第三章点,线的投影

1、1 第三章第三章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2 3.1 3.1 投影法及三视图的形成投影法及三视图的形成 3.2 3.2 点的投影点的投影 3.3 3.3 直线的投影直线的投影 3.4 3.4 平面的投影平面的投影 3.5 3.5 平面内的点和直线平面内的点和直线 内内 容容 3 投影概念投影概念 把空间形体表示在把空间形体表示在平平 面上，是以投影法为基础面上，是以投影法为基础 的。投影法源出于日常生的。投影法源出于日常生 活中光的投射成影这个物活中光的投射成影这个物 理现象。理现象。 例如，当灯光照射室例如，当灯光照射室 内的一张桌子时，必有影内的一张桌子时，必有影 子落在

2、地板上；如果把桌子落在地板上；如果把桌 于搬到太阳光下，那么，于搬到太阳光下，那么， 必有影子落在地面上。必有影子落在地面上。 4 投影法投影法 投影中心投影中心 投影面投影面 投影线投影线 空间点空间点 投影投影 S B A b a 投射线通过物体，向选定的平面进行投射，投射线通过物体，向选定的平面进行投射， 并在该面上得到图形的方法并在该面上得到图形的方法投影法投影法。 5 投影的分类投影的分类 6 投影面 P 中心投影 中心投影法中心投影法 S 投射中心 c b a 投射线 A C B 表达对象 投影中心投影中心S距投距投 影面影面P有限远有限远 7 平行投影法平行投影法 当当投影中心投

3、影中心S据投影面据投影面P为无穷远为无穷远时，所有的投时，所有的投 射线变得互相平行（如同太阳光一样），这种投射线变得互相平行（如同太阳光一样），这种投 影法称为平行投影法。其中，影法称为平行投影法。其中，根据投射线与投影根据投射线与投影 面的相对位置的不同面的相对位置的不同，又可分为，又可分为正投影法正投影法和和斜投斜投 影法影法两种。两种。 投射线投射线垂直于垂直于投影面产生的平行投影叫做投影面产生的平行投影叫做正投影正投影 投射线投射线倾斜于倾斜于投影面产生的平行投影叫做投影面产生的平行投影叫做斜投影斜投影 8 P 正投影 c b a 正投影法正投影法 A C B 90 投射线方向 投影

4、中心投影中心S距投影距投影 面面P无限远且投射无限远且投射 线垂直于投影面线垂直于投影面 正投影的形状 大小与表达对象 本身存在简单明 确的几何关系， 因此具有较好的 度量性，但立体 感差。 9 P 斜投影 c b a 斜投影法斜投影法 A C B 投射线方向 90 投影中心投影中心S距投影距投影 面面P无限远且投射无限远且投射 线倾斜于投影面线倾斜于投影面 10 11 O 三投影面体系三投影面体系 X Y Z 12 从三面投影面体系中取出我从三面投影面体系中取出我 国所用的第一角投影国所用的第一角投影 。 13 W Y YH H Y YW WX X 展开后的投影板展开后的投影板 14 正投影

5、法能准确地表达物体的形状，度量性好，画图 方便，在工程上得到广泛运用。 3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图 15 正投影法的基本特性正投影法的基本特性 1.真实性：当直线、曲线或平面平行于投影面时，直线 或曲线反映实长，平面反映真实形状。 3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图 16 正投影法的基本特性正投影法的基本特性 2.积聚性: 当直线、曲面或平面垂直于投影面时，直线积 聚成一点，曲面或平面积聚成曲线或直线。 3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图 17 正投影法的基本特性正投影法的基本特性 3.类似性：当直线、曲线或平面倾斜于投影面时，直线或曲 线投影仍为直线或曲

