高等几何6.1-6.2节

1、云云 南南 师师 范范 大大 学学1高等几何（第二版高等几何（第二版 朱德祥朱德祥 朱维宗编）朱维宗编）云南师范大学数学学院云南师范大学数学学院 第六章第六章 二次曲线的射影性质二次曲线的射影性质云云 南南 师师 范范 大大 学学2提提 纲纲 本章教材分析本章教材分析一、二次曲线的代数定义一、二次曲线的代数定义二、二次曲线的几何结构二、二次曲线的几何结构一、概念一、概念二、二次曲线的射影的例题二、二次曲线的射影的例题 本章是射影变换在研究二次曲线方面的应用，本章是射影变换在研究二次曲线方面的应用，是射影几何的精华是射影几何的精华, , 也是最精彩的部分之一。也是最精彩的部分之一。本章主要内容本

2、章主要内容本章每一部分都有丰富的内容、深刻的内涵和重要的应用本章每一部分都有丰富的内容、深刻的内涵和重要的应用.二次曲线的定义二次曲线的定义Pascal定理定理Brianchon定定理理配极对应配极对应二次曲线的二次曲线的射影分类射影分类云云 南南 师师 范范 大大 学学二次曲线束及其应用二次曲线束及其应用云云 南南 师师 范范 大大 学学4一、二次曲线的代数定义一、二次曲线的代数定义 定义定义6.1 坐标满足坐标满足3,10()(6.1)ijijijjii ja x xaa的所有点的所有点(x1, x2, x3)的集合称的集合称为一条为一条二阶曲线二阶曲线. 其中其中(aij)为三为三阶实对

3、称阵阶实对称阵, 秩秩(aij)1. 定义定义6.1 坐标满足坐标满足3,10()(6.1)ijijijjii jb uubb的所有直线的所有直线u1, u2, u3的集合称的集合称为一条为一条二级曲线二级曲线. 其中其中(bij)为三为三阶实对称阵阶实对称阵, 秩秩(bij)1.二阶曲线的方程可以写成矩阵形式：二阶曲线的方程可以写成矩阵形式：111213112312222321323333( ,)0,0. (,( )1)aaaxx x xaaaxXAXAAAaaax或秩其中（其中（aij）用）用A表示叫表示叫系数矩阵系数矩阵，用，用| A |或或| aij |表示表示系数行列式系数行列式。1

4、.1.概念概念云云 南南 师师 范范 大大 学学5一、二次曲线的代数定义一、二次曲线的代数定义注注1：二阶曲线看作点的二阶曲线看作点的轨迹轨迹；二级曲线看作直线的；二级曲线看作直线的包络包络。（参看下图）。（参看下图）注注2：由对偶原理：由对偶原理, 我们一般讨论二阶曲线我们一般讨论二阶曲线, 其结论其结论均可对偶地适用于二级曲线均可对偶地适用于二级曲线. 点素二次曲线点素二次曲线线素二次曲线线素二次曲线云云 南南 师师 范范 大大 学学6一、二次曲线的代数定义一、二次曲线的代数定义 定义定义 如果二阶曲线的表达如果二阶曲线的表达式可以式可以(不可以不可以)分解为两个分解为两个一次因式的乘积一

5、次因式的乘积, 则称其为则称其为退化退化( (非退化非退化) )二阶曲线二阶曲线.命题命题 二阶曲线退化二阶曲线退化|aij|=0；二级曲线退化二级曲线退化|bij|=0； 定义定义 如果二级曲线的如果二级曲线的表达式可以表达式可以(不可以不可以)分解分解为两个一次因式的乘积为两个一次因式的乘积, 则则称其称其退化退化( (非退化非退化) )二级曲二级曲线线.2.二次曲线的退化（非退化）二次曲线的退化（非退化）注：注：后面（后面（6.26.2节）我们会看到，退化的二阶曲线其图像为两节）我们会看到，退化的二阶曲线其图像为两条直线（在极限情况下，这两直线可重合为一直线）；退化条直线（在极限情况下，

6、这两直线可重合为一直线）；退化的二级曲线其图像为两个点（线束），的二级曲线其图像为两个点（线束），( (在极限情况下，这两在极限情况下，这两个点可重合为一点。个点可重合为一点。) )云云 南南 师师 范范 大大 学学7二、二次曲线的几何结构二、二次曲线的几何结构 定理定理6.1 有两个不共心的射影线束，对应线交点的全有两个不共心的射影线束，对应线交点的全体连同这两个线束的心组成一条二阶曲线。体连同这两个线束的心组成一条二阶曲线。定理定理6.1有两个不共底的射影点列，对应点连线有两个不共底的射影点列，对应点连线的全体连同这两个点列的底组成一条二级曲线。的全体连同这两个点列的底组成一条二级曲线。证

