2021年人教版高中数学选择性必修第二册5.1.1《变化率问题》（教学设计）

1、5.1.1变化率问题 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习变化率问题本节内容通过分析 高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。课程目标学科素养A.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.B.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.C.理

2、解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念1.数学抽象：函数的变化率 2.逻辑推理： 平均变化率与瞬时变化率的关系3.数学运算：求解瞬时速度与切线斜率 4.数学建模： 函数的变化率重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 导语 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长” 是越来越慢的，“指数爆炸” 比“直线上升” 快得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题。二、 新知探究问题1

3、 高台跳水运动员的速度高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)4.9t24.8t11.如何描述用运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动的越来越慢，在下降阶段运动的越来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v近似的描述它的运动状态。例如,在 0 t 0.5这段时间里，v=0.5(0)0.50=2.35(m/s)在 1 t 2这段时间里，v=2(1)21=9.9(m/s)一般地，在 t1 t t2这段时间里，v=t2(t1)

4、t2t1=4.9t1+t2+4.8探究1： 计算运动员在0 t 4849这段时间内的平均速度你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。探究2：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1是的瞬时速度吗？1平均变化率对于函数yf (x)，从x1到x2的平均变化率：(1)自变量的改变量：x_.(2)函数值的改变量：y_(3)平均变化率 .x2x1；f (x2)f (x1)；2.瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在_的速度称为瞬时速度(2)函数f (x)在xx0处的瞬时

5、变化率是函数f (x)从x0到x0x的平均变化率在x0时的极限，即 .某一时刻； 问题2. 抛物线的切线的斜率 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究.探究3. 你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线？ 与研究瞬时速度类似为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线，我们通常在点P0(1,1)的附近取一点Px,x2，考察抛物线f(x)=x2的割线 P0 P的变化情况。探究4.我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1

6、,1)处的切线P0T的斜率呢？从上述切线的定义可见，抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在的联系，记x=x1,点P的坐标(1+x,(1+x)2)，于是割线P0P的斜率k=fx(1)x1=(1+x)21(1+x)1=x+2 利用计算工具计算更多割线P0P的斜率k的值，当无限趋近于0时，割线P0P的斜率有什么变化趋势？ 从几何图形上看，当横坐标间隔x无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0，因此，切线P0T的斜率k0=2.3曲线的切线斜率(1)设P0(

7、x0，f (x0)，P(x，f (x)是曲线yf (x)上任意不同两点，则平均变化率为割线P0P的_ (2)当P点逐渐靠近P0点，即x逐渐变小，当x0时，瞬时变化率 就是yf (x)在x0处的_的斜率即k .斜率；切线 ； ； 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)x趋近于零时表示x0()(2)平均变化率与瞬时变化率可能相等()(3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况()(4)函数yf (x)在某xx0的切线斜率可写成k ()答案(1)(2)(3)(4)2函数yf (x)，自变量x由x0改变到x0x时，函数的改变量y为()Af (x0x) Bf (x0)xCf (x0)x Df

8、 (x0x)f (x0)Dyf (x0x)f (x0)，故选D.3若一质点按规律s8t2运动，则在一小段时间2，2.1内的平均速度是()A4 B4.1 C0.41 D1.1B4.1，故选B.三、典例解析例1某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度思路探究解3t， (3t)3.物体在t1处的瞬时变化率为3.即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.求运动物体瞬时速度的三个步骤设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为ss(t)，则求物体在tt0时刻的瞬时速度的步骤如下：(1)写出时间改变量t，位移改变量s(ss(t0t

9、)s(t0).(2)求平均速度：.(3)求瞬时速度v：当t0时，v(常数).跟踪训练1在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度解求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度1t， (1t)1.物体在t0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.跟踪训练2在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.解设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.又(2t01)t. (2t01t)2t01.则2t019，t04.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.例2.已知函数yx，则该函数在点x1处的切线斜率为?解析：y(1x)x1x，1，斜率k 112.通过导语，通过对函数学习的回顾，

10、帮助学生发现和感受不同函数变化快慢的问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。 通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出平均速度与瞬时速度的概念。发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。通过物体运动问题，抽象出函数平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率的概念。发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养。 通过曲线上某点出割线与切线斜率的问题，加深学生对函数平均变化率与瞬时变化率的理解，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素通过典型例题的分析和解决，帮助学生掌握平均速度与瞬时速度的算法，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达

11、标检测1物体自由落体的运动方程为s(t)gt2，g9.8 m/s2，若v 9.8 m/s，那么下列说法中正确的是()A9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率B9.8 m/s是1 s到(1t)s这段时间内的速率C9.8 m/s是物体在t1 s这一时刻的速率D9.8 m/s是物体从1 s到(1t)s这段时间内的平均速率C结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确2已知函数f (x)2x21的图象上一点(1，1)及其附近一点(1x，f (1x)，则等于_42xyf (1x)f (1)2(1x)21(2121)4x2(x)2，2x4.3已知函数f (x)3x25，求f (x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间x0，x0x上的平均变化率解(1)因为f (x)3x25，所以从0.1到0.2的平均变化率为0.9.(2)f (x0x)f (x0)3(x0x)25(3x5)=3x6x0x3(x)253x56x0x3(x)2.函数f (x)在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.4求函数y在x2处的切线的斜率解y1，k 1.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结1.瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法；2.函数的