第三章 立体的投影

1、12 基本体是构成形体的基本单元，基本体是构成形体的基本单元，在几何造型中又称为在几何造型中又称为基本基本体素。体素。 单一的几何体称为基本体。如：棱单一的几何体称为基本体。如：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球、环等。柱、棱锥、圆柱、圆锥、球、环等。3表面仅由平面围成的表面仅由平面围成的基本体基本体 平面体平面体表面包含曲面的表面包含曲面的基本体基本体 曲面体曲面体 构成基本体的所有表面以及形成该构成基本体的所有表面以及形成该形体的特征线（轴线）投影的总和形体的特征线（轴线）投影的总和 规定规定 ：可见轮廓画成粗实线，不可见轮廓画成虚线，可见轮廓画成粗实线，不可见轮廓画成虚线，轴线画成单点划线，粗实

2、线与虚线重合时画成粗实线轴线画成单点划线，粗实线与虚线重合时画成粗实线4棱柱棱柱侧棱面侧棱面上底面上底面棱线棱线底边底边棱柱的棱线相互平行棱柱的棱线相互平行下下底面底面5H、V投影投影(俯视图、主视图俯视图、主视图) 长相等长相等(长对正长对正)V、W投影投影(主视图、左视图主视图、左视图) 高相等高相等(高平齐高平齐)H、W投影投影(俯视图、左视图俯视图、左视图) 宽相等宽相等(宽相等宽相等)能否将左视图画能否将左视图画 到主、俯之间到主、俯之间?链接主视图主视图俯视图俯视图左视图左视图6能否将左视图画能否将左视图画 到主、俯之间到主、俯之间?主视图主视图俯视图俯视图左视图左视图错误7例：例

3、：棱柱表面上一点棱柱表面上一点A A，已知已知aa，求，求a a、aaaa(a)基本方法基本方法面内取点方法面内取点方法(b)(b)(b)8棱锥棱锥锥顶锥顶棱锥的棱线相交于锥顶棱锥的棱线相交于锥顶侧棱面侧棱面底面底面棱线棱线底边底边9sabcacbsba(c)sSA BC10SABC例例 棱锥表面的折线棱锥表面的折线MNK(MNK(m mn nk k) )求另二投影求另二投影如何在平面上取点？如何在平面上取点？m(k)nsacacbsba(c)sbM SA N SBK SBCnkmmnk连线连线注意分析点、直线注意分析点、直线所在表面的可见性所在表面的可见性11截切：截切： 用一个平面与立体相

4、交，截去立体的一用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。部分。 截平面截平面 用以截切物体的平面。用以截切物体的平面。 截交线截交线 截平面与物体表面的交线。截平面与物体表面的交线。 截断面截断面 因截平面的截切，在物体上形因截平面的截切，在物体上形 成的平面。成的平面。讨论的问题：截交线的分析和作图讨论的问题：截交线的分析和作图 。12截交线与截断面截平面截交线截断面13 截交线是一个由直线组成的截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形封闭的平面多边形，其，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截切位置。切位置。平面立体的截交线是一个多边形

5、，它的顶点是平平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点。面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每截交线的每条边是条边是截平面与棱面的交线截平面与棱面的交线。求求截交线的实质是求两平面的交线截交线的实质是求两平面的交线截交线的性质：截交线的性质： 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。14 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法： 求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点棱线法棱线法。 求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线棱面法棱面法。关键是正确地画出截交线的投影关键是正确地画出截交线的投影。 求

6、截交线的步骤：求截交线的步骤： 截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性确定截交确定截交线的形状线的形状 空间及投影分析空间及投影分析 画出截交线的投影画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。线，并连接成多边形。15 平面与三棱锥相交sabcc”a”b”sPvs”12311”2”233”例、求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平投影和侧面投影。具体步骤如下：(1) 求Pv与sa、sb、sc的交点1、2、3为截平面与各棱线的交点、的正面投影。(2) 根

7、据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。(3) 连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。(4) 补全棱线的投影。16例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4 空间分析空间分析交线的形状？交线的形状？3 3 投影分析投影分析 求截交线求截交线 分析棱线的投影分析棱线的投影 检查检查 尤其注意检查截尤其注意检查截 交线投影的类似性交线投影的类似性截平面与体的截平面与体的几个棱面相交？几个棱面相交？截交线在俯、截交线在俯、左视图上的形左视图上的形状？状？17我们采

8、用的是我们采用的是哪种解题方法？哪种解题方法？棱线法！棱线法！18有多个截平面截同一个立体时截有多个截平面截同一个立体时截交线的求法交线的求法:1 分别求出截平面截立体所得的截交线分别求出截平面截立体所得的截交线;2 求出截平面相互之间的交线求出截平面相互之间的交线;3 补全立体未被截切的能廓线。补全立体未被截切的能廓线。19例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。1 12 21 1 (2(2 ) )、两点分别两点分别同时位于三个面同时位于三个面上。上。三面共点：三面共点：2 2 1 1 注意：注意： 要逐个截平面分析和要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体