6、线，但小于实长。平面应小于真实 投影大小，与原平面外形类似。 3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图 18 通过以上分析，平面的投影特性可归纳如下：通过以上分析，平面的投影特性可归纳如下： 平面平行投影面，投影实形现平面平行投影面，投影实形现-真实性。真实性。 平面垂直投影面，投影呈直线平面垂直投影面，投影呈直线-积聚性。积聚性。 平面倾斜投影面，投影类似形平面倾斜投影面，投影类似形-类似性。类似性。 3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图 19 视图：视图：用正投影法绘制的物体的图形称为视图。 3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图 20 用正投影 法在一个投影 面上绘制的

7、物 体的图形只能 反映物体的一 个方向的形状 因此，常用三 视图来表达。 主视图：主视图：将物体由前向后向正投影面投影得到的视图。 俯视图：俯视图：将物体由上向下向水平投影面投影得到的视图 左视图：左视图：将物体由左向右向侧投影面投影得到的视图 3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图 三视图的形成三视图的形成 21 三个投影面三个投影面: : 正投影面V 水平投影面H 侧投影面W 三根投影轴：三根投影轴： 两个投影面 的交线OX、OY、 OZ 轴。 三视图的放置：三视图的放置：俯视图在主视图的下方， 左视图在主视图的右方。 3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图 22 三视图的投影

8、关系三视图的投影关系 物体有长、宽、高三个方向尺寸。 主视图反映物体的长、高尺寸。主视图反映物体的长、高尺寸。 俯视图反映物体的长、宽尺寸。俯视图反映物体的长、宽尺寸。 左视图反映物体的宽、高尺寸。左视图反映物体的宽、高尺寸。 根据三视图之间的投影关系， 归纳以下三条投影规律： 主、俯视图长对正。主、俯视图长对正。 主、左视图高平齐。主、左视图高平齐。 俯、左视图宽相等。俯、左视图宽相等。 3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图 23 三视图与物体方位的对应关系三视图与物体方位的对应关系 主视图主视图反映物体的上下、左右相对位置关系。 俯视图俯视图反映物体的前后、左右相对位置关系。 左视

9、图左视图反映物体的上下、前后相对位置关系。 3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图 24 投影举例：投影举例： 根据物体的 立体图，画出其 三视图。 3.1.2 正投影法及三视图正投影法及三视图 25 A a 点的一个投影点的一个投影 能确定点的空能确定点的空 间位置吗？间位置吗？ A1 A2 26 H V OX A a a ax H V OX a a ax 投影轴投影轴 水平投影面水平投影面 正面投影面正面投影面 27 H V OX a a ax 28 H V X 水平投影面水平投影面 正面投影面正面投影面 O W 侧面投影面侧面投影面 a a a Y Z ax ay az A VW

10、H O X Y Y Z a a a ax az 29 投影规律投影规律 O X Y Y Z a a a ax az 30 例：已知点例：已知点A的两个投影的两个投影a, a , 求第三投影求第三投影a。 a a a ax az 解法一解法一: 通过作通过作45线线 使使a az=aax 解法二解法二: : 用圆规直接量用圆规直接量 取取a az=aax Z O XYW YH YH YW aza a a ax Z OX YH YW 31 点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系 A a a a ax ay az V H W O X Y Z X aa a O ax ay az Z

11、ay YH YW H W x y z x y zy 32 例：求点例：求点A(40,20,30)的三面投影的三面投影 X O ax az Z YH YW ay H ay W 40 20 30 20 已知点已知点A : X坐标坐标=40毫米；毫米； Y坐标坐标=20毫米；毫米； Z坐标坐标=30毫米。毫米。 aa a 33 空间点的重建法空间点的重建法 (a) (a) 坐标法坐标法(b) (b) 逆投影线法逆投影线法 已知点已知点A的坐标或投影，在大脑中进行的坐标或投影，在大脑中进行 34 特殊位置的点特殊位置的点 O X b b c c C=c c a b a a X O V H A=a B=

