人，答对第二题的有题的有2323人，两题都答对的有人，两

6、题都答对的有1515人。问多少个同学两题都答得不对？人。问多少个同学两题都答得不对？全部人数全部人数第一题第一题第二题第二题只第一题答对的人数：25-15=10（人）至少有一题答对的人数：10+23=33（人）两题都答得不对的人数：36-33=3（人）答：3个同学两题都答得不对。芭啦啦综合教育学校有芭啦啦综合教育学校有4040个学生，其中个学生，其中2525人参加数学人参加数学小组，小组，2323人参加科技小组，有人参加科技小组，有1919人两个小组都参加了。人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？那么，有多少人两个小组都没有参加？全部人数全部人数数学数学科技科技只参加数学小组的

7、人数：25-19=6（人）至少参加一个小组的人数：6+23=29（人）两个小组都没参加的人数：40-29=11（人）答：有11个人两个小组都没有参加。 被计数的事物有被计数的事物有A A、B B两类，那么，既是两类，那么，既是A A类又是类又是B B类的元素个数类的元素个数= =属于属于A A类元素个数类元素个数+ + 属于属于B B类元素个数类元素个数-A-A类类B B类元素个数总和。类元素个数总和。一个旅行社有一个旅行社有3636人，其中会英语的有人，其中会英语的有2424人，会法语的有人，会法语的有1818人，两样都不会的有人，两样都不会的有4 4人。两样都会的有多少人？人。两样都会的有

8、多少人？全部人数全部人数会英语会英语会法语会法语至少会一样的人数：36-4=32（人）两样都会的人数：24+18-32=10（人）答：两样都会的有10人。实验实验学校举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个学校举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有年级学生的书法作品，其中有2424幅不是五年级的，有幅不是五年级的，有2222幅幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有1010幅，其幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？他年级参展的书法作品共有多少幅？五年级五年级六年级六年级（24+22-10）2=362=18（幅）答：其他

9、年级参展的书法作品共有18幅。科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有技作品，其中有110110件不是一年级的，有件不是一年级的，有100100件不是二年级件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有的，一、二年级参展的作品共有3232件。其他年级参展的作件。其他年级参展的作品共有多少件？品共有多少件？一年级一年级二年级二年级（110+100-32）2=1782=89（件）答：其他年级参展的作品共有89件。被计数的事物有被计数的事物有A A、B B两类，那么，既不是两类，那么，既不是A A类又不是类又不是B B类的元素个数类的元

10、素个数= =总数总数- -属于属于A A类元素类元素个数个数+ +属于属于B B类元素个数。类元素个数。某校选出某校选出5050名学生参加地区作文比赛和数学比赛，结果名学生参加地区作文比赛和数学比赛，结果3 3人两项比赛都获奖了，有人两项比赛都获奖了，有2727人两项比赛都没有获奖。已知人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有作文比赛获奖的有1414人，问数学比赛获奖的有多少人？人，问数学比赛获奖的有多少人？全部人数全部人数数学数学作文作文获奖的人数：50-27=23（人）只有作文获奖的人数：14-3=11（人）数学获奖的人数：23-11=12（人）答：数学比赛获奖的有12人。六年级一班参加

11、合唱队的有六年级一班参加合唱队的有4040人，参加舞蹈队的有人，参加舞蹈队的有2020人，人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有既参加合唱队又参加舞蹈队的有1414人，两队都没有参加的人，两队都没有参加的有有1010人。请算一算，这个班共有多少人？人。请算一算，这个班共有多少人？全部人数全部人数合唱队合唱队舞蹈队舞蹈队只参加合唱队的人数：40-14=26（人）至少参加一队的人数：26+20=46（人）全班人数：46+10=56（人）答：这个班共有56人。芭芭啦综合教育学校举办学生书法展，学校的橱窗里展芭芭啦综合教育学校举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有出每个年级学生的书法作品，其中有2828幅不是五年级的，幅不是五年级的，有有2424幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有2020幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少总数少4 4幅。一、二年级参展的书法作品共有