第33讲 锐角三角函数和解直角三角形

1、安徽省 数 学 第七章图形的变化 第33讲锐角三角函数和解直角三角形 要点梳理 1锐角三角函数的意义，RtABC 中，设C90， 为 RtABC 的一个锐角，则： 的正弦 sin_； 的余弦 cos_； 的正切 tan_ 的对边 斜边 的邻边 斜边 要点梳理 230，45，60的三角函数值，如下表： 正弦 余弦 正切 30 _1 2_ _ 3 2 _ _ 3 3 _ 45 _ 2 2 _ _ 2 2 _ _1_ 60 _ 3 2 _ _1 2_ _ 3_ 要点梳理 3同角三角函数之间的关系： sin2cos2_1_； tan_sin cos_ 互余两角的三角函数关系式： (? 为锐角) sin

2、(90?)_cos_； cos(90?)_sin_ 函数的增减性：(0?90) (1)sin，tan的值都随?_增大而增大_； (2)cos随 ?_增大而减小_ 要点梳理 4解直角三角形的概念、方法及应用： 解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素 ，求出所有未 知元素的过程叫做解直角三角形 直角三角形中的边角关系：在RtABC 中，C90，A， B，C 所对的边分别为a，b，c，则： (1)边与边的关系：_a2 b 2 c 2_； (2)角与角的关系：_ A B90_； (3)边与角的关系： _sinAcosBa c，cosAsinB b c，tanA a b，tanB b a_ 要点

3、梳理 5直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的 应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中 包括了一些概念，一定要根据题意明白其中的含义才 能正确解题 (1)铅垂线：重力线方向的直线； 要点梳理 (2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面 上的两点确定的直线我们认为是水平线； (3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角； (4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角； (5)坡角：坡面与水平面的夹角； 要点梳理 (6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡 比)，一般情况下，我们用 h 表示坡的铅直高度，用 l 表 示坡的水平宽度，用 i 表示坡度，即 ih l tan

4、，显然， 坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡； 要点梳理 (7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成 的小于90的锐角叫做方向角 注意：东北方向指北偏东45方向，东南方向指南 偏东45方向，西北方向指北偏西45方向，西南 方向指南偏西45方向我们一般画图的方位为上 北下南，左西右东 转化思想 (1)在直角三角形中，求锐角三角函数值的问题，一 般转化为求两条边的问题，这样就把新知识(求锐角 三角函数值)转化为旧知识(求直角三角形的边长)，因 此不可避免地用到勾股定理若原题没有图形，可以 画出示意图，直观地观察各边的位置及类型(直角边 还是斜边)，再运用定义求解；也可以直接通过字母 来判断边

5、的位置和类型，即A的对边为BC，B的 对边为AC，C的对边为AB. (2)在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三 角形，常见的方法是作高，通过作高把斜三角形转 化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识 解决问题注意在画图过程中考虑一定要周到，不 可遗漏某一种情况 方法技巧 将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素 之间的关系进行计算，当有些图形不是直角三角形时 ，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三 角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决 解题时可设未知数进行求解，从要求的量所在的直 角三角形分析，解之，若条件不足，转而先去解所缺 条件所在的直角三角形，然后返回；若

6、条件仍不足， 再去解第二次所缺条件所在的直角三角形，直至与全 部已知条件挂上钩，然后层层返回 1(2014杭州)在直角三角形 ABC 中，已知C90，A 40，BC3，则 AC( ) A3sin40 B3sin50 C3tan40 D3tan50 2(2014湖州)如图，已知 RtABC 中，C90，AC4， tanA1 2，则 BC 的长是( ) A2 B8 C2 5 D4 5 D A 3 (2014毕节)如图是以ABC 的边 AB 为直径的半圆O， 点 C 恰好在半圆上， 过 C 作 CDAB 交 AB 于 D.已知cos ACD3 5，BC4，则 AC 的长为( ) A1 B.20 3

7、C3 D.16 3 D 4(2014丽水)如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1 3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)， 坝高 BC3 m，则坡面AB 的长度是( ) A9 m B6 m C6 3 m D3 3 m B 5(2014贺州)网格中的每个小正方形的边长都 是1，ABC每个顶点都在网格的交点处，则 sinA_ 锐角三角函数的定义 【例 1】 (2014武汉)如图，PA，PB 切O 于 A，B 两点，CD 切 O 于点 E，交 PA，PB 于 C，D.若O 的半径为r， PCD 的周长等于3r，则 tanAPB的值是( ) A. 5 12 13 B.12 5 C.3

8、 5 13 D.2 3 13 【点评】 本题主要考查了三角函数的定义及相似三角形的判定和 性质，解决本题的关键是找准线段及角的关系 B 1(2013兰州)ABC中，a，b，c分别是A， B，C的对边，如果a2b2c2，那么下列结论 正确的是( ) AcsinAa BbcosBc CatanAb DctanBb A 锐角三角函数的计算 【例 2】 (1)(2013菏泽)计算： 2 13tan30( 21)0 12cos60. (2)(2014攀枝花)在ABC 中，如果A，B 满足 |tanA1|(cosB1 2) 20，那么C_ 75 【点评】利用特殊角的三角函数值进行数的运 算，往往与绝对值、

9、乘方、开方、二次根式相结 合准确地记住三角函数值是解决此类题目的关 键，所以必须熟记 2(2013孝感)式子 2cos30tan45 （1tan60）2的值是( ) A2 32 B0 C2 3 D2 B 解直角三角形 【例 3】 (2012安徽)如图，在ABC 中，A30， B45，AC2 3，求 AB 的长 【点评】将三角形转化为直角三角形时，注意 尽量不要破坏所给条件 3(2014宁夏)在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，C 45，sinB1 3，AD1.求 BC 的长 解直角三角形的实际运用 【例 4】 (2014广安)为邓小平诞辰 110 周年献礼，广安市政 府对城市建设进行了整改

10、，如图，已知斜坡 AB 长 60 2米， 坡角(即BAC)为 45，BCAC，现计划在斜坡中点D 处挖 去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA 的休闲平台 DE 和一 条新的斜坡BE(下面两个小题结果都保留根号) (1)若修建的斜坡 BE 的坡比为 31，求休闲平台 DE 的长是多少米？ (2)一座建筑物GH距离A点33米远(即AG33米)，小亮在D点 测得建筑物顶部H的仰角(即HDM)为30.点B，C，A，G ，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且 HGCG，问建筑物GH高为多少米？ 【点评】此题考查了坡度、坡角问题以及俯 角、仰角的定义要注意根据题意构造直角三 角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思 想与方程思想的应用 4(2014邵阳)一艘观光游船从港口A以北偏东60 的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉 船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方 向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏 东37方向，马上以40海里每小时的速度前往救援 ，求海警船到达事故船C处所需的大约时间 (温馨提示：sin530.8，