12、b 35 36 两点的相对位置及重影点两点的相对位置及重影点 两点的相对位置指两两点的相对位置指两 点在空间的上下、前后、点在空间的上下、前后、 左右位置关系。左右位置关系。 判断方法：判断方法： x x 坐标大的在左坐标大的在左 y y 坐标大的在前坐标大的在前 z z 坐标大的在上坐标大的在上 A点在点在B点之前、点之前、 之右、之之右、之上上。 b a a a b b X X Y YH H Y YW W Z Z o o 1. 1. 两点的相对位置两点的相对位置 37 O 比较比较A A、B B两点的相对坐标两点的相对坐标 x x z z y y A A点在点在B B点之右点之右A A点在

13、点在B B点之后点之后A A点在点在B B点之上点之上 38 ( )a c c 2. 重影点重影点 空间两点在某一投空间两点在某一投 影面上的投影重合为一影面上的投影重合为一 点时，则称此两点为该点时，则称此两点为该 投影面的重影点。投影面的重影点。 a a c 被挡住的投被挡住的投 影加影加( )( ) A、C为哪个投为哪个投 影面的重影点影面的重影点 呢？呢？ A、C为为H 面的重影点面的重影点 Z X YW O YH 39 ( )a b A A、B B为水平投影面的重影点为水平投影面的重影点 X X Y Y Z Z O O V V H H W W A A a a a x a az ay

14、b B b (b) b a a b Z X YW O YH 40 d (c ) c d C D a(b) a b A B a b a(b) d (c ) c d A A、B B为水平投影面的重影点为水平投影面的重影点 C C、D D为正面投影面的重影点为正面投影面的重影点 41 a 例题例题11 已知点已知点A的正面与侧面投影，求点的正面与侧面投影，求点A的水平投影。的水平投影。 42 例题例题22已知点已知点A在点在点B之前之前5毫米，之上毫米，之上9毫米，之右毫米，之右8毫米，毫米， 求点求点A的投影。的投影。 a a a 9 8 5 43 例题例题3 已知点已知点A在在H面上，点面上，点

15、B在在W面上，点面上，点C 在在V面上，试求各点的投影。面上，试求各点的投影。 c c c bb b c c a a O b b a a a Aa Bb Cc 44 45 46 47 48 49 50 51 3.3 直线的投影直线的投影 V H XO B A a b a b 由于直线的投由于直线的投 影一般情况下仍影一般情况下仍 为直线，且两点为直线，且两点 决定一直线，故决定一直线，故 要获得直线的投要获得直线的投 影，只需作出已影，只需作出已 知直线上的两个知直线上的两个 点的投影，再将点的投影，再将 它们相连即可。它们相连即可。 52 1、直线对一个投影面的投影特性、直线对一个投影面的投

16、影特性 B B A A a b 直线垂直于投影面直线垂直于投影面 投影重合为一点投影重合为一点 积积 聚聚 性性 直线平行于投影面直线平行于投影面 投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=AB 直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面 投影比空间线段短投影比空间线段短 投影不反映线段实长投影不反映线段实长 ab=AB*cos A A B B a b A A B B a (b) M M (m) 53 投影面平行线投影面平行线 平行于某一投影面而平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜 投影面垂直线投影面垂直线 正平线（平行于正平线（平行于V面）面） 水平线（平行于水平线（平行于H面面)

17、侧平线（平行于侧平线（平行于W面）面） 正垂线（垂直于正垂线（垂直于V面）面） 铅垂线（垂直于铅垂线（垂直于H面）面） 侧垂线（垂直于侧垂线（垂直于W面）面） 一般位置直线一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线 统称特殊位置直线统称特殊位置直线 垂直于某一投影面垂直于某一投影面 其投影特性取决于直线与三个投影面间其投影特性取决于直线与三个投影面间 的相对位置。的相对位置。 54 直线的分类直线的分类 55 3. 特殊位置直线特殊位置直线 投影面垂直线投影面垂直线 垂直于一个投影面，同时平行于其它两个投影面的直线。垂直于一个投影面，同时平行于其它两个投影面的直线。 铅垂线