7、明定理证明定理6.1： 设两个线束的方程为设两个线束的方程为G+H=0，G+H=0， 其中其中G、H、G、H是是x1、x2、x3的一次齐次式，的一次齐次式，例如例如G=g1x1+g2x2+g3x3,H=h1x1+h2x2+h3x3,等等.并且并且由于两线束成射影对应由于两线束成射影对应.所以有所以有云云 南南 师师 范范 大大 学学8二、二次曲线的几何结构二、二次曲线的几何结构0.,0.GHGHHGGHGHHG ，从 上 两 式 解 出和， 代 入 这 一 式 得-或（）（） 这式左端是这式左端是x1、x2、x3的的二次齐式二次齐式，所以按定，所以按定义，两射影线束对应线交点的轨迹是一条二阶曲

8、线义，两射影线束对应线交点的轨迹是一条二阶曲线.并且并且G=0，H=0满足上述方程，即第一线束中心是满足上述方程，即第一线束中心是二阶曲线上的一点二阶曲线上的一点.同理第二线束中心也是这二阶同理第二线束中心也是这二阶曲线上一点。曲线上一点。云云 南南 师师 范范 大大 学学9二、二次曲线的几何结构二、二次曲线的几何结构定理定理6.26.2 设二阶曲线设二阶曲线由射影线束由射影线束O(P)与与O(P)生成生成. 则在则在上任意取定相异二点上任意取定相异二点A, B, 与与上的动点上的动点M连连线可得两个射影线束线可得两个射影线束)(MA).(MB定理定理6.26.2：设有一条二级曲线，它是由两个

9、：设有一条二级曲线，它是由两个射影点列对应点的联线构成的；设射影点列对应点的联线构成的；设a a、b b为这为这曲线的两条定线，曲线的两条定线，m m为它的一条动直线，则两为它的一条动直线，则两点列点列amam与与bmbm成射影对应成射影对应. .这里证明定理这里证明定理6.26.2：证明分析：设二阶曲线是由以证明分析：设二阶曲线是由以O O，OO为中心的两射影线束为中心的两射影线束O O（P P）和和O(P)O(P)所生成。在此二阶曲线上任意取定两点所生成。在此二阶曲线上任意取定两点A A和和B B，设，设M M为曲为曲线上动点，我们只须证明出线上动点，我们只须证明出 即可。即可。)(MA)

10、.(MB云云 南南 师师 范范 大大 学学10 证明证明. 设设由由O(P) O(P)生成生成.)()(MBMA设设KPOBMKOPAM)()(KOPMA) ()(KPOMB只要证只要证).()(KPOKOP设设),( )(POPO).,( ),(MPBAOMPBAO分别以分别以AM, BM截截, 得得)., , (), ,(MKBABMMKBAAM)., , (), ,(MKBABMMKBAAM., BAMOBABMAO从而对应点的连线共点从而对应点的连线共点, 即即AA, BB, KK共点于共点于S. 但是但是OBAOS 为定点为定点, 故当故当M变动时变动时, KK经过定点经过定点S.

11、即即).()(KPOKOP二、二次曲线的几何结构二、二次曲线的几何结构 注意到注意到M自对应自对应云云 南南 师师 范范 大大 学学11定理定理6.3：给定无三点：给定无三点共线的任意五点，可决共线的任意五点，可决定一条也仅仅一条二阶定一条也仅仅一条二阶曲线。曲线。二、二次曲线的几何结构二、二次曲线的几何结构定理定理6.3：给定无三线共：给定无三线共点的任意五条直线，可决点的任意五条直线，可决定一条而且也仅仅一条二定一条而且也仅仅一条二级曲线。级曲线。证明定理证明定理6.3: 设已知五点设已知五点O,O,A,B,C.以其中任意以其中任意两点两点O和和O为心，分别连线为心，分别连线OA，OB,O

12、C与与OA，OB,OC.由一维射影几何基本定理，三对对应线由一维射影几何基本定理，三对对应线OA与与OA ，OB与与OB, OC与与OC决定唯一的射影决定唯一的射影对应，从而决定了唯一的一条二阶曲线通过已知的对应，从而决定了唯一的一条二阶曲线通过已知的五点。由定理五点。由定理6.2，知道这样决定的曲线，不因哪两，知道这样决定的曲线，不因哪两点取为线束的中心而改变。点取为线束的中心而改变。云云 南南 师师 范范 大大 学学12定理定理6.4：二阶曲线上：二阶曲线上四点与其上任意第五点四点与其上任意第五点所联四直线的交比（如所联四直线的交比（如果这交比有意义）为常果这交比有意义）为常数。数。二、二

