二维随机向量

1、 第三章第三章 随机向量随机向量 有些随机现象只用一个随机变量来描述是有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来同时描述。不够的，需要用几个随机变量来同时描述。3. 导弹在空中位置导弹在空中位置坐标坐标 (X, Y, Z)。1. 某人体检数据某人体检数据血压血压XY；例如：例如：2. 钢的基本指标钢的基本指标含碳量含碳量 X，含硫量，含硫量 Y和和 硬度硬度 Z ； 一般地一般地, 将随机试验涉及到的将随机试验涉及到的 n 个随机量个随机量 X1, X2 , , Xn 放在一起，放在一起，记成记成 (X1, X2 , , Xn )，称，称 n 维维随机向量随机向量 (或变

2、量或变量)。 由于从二维随机向量推广到多维随机向由于从二维随机向量推广到多维随机向量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二维随机向量。维随机向量。3.1 3.1 二维随机向量及其分布函数二维随机向量及其分布函数 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为，X与与Y是是定义在定义在上的两个随机变量上的两个随机变量, 由它们构成的向量由它们构成的向量 (X, Y) 称为二维随机向量。称为二维随机向量。 二维随机向量二维随机向量(X, Y)的性质不仅与的性质不仅与X 和和Y 的性质有关，而且还依赖于的性质有关，而且还依赖于X和和Y之间的相互之间的相互关系。因此，必须把

3、关系。因此，必须把(X, Y)作为一个整体来看作为一个整体来看待，加以研究。待，加以研究。 为此，首先引入二维随机向量为此，首先引入二维随机向量(X, Y)的分的分布函数的概念。布函数的概念。定义二维随机向量定义二维随机向量(X, Y) 的分布函数为的分布函数为.,), ,() ,(yxyYxXPyxF取定取定x0 0, ,y0 0 R =(-=(-, ,), , F( (x0 0, ,y0 0) )就是点就是点( (X,Y) )落在平面上，以落在平面上，以( (x0 0, ,y0 0) )为顶点，且位于该点为顶点，且位于该点左下方无限矩形区域上的概率。左下方无限矩形区域上的概率。 如果将如果

4、将 (X, Y) 看成平面上随机点的坐标。看成平面上随机点的坐标。 由上面的几何解释，由上面的几何解释，易见易见: : 随机点随机点( (X, Y) )落在矩落在矩形区域形区域: : x1 1 Xx2 2, , y1 1 Yy2 2内的概率为内的概率为 Px1Xx2 , y1Yy2=F(x2, y2)- -F(x2, y1)- - F(x1, y2)+F(x1, y1).说明说明 (1).(1).有界性：有界性： 0F(x, y)1，且，且 y R, F(- -, y)=0， x R, F(x, - -)=0， F(- -, - -)=0，F(, )=1.).,(lim),(,),(lim),

5、(),(lim),(,),(lim),(,yxFFyxFFyxFxFyxFyFyxyxyx其中其中二维分布函数二维分布函数F(x, y)的基本性质的基本性质(2).(2).单调性：单调性：F(x, y)是变量是变量 x, ,y 的非减函数，的非减函数， 即即 y R 给定，当给定，当 x1 1 x2 2 时，时， F(x1, y)F(x2, y). 同样同样, , x R 给定，当给定，当y1y2时时, F(x, y1)F(x, y2).(3).(3).右连续右连续.3.2 3.2 二维离散型随机向量二维离散型随机向量 如果随机向量如果随机向量 (X, Y) 的每个分量都是离的每个分量都是离散

6、型随机变量，则称散型随机变量，则称 (X, Y) 是二维离散型随是二维离散型随机向量。机向量。 二维离散型随机向量二维离散型随机向量 (X, Y) 所有可能取所有可能取的值也是有限个，或可列无穷个。的值也是有限个，或可列无穷个。 1. 1.二维离散型随机向量的概率分布二维离散型随机向量的概率分布 . 1, 011 ijijijpp其中其中1 21 2 (, )(,), , , ,(, ),.ijijijX Yx yi jP Xx Yypi jX YXY 设设二二维维离离散散型型随随机机向向量量所所有有可可能能取取的的值值为为记记称称此此为为二二维维离离散散型型随随机机向向量量的的分分布布律律或

7、或随随机机变变量量和和的的联联合合分分布布律律联合概率分布律也可以用表格表示。联合概率分布律也可以用表格表示。 表表3. 13. 1 2. 2.二维离散型随机向量的分布函数二维离散型随机向量的分布函数 设二维离散型随机向量设二维离散型随机向量 (X, Y) 的概率分的概率分布为布为 PX=xi, Y= yj =pij， i=1, 2, , j=1, 2, .于是于是, (X, Y) 的分布函数为的分布函数为yyxxjijiyYxXPyYxXPyxF , , ,),( xxyyijxxyyjiyyxxjiijijjipyYxXPyYxXPyYxXPyxF , , ,),( ,(,)(,)ijij