18、铅垂线垂直于垂直于H面，同时平行于面，同时平行于V、W面的直线。面的直线。 正垂线正垂线垂直于垂直于V面，同时平行于面，同时平行于H、W面的直线。面的直线。 侧垂线侧垂线垂直于垂直于W面，同时平行于面，同时平行于H、V面的直线。面的直线。 56 V W H X Y Z O A B 铅垂线铅垂线（垂直于垂直于H面，同时平行于面，同时平行于V、W面的直线）面的直线） Z b X a b a(b) O YH YW a b a(b) a a b 水平投影积聚为一点；水平投影积聚为一点； 正面投影及侧面投影平正面投影及侧面投影平 行于行于OZ轴，且反映实长轴，且反映实长. 57 V W H X Y Z

19、O A B 正垂线正垂线（垂直于垂直于V面，同时平行于面，同时平行于H、W面的直线）面的直线） Z X (a)b b a O YH YW a b b ab a b a 正面投影积聚为一点；水正面投影积聚为一点；水 平投影及侧面投影平行于平投影及侧面投影平行于 OY轴，且反映实长。轴，且反映实长。 58 V W X Y Z O AB H 侧垂线侧垂线（垂直于垂直于W面，同时平行于面，同时平行于H、V面的直线）面的直线） b a ab a b YW Z X a(b) b a O YH a b 侧面投影积聚为一点；水侧面投影积聚为一点；水 平投影及正面投影平行于平投影及正面投影平行于 OX轴，且反映

20、实长。轴，且反映实长。 59 投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性 投影面垂直线的投影特性可概括如下：投影面垂直线的投影特性可概括如下： （1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点； （2）该直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相）该直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相 应的投影轴，且都等于该直线的实长。应的投影轴，且都等于该直线的实长。 事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平行事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平行 于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空间于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空间 直线的三面投

21、影中有一面投影积聚为一点，则该直线直线的三面投影中有一面投影积聚为一点，则该直线 必垂直于积聚投影所在的投影面。必垂直于积聚投影所在的投影面。 60 特殊位置直线特殊位置直线 投影面平行线投影面平行线 平行于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的直线。平行于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的直线。 水平线水平线平行于平行于H面，同时倾斜于面，同时倾斜于V、W面的直线。面的直线。 正平线正平线平行于平行于V面，同时倾斜于面，同时倾斜于H、W面的直线。面的直线。 侧平线侧平线平行于平行于W面，同时倾斜于面，同时倾斜于H、V面的直线。面的直线。 61 A B V W H X Y Z O 水平线水

22、平线（平行平行H面，同时倾斜于面，同时倾斜于V、W面的直线）面的直线） a a b a b b X a b a b b a O Z YH YW 水平投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于水平投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于OZ轴轴 62 V W H X Y Z O A B 正平线正平线（平行平行V面，同时倾斜于面，同时倾斜于H、W面的直线）面的直线） a a b a b b 正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于OY轴轴 X a b a b b a O Z YH YW 63 V W H X Y Z O A B 侧平线侧

23、平线（平行平行W面，同时倾斜于面，同时倾斜于H、V面的直线）面的直线） a a b a b b 侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于OX轴轴 b X Z a b b a O YH YW a 64 投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性 投影面平行线的投影特性可概括如下：投影面平行线的投影特性可概括如下： （1）直线在它所平行的投影面上的投影反映实长，）直线在它所平行的投影面上的投影反映实长， 且反映对其他两个投影面倾角的实形；且反映对其他两个投影面倾角的实形； （2）该直线在其他两个投影面上的投影分别平行于）该直线在其他两个投影

