初等数论课程教学大纲新

1、初等数论课程教学大纲一、课程的性质与地位“初等数论”课程是宿迁高等师范学校数学学科专业必修的一门课程。数 学专业的学生学习初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识， 便于 理解和学习与其相关的一些课程。数论是研究整数性质的一门很古老的数学分 支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、 连分数、素数(即整数)分布以及数论函数等内容，统称初等数论( elementary number theory )。初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的 几何原本中就已出现。 欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法， 即所谓欧几里得算法。 我国

2、古代在数论方面亦有杰出之贡献， 现在一般数论书中 的“中国剩余定理”正是我国古代孙子算经中的下卷第26 题，我国称之为“孙子定理”。近代初等数论的发展得益于费马、 欧拉、拉格朗日、 勒让德和高斯等人的工 作。 1801年，高斯的算术探究是数论的划时代杰作。高斯还提出：“数学 是科学之王，数论是数学之王”。可见高斯对数论的高度评价。由于自 20 世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一 步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等 新分支。而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计 算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数

3、论的发展。、课程教学目标初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数 数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。 本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概 念、方法和技巧。数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。通过这门课的学习，使学 生获得关于整数的整除性、 不定方程、 同余式、数论函数及简单连分数的基本知 识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法， 加强他们的理解和解决数学问题 的能力，为今后的学习奠定必要的基础。三、教学基本内容及要求第一章数的整除性（一）教学目的与要求1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相

4、关性质，理解质因数分解定 理，熟练掌握用裴蜀恒等式求最大公因子、最小公倍数的方法。2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用 筛法求素数。3、了解抽屉原理的简单与一般形式、 会用抽屉原理构造一些具有特殊性质 整数。（二）教学内容1、整除性、公因数、公倍数两个整数整除的概念、剩余定理；最大公因子的概念、性质及求最大公因子 的方法；最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。2、素数与整数的素因子分解素数与合数的概念、素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法（筛 法）。3、抽屉原理抽屉原理的简单与一般形式、抽屉原理在构造具有特殊性质整数方面的应 用。重点：整除、公因子、

5、素数的概念及性质，裴蜀恒等式，求最大公因子的方 法，整数的素数分解定理。难点：整数的素数分解定理的理解与运用函数 x、x的概念及其应用。（三）教学形式与方法本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式（四）作业布置1 设四个自然数只和为1989,求证：它们的立方和不是偶数。2试证明：不存在2个自然数，它们的和与差的乘积等于 1990。3 .设印&|山务是一组数，他们中的每一个都取+1或-1，而81828384 “。:玄彳玄彳玄厶|anaa2a3 =0 证明：n必须是4的倍数。4 .设n 0,_2,证明：n -能够表示成n个连续的奇数的和。5、搜索中小学关于此类问题的题目，理解与体会方法的运用。6

6、查寻奇数，偶数在中小学问题中的运用，拓展思维，灵活运用。7、求(1) (5767，4453)(2) (3141，1592)8、求144，4809、求证：若(a,b) =1，贝U(1) (a _b,ab) = 1(2) (a b, a -b) = 1 或(a b, ab) = 210、求出能使36x 831成立的两个整数x,y。11、 二数之和是432，它们的最大公约数是36，求此二数。12、对于任意的整数n1，证明：总可以找到n个连续的合数13、求72与480的最大公约数与最小公倍数。14、( 1)迪泼瓦尔曾断言：对所有n1，6n+1和6n-1中至少有一个是质数、 举例说明他的断言错了。(2)

7、证明：有无穷多个n使6n-1和6n+1同时为合数。115、设P是合数n是最小素因数，证明：若 P n?，则-是素数P16、容易验证90、91、92、93、94、95、96是7个相邻的合数。 试写出9个相邻的合数。17、检验539是否为质数18、证明：在n2时，n与n!之间一定有一个质数n! -1，分析：由于(n! -1.n !) =1，则1到n中的所有质数均不能整除 那么必存在质数p，pn，且pvn!第二章同余理论(一) 教学目的与要求1、理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练运用同余的基本性质，会 利用同余简单验证整数乘积运算的结果。2、理解剩余类、完全剩余系的概念，熟练掌握判断剩余系的方

8、法。3、了解Fermat小定理，熟练运用之。4、理解中国剩余定理，掌握中国剩余定理的