8、xyGPX YGp 注意：注意：例例1 1：将两个球等可能地放入编号为：将两个球等可能地放入编号为1 1， 2 2 ，3 3的盒的盒子中，以子中，以X表示放入表示放入1 1号盒子中的球数号盒子中的球数, ,Y表示放入表示放入2 2号盒子中的球数，求号盒子中的球数，求X与与Y的联合分布律及的联合分布律及PX=Y.解解: :X的可能取值为的可能取值为：0 0，1 1，2 2Y的可能取值为的可能取值为：0 0，1 1，2 22001 31 9,/ ,P XY 2012 32 9,/ ,P XY 2021 31 9,/ ,P XY2102 32 9,/ ,P XY 由此得由此得X与与Y的联合分布律为的

9、联合分布律为: :2112 32 9,/ ,P XY120,(),P XYP 2201 31 9,/ ,P XY210,(),P XYP 220,(),P XYP 例例2 2：将一枚均匀硬币掷：将一枚均匀硬币掷3 3次，以次，以X表示正面出现的表示正面出现的次数，次数，Y表示正面出现的次数与反面出现的次数之表示正面出现的次数与反面出现的次数之差的绝对值，试求差的绝对值，试求X与与Y的联合分布律的联合分布律. .解：解： X= =0 0，1 1，2 2，3 3，且且XB( (3,1/23,1/2).).Y=1=1，3.3.；010YXP，11YXP，；8312YXP，；83；013YXP，30Y

10、XP，；81；031YXP，；032YXP，8133YXP，由此得由此得X与与Y的联合分布律为的联合分布律为 X Y0123108383038100811. 1. 二维连续型随机向量二维连续型随机向量 设二维随机向量设二维随机向量( (X, Y) )的分布函数为的分布函数为F(x, y) )，如果存在一个非负函数如果存在一个非负函数f( (x, ,y),),使得对任意实数使得对任意实数 x, ,y, , 有有则称则称( (X, ,Y) )为连续型随机向量为连续型随机向量, ,f( (x, ,y) )为为(X,Y)的的概率密度函数概率密度函数, , 简称概率密度。或称为简称概率密度。或称为X与与

11、Y的的联合概率密度联合概率密度., ),(),(yxdudvvufyxF3.3 3.3 二维连续型随机向量二维连续型随机向量21( )( , ) d d( ,).f x yxyF .dd),(),( GyxyxfGYXP. 0),()1( yxf注：密度函数的性质注：密度函数的性质内内的的概概率率为为落落在在点点平平面面上上的的一一个个区区域域是是设设GYXxoyG),(,)3(. ),(),(,),(),()4(2yxfyxyxFyxyxf 则则有有连连续续在在若若连续型随机变量连续型随机变量 X 的概率密度的概率密度: . 1)(, 0)(dxxfxf连续型随机向量连续型随机向量 (X,

12、,Y) 的联合概的联合概率密度率密度: . 1),(, 0),(dxdyyxfyxf G( , )( , ).GPx yf x y dxdy ( )IP XIf x dx 解解: (1). (1). 由由例例 1：设设( (X,Y) )的联合概率密度为的联合概率密度为其中其中A是常数。是常数。(1).(1).求常数求常数A；(2).(2).求求( (X, ,Y) )的分布函数；的分布函数；(3).(3).计算计算 PP0X4, 0Y5 。,)25)(16(),(222RyxyxAyxf, 1)25)(16(222 dxdyyxA(3).(3).P00X4, 04, 0Y555422200452

13、220022016252011162520 14150044551114416()()arctanarctan.dxdyxydxdyxy 22e00012()(,),( , ),.( )( , );( ).xyX Yxyf x yF x yP YX 设设二二维维随随机机变变量量具具有有概概率率密密度度其其他他求求分分布布函函数数求求概概率率例例2:2:解解: : yxyxyxfyxFdd),(),()1( .,0, 0, 0,dde200)2(其他其他yxyxyxyx ., 0. 0, 0),e1)(e1(),(2其其他他得得yxyxFyx (2) 将将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标

14、看作是平面上随机点的坐标,即有即有),(GYXPXYP yxyxfGdd),( 202e()ddxyyxy .31 XY GxyO（1）均匀分布）均匀分布: 设设D是平面上的有界区域是平面上的有界区域, ,其其面积为面积为d, ,若二维随机向量若二维随机向量( (X, Y) )的联合概率密的联合概率密度为度为: :则称则称( (X, ,Y) )为服从为服从 D上的均匀分布。上的均匀分布。 .),( ,0 ,),( ,/1),(DyxDyxdyxf ( (X, ,Y) )落落在在 D中某一区域中某一区域A内的概率内的概率 P(P(X, ,Y) ) A,与与 A 的面积成正比，而与的面积成正比，而与A的位置和形状无关。的位置和形状无关。P(P(X, Y) ) A=A的面积的面积/ /d. .2.常用分布常用分布解解: 例例3：设设( (X, Y) )服从圆域服从圆域 x2 2+ +y2 244上的均匀分布，上的均匀分布，计算计算P(P(X, ,Y) ) A ，这里，这里A是中阴影部分的区域。是中阴影部分的区域。 圆域圆域 x2 2+ +y2 244面积面积 d=4=4 ；区域区域A是是x=0, =0, y=0 =0 和和 x+ +y=1 =1 三条直线三条直线所围成的三角区域，并且包含在圆域所围成的三角区域，并且包含在圆域x2