高等数学论文[共6页]

1、高数课程论文课程名称： 高等数学下册 单位： 合肥学院计科系 姓名： 张玉东 学号： 1104011022 二重积分的计算方法摘要：在工程和科技领域中，往往需要计算定义在某范围上的多元函数的特定形式和式的极限，这就需要用到重积分的计算方法。重积分包括二重积分与三重积分，而二重积分在高等数学中占有特殊的地位,我们可以通过用极坐标，改变积分次序，变量替换等方法来计算二重积分。关键字：二重积分 极坐标 积分次序 变量替换正文：直接用定义计算二重积分是相当困难的，我们可以从二重积分的几何意义出发，分别在直角坐标系与极坐标系中讨论二重积分的计算方法。一、 直角坐标系下的二重积分的计算1、型区域 设积分区

2、域由两条直线与两条连续曲线（且）所围成，即为型区域。则：称之为先对再对的累次积分。例1、求 解:另解：2、型区域 设积分区域是由两条直线与两条连续曲线(且)所围成，即为型区域。则：称之为先对再对的累次积分。例2、计算二重积分其中是抛物线与直线所围成的区域。解：画出积分区域如图，并求边界曲线的交点（1，-1）及（4,2），由图可见，先积（内积分）后积（外积分）较为简便。由定限示意图得： =3、若既不是型也不是型，先将分割成若干个型或型，、注1 由上得直角坐标系下的二重积分一般的计算步骤：第一步 画出积分区域的图形，并求出的边界曲线的交点坐标（若有的话）；第二步 选择积分次序。其原则为：第一次积分

3、容易，并能为第二次积分创造条件；对划分的块数越少越好；第三步 确定积分限。定限口诀为：后积先定限（将投影到后积分的相应坐标轴上，得出积分的上、下限为两个常数），限内划条线（与先积分相应的坐标轴平行同向）；先交下限写（先交的写在积分的下限），后交上限见（后交的写在积分上限）；第四步 计算二次积分。注2 积分次序的变换：第一步 由所给的二次积分的上，下限列出表示积分区域的不等式组；第二步 由表示的不等式组画出的图形；第三步 由的图形将视为另一型区域，写出相应的不等式组；第四步 由表示的不等式组得出改变了次序的二次积分。二、 极坐标下的二重积分的计算1、 极点在积分区域的外面设积分区域在极坐标下由两

4、条曲线，及两条射线所围成，因此，则：例3、解：在极坐标下圆的方程为 直线方程为 则2、极点在积分区域的边界上 设积分区域在极坐标下由曲线，及两条射线所围成，因此则：例4、把化为极坐标系中的累次积分，其中是由圆所围成的区域。解：在极坐标中，积分区域可表示为则3、极点在积分区域的内部 设积分区域在极坐标下由曲线所围成，因此，则：例5、计算，其中是由中心在原点，半径为的圆周所围成的闭区域。解：在极坐标中，积分区域可表示为三、 二重积分的变量替换 设函数在区域上连续，若（1） 变换把平面上的区域一一对应地变到平面上的区域；（2） 与在上有一阶连续偏导数，雅克比行列式 则：称之为二重积分的变量替换公式。例6、计算，其中是由曲线和直线所围成的第一象限的区域。解：作变换，即可得，这里：于是：注1 若雅克比行列式只在内个别点上或一条曲线上为零，而在其他点上不为零，那么变量替换