9、只绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交为整体被截切，求出截交线后再取局部。线后再取局部。2021例例:求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影作图方法作图方法:1 求棱线与截平面求棱线与截平面 的共有点的共有点2 连线连线 3 根据可见性处理轮廓线根据可见性处理轮廓线1?2?1?2?2?2?2?7?7?5?6?5?6?12345673?4?3?4?222312(3)4(5)6(7)6”7”1”3”2”5”4”67例例 补全俯视图和左视图的投影补全俯视图和左视图的投影 24作 业 3-1（1）（2）25OO圆柱体

10、圆柱体轴线轴线底面底面圆柱面圆柱面1 圆沿与其垂直圆沿与其垂直的直线拉伸形成的直线拉伸形成2 矩形绕其边矩形绕其边旋旋转形成转形成L圆柱面的形成圆柱面的形成3.2 3.2 曲面立体（回转体）曲面立体（回转体）26OO对对V V面的外面的外形轮廓线形轮廓线对对W W面的外面的外形轮廓线形轮廓线外形轮廓线投外形轮廓线投影的对应关系影的对应关系圆柱面投影圆柱面投影可见性判断可见性判断27OO例例 圆柱体表面一点圆柱体表面一点M M ，已知，已知m m求求m m ，mmm(m)m( )（n）(n)(n“)28例例 ADCADC位于圆柱体表面，已知位于圆柱体表面，已知a a c c dd，求求acdac

11、d、a a c c dda c d不平行轴线不平行轴线故故ADCADC为曲线为曲线找特殊点找特殊点求求H H投影投影求求W W投影投影光滑连接曲线光滑连接曲线外形轮廓线上的外形轮廓线上的点是曲线投影的点是曲线投影的虚、实分界点虚、实分界点29圆锥体圆锥体S底面底面圆锥面圆锥面锥顶锥顶轴线轴线方式二方式二:直角三角形绕其直角三角形绕其直角边旋转而成直角边旋转而成L方式一方式一: 圆沿与其垂直的圆沿与其垂直的直线拉伸形成。拉伸过程直线拉伸形成。拉伸过程中其直径均匀变化中其直径均匀变化圆锥面的形成圆锥面的形成过圆锥面上任一点可作过圆锥面上任一点可作一条直线通过锥顶、亦一条直线通过锥顶、亦可在圆锥面上

12、作一圆可在圆锥面上作一圆30Sss对对V V面的外面的外形轮廓线形轮廓线对对W W面的外面的外形轮廓线形轮廓线外形轮廓线投外形轮廓线投影的对应关系影的对应关系圆锥面投影圆锥面投影可见性判断可见性判断s31sss例例 圆锥体表面一点圆锥体表面一点M M，已知，已知m m，求，求mm，mmSmm( )m如何在曲面内取点？如何在曲面内取点？辅助线如何作？辅助线如何作？32sss例例 BACBAC位于圆锥体表面，已知位于圆锥体表面，已知V V投影，求投影，求H H、W W投影投影ab(c)BAC不通过锥顶，不通过锥顶，故为曲线故为曲线找特殊点找特殊点求求H H、W W面投影面投影光滑连接曲线光滑连接曲

13、线d (e)acbde(a)bcde33圆球圆球OO轴线轴线圆球表面无直线！圆球表面无直线！圆绕其直径旋转圆绕其直径旋转而成而成球面球面圆球面的形成圆球面的形成34abcOO外形轮廓线投外形轮廓线投影的对应关系影的对应关系球面投影可见性判断球面投影可见性判断A-正平圆正平圆B-水平圆水平圆C-侧平圆侧平圆35nnnOON( )例例 圆球表面一点圆球表面一点N N，已知，已知nn，求，求n n ，nn（m）（m）mM在左下后球表面上36作 业3-2（1）（2）37截交线截交线截平面截平面截平面截平面截交线截交线38截交线的性质：截交线的性质： 截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表

14、面的共有线共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置截平面与回转体轴线的相对位置。 截交线都是截交线都是封闭的平面图形封闭的平面图形。39 空间及投影分析空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便的相对位置，以便确定截交线的形状确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，分析截平面与投影面的相对位置，明确明确截交截交 线的投影特性线的投影特性，如积聚性、类似性等。，如积聚性、类似性等。找出找出 截交线的截交线的已知已知投影，投影，予见未知予见未知投影。

15、投影。 画出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。见性。 先找特殊点，补充中间点先找特殊点，补充中间点。40 截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置平面与圆柱轴线的相对位置垂直垂直圆圆椭圆椭圆平行平行两平行直线两平行直线倾斜倾斜P PV VP PP PV VP PP PV VP P41例例1 1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截