24、面上的投影分别平行于 相应的投影轴，且小于实长。相应的投影轴，且小于实长。 事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影 垂直于同一投影轴，而另一投影处于倾斜状态，则垂直于同一投影轴，而另一投影处于倾斜状态，则 该直线必平行于倾斜投影所在的投影面，且反映与该直线必平行于倾斜投影所在的投影面，且反映与 其他两投影面夹角的实形。其他两投影面夹角的实形。 65 A B V W H X Y Z O 一般位置直线一般位置直线 对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。 Z X a b a O YH YW a b b b b a

25、 b a a 66 一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性 一般位置直线的投影特性：一般位置直线的投影特性： 1）三面投影均不反映直线的实长（均小于实长）；）三面投影均不反映直线的实长（均小于实长）； 2）直线与投影面之间的倾角在投影图中均不反映实形。）直线与投影面之间的倾角在投影图中均不反映实形。 事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜 状态，则该直线一定是一条一般位置直线。状态，则该直线一定是一条一般位置直线。 67 4 . 直线上的点直线上的点 点与直线的相对位置，可分为点与直线的相对位置，可分为点在直线上点在直线上和和点点 不在直线上

26、不在直线上两种。两种。 当点在直线上时，由正投影的从属性和定比性当点在直线上时，由正投影的从属性和定比性 可知：可知： 1）点在直线上，则该点的投影必落在该直线的同）点在直线上，则该点的投影必落在该直线的同 面投影上，且符合点的投影规律；面投影上，且符合点的投影规律； 2）点分线段成某一比例，则该点的各个投影也分）点分线段成某一比例，则该点的各个投影也分 该线段的同面投影成同一比例。该线段的同面投影成同一比例。 68 b b a a A N M B V H OX 根据从属性判断点与直线的相对位置根据从属性判断点与直线的相对位置 m m n n OX b a b a n m m n 注意：对于侧

27、平线还需考察侧面投影。注意：对于侧平线还需考察侧面投影。 69 判断点判断点C C是否在线段是否在线段ABAB上。上。 c a b c a b a b c a b c 在在 不在不在 a b a a b c b c 不在不在 应用定比定理应用定比定理 另一判断法另一判断法? X X X X Z Z X X O O Y YH H Y YW W c 70 5 两直线的相对位置两直线的相对位置 71 空间两直线平行空间两直线平行 两直线在空间互相平行，则它们的同面投影也相互两直线在空间互相平行，则它们的同面投影也相互 平行。反之，若两直线的各个同面投影均相互平行，则平行。反之，若两直线的各个同面投影

28、均相互平行，则 该两直线在空间也一定相互平行。该两直线在空间也一定相互平行。 A D C B a b d c a d c b XO a d c b a b d c XO 72 空间两直线平行空间两直线平行 a d c b a d c b a c d b X Z O YH YW AB、CD不平行不平行 注意注意：对于一般位置：对于一般位置 的两直线，仅根据它的两直线，仅根据它 们的水平投影及正面们的水平投影及正面 投影是否平行，就可投影是否平行，就可 判定它们在空间是否判定它们在空间是否 平行。但是对于侧平平行。但是对于侧平 线，则必须考察它们线，则必须考察它们 的侧面投影，才可以的侧面投影，才

29、可以 断定它们在空间的真断定它们在空间的真 实位置。实位置。 73 空间两直线平行空间两直线平行 A D C B a(b) c(d) 当互相平行的两当互相平行的两 直线垂直于某一直线垂直于某一 投影面时，则在投影面时，则在 该投影面上的投该投影面上的投 影影(积聚为两点积聚为两点), 反映它们在空间反映它们在空间 的真实距离。的真实距离。 74 空间两直线相交空间两直线相交 两直线相交必有一个公共交点，因此：两直线相交必有一个公共交点，因此：若空间两直若空间两直 线相交，则它们的各同面投影均相交，且交点符合点的线相交，则它们的各同面投影均相交，且交点符合点的 投影规律。反之亦然投影规律。反之亦然。 XO a d c b k a d c k b XO a d c b a d c b k k A D C B K 75 c d d 例例. .过过C C点作水平线点作水平线CDCD与与ABAB相交。相交。