13、次曲线的几何结构二、二次曲线的几何结构定理定理6.4：二级曲线的四：二级曲线的四条定直线与它的任意第五条定直线与它的任意第五条直线相交所得的交比条直线相交所得的交比（如果这交比有意义）为（如果这交比有意义）为常数。常数。证明定理证明定理6.4 设四点以设四点以ABCD表示，并以表示，并以E和和E表示表示第五点的两个位置第五点的两个位置.取取E和和E作为两个射影线束的中心作为两个射影线束的中心以产生这二阶曲线，则以产生这二阶曲线，则( , , , )( , , , ).E ABC DE ABC C从而从而E（AB,CD）=E(AB,CD).即是说四直线所即是说四直线所成交比，不因第五点的位置而变

14、，故为一常数。成交比，不因第五点的位置而变，故为一常数。云云 南南 师师 范范 大大 学学13一、概念一、概念 由上述的定理由上述的定理, 我们有我们有定义定义6.2 二阶曲线就是两二阶曲线就是两个射影线束对应直线交个射影线束对应直线交点的全体点的全体。定义定义6.2 二级曲线就是两二级曲线就是两个射影点列对应点联线的个射影点列对应点联线的全体。全体。 定义定义6.3 ：两个透视对应线：两个透视对应线束中，对应直线交点的全体束中，对应直线交点的全体称为称为变态的二阶曲线变态的二阶曲线. 6.3两个透视对应点列中，两个透视对应点列中，对应点联线的全体称为对应点联线的全体称为变变态的二级曲线态的二

15、级曲线. 由于射影对应分为透视对应和非透视对应两种，由于射影对应分为透视对应和非透视对应两种，如果专就透视对应而言，我们有下述定义。如果专就透视对应而言，我们有下述定义。云云 南南 师师 范范 大大 学学14一、概念一、概念注意：注意：在退化的二阶曲线在退化的二阶曲线中，连结两个心的直线既中，连结两个心的直线既属于第一线束，又属于第属于第一线束，又属于第二线束，它是自身对应的，二线束，它是自身对应的，所以这连线上任一点都可所以这连线上任一点都可以看做是交点以看做是交点.因此变态因此变态的二阶曲线是两直线（点的二阶曲线是两直线（点列），其中一条就是对应列），其中一条就是对应直线交点所在的直线。在

16、直线交点所在的直线。在极限情况，这两直线可重极限情况，这两直线可重合为一直线。合为一直线。LL图图6.26.2（a a）云云 南南 师师 范范 大大 学学15注意注意：在退化的二级曲：在退化的二级曲线中，两个底的交点既线中，两个底的交点既属于第一点列，又属于属于第一点列，又属于第二点列，它是自身对第二点列，它是自身对应的，所以过这交点的应的，所以过这交点的任一直线都可以看做是任一直线都可以看做是连线连线.因此变态的二级曲因此变态的二级曲线是两点（线束），其线是两点（线束），其中一个就是其他对应点中一个就是其他对应点连线所交的点。在极限连线所交的点。在极限情况，这两点可重合为情况，这两点可重合为

17、一点。一点。lS图图6.26.2（b b）云云 南南 师师 范范 大大 学学16一、概念一、概念 和变态二阶曲线与变态二级曲线相反，有常态二阶和变态二阶曲线与变态二级曲线相反，有常态二阶曲线与常态二级曲线曲线与常态二级曲线.定义定义6.4有两个非透视的有两个非透视的不共心的射影对应线束，不共心的射影对应线束，其对应线交点的全体称其对应线交点的全体称为为常态二阶曲线常态二阶曲线.定义定义6.4有两个非透视有两个非透视的不共底的射影对应点的不共底的射影对应点列，其对应点联线的全列，其对应点联线的全体称为体称为常态二级曲线常态二级曲线。 定理定理6.5 ：常态二阶曲：常态二阶曲线的切线全体组成常态线的切线全体组成常态二级曲线。二级曲线。定理定理6.5 常态二级曲线常态二级曲线的切点全体组成常态二的切点全体组成常态二阶曲线。阶曲线。常态二阶曲线与常态二级曲线间有下述关系：常态二阶曲线与常态二级曲线间有下述关系：云云 南南 师师 范范 大大 学学17 例：例： 求两个成射影对应的线束：求两个成射影对应的线束：x x1 1-x-x3 3=0=0与与x x2 2xx3 3=0=0（+=1）所构成的二阶曲线的方程。）所构成的二阶曲线的方程。 解解云云 南南 师师 范范 大大 学学9因为因为+=1,所以所以=1-,于是两线束可以