16、交线的另外两个投影。投影。平面与圆柱相交 由于平面与圆柱的轴线斜交，因此截交线为一椭圆。截交线的正面投影重影为一直线，水平投影与圆柱面的投影重影为圆。侧面投影可根据圆柱表面取点的方法求出。具体步骤如下：（1）先作出截交线上的特殊点。（2）再作出适当数量的一般点。（3）将这些点的投影依次光滑的连接起来。1155373(7)1”5”3”7”222”46844”（4）补全侧面投影中的转向轮廓线。8”6”42比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。平面与圆柱相交4545=4543 在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只要逐个作出各个

17、截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。44分 析： 该立体是在圆柱筒的上部开出一个方槽后形成的 。构成方槽的平面为垂直于轴线的水平P和两个平行于轴线的侧平面Q 。它们与圆柱体和孔的表面都有交线，平面P与圆柱的交线为圆弧，平面Q与圆柱的交线为直线，平面和Q彼此相交于直线段。 例2、 补画被挖切后立体的投影 。 平面与圆柱相交45作图步骤如下：（1）先作出完整基本形体的三面投影图。平面与圆柱相交（2）然后作出槽口三面投影图。( 3) 作出穿孔的三面投影图。QP46平面与圆锥相交有五种情况，如图所示。平面与圆锥相交47 根据截平面与圆锥轴线的相对位根据截平

18、面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。置不同，截交线有五种形状。过锥顶过锥顶两相交直线两相交直线P PV V圆圆P PV V= 90= 90P PV V椭圆椭圆抛物线抛物线P PV V=双曲线双曲线P PV V= 0= 048例例1 1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。另外两个投影。平面与圆柱相交 此种截交线为一椭圆。由于圆锥前后对称，故椭圆也前后对称。椭圆的长轴为截平面与圆锥前后对称面的交线正平线，椭圆的短轴是垂直与长轴的正垂线。正平线正垂线49正平线正垂线平面与圆锥相交具体步骤如下：（1）先作出截交线上的特殊点。121

19、21”2”34345665（2）再作一般点。（3）依次光滑连接各点，即得截交线的水平投影和侧面投影。（4）补全侧面转向轮廓线。3”4”5”6”78787”8”5051例例3:求圆锥被截切后的正面投影求圆锥被截切后的正面投影.分析分析:截交线的正面投影为双曲线截交线的正面投影为双曲线.作图作图:1 求特殊点。求特殊点。最高点最高点最低点最低点2 求一般点。求一般点。3 连线。连线。5253 平面与圆球相交，平面与圆球相交，截交线的形状都是截交线的形状都是圆圆，但根据截平面与投影面的相对位置，但根据截平面与投影面的相对位置不同，不同，其其截交线的投影可能为圆、椭圆截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成

20、一条直线或积聚成一条直线。平面与球相交54例例1 1：求半球体截切后的俯视图和左视图。：求半球体截切后的俯视图和左视图。水平面截圆球的截交线水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。积聚为直线。 两个侧平面截圆球的两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。视图上积聚为直线。5556作 业3.3(1，2,3)57习 题 课58小小 结结一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是的封闭

21、的平面多边形，多边形的边是截平截平 面与棱面的交线面与棱面的交线。求截交线的方法：求截交线的方法：棱线法棱线法 棱面法棱面法二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线。59 当截交线的投影为非圆曲线时，当截交线的投影为非圆曲线时，要要先先找特殊点，再补充中间点找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接，最后光滑连接各点。各点。 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。素线的投影。 分析截平面与被截

22、立体对投影面的相对分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以位置，以确定截交线的投影特性确定截交线的投影特性。 求截交线求截交线三、解题方法与步骤三、解题方法与步骤 空间及投影分析空间及投影分析 分析截平面与被截立体的相对位置，以分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状确定截交线的形状。60 当单体被多个截平面截切时，要当单体被多个截平面截切时，要逐个逐个截截 平面平面进行截交线的分析与作图进行截交线的分析与作图。当只有。当只有 局部被截切局部被截切时，先时，先按整体被截切求出截按整体被截切求出截 交线交线，然后，然后再取局部再取局部。 求求复合回转体复合回转体的截交线，应首先分

23、析复的截交线，应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后们的连接关系，然后分别求出分别求出这些这些基本基本 回转体的截交线回转体的截交线，并依，并依次将其连接次将其连接。61例例 : 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图。截切后的俯视图。P P 截交线的形状？截交线的形状？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交线的投影截交线的投影特性？特性？2 2 3 3 6 6 7 7 1 1 8 8 4 4 5 5 求截交线求截交线1 15 54 47 76 63 32 28 8分析棱线的分析棱线的投影投影检查截交检查截交线的投影线的投影6263123(4)1”3”4”1243 例例 求做立体被截切后的投影求做立体被截切后的投影64例：求左视图例：求左视图虚实分界点虚实分界点6566例：求左视图例：求左视图空间及投影分析空间及投影分析求截交线求截交线 分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤：解题步骤： 同一立体被多个同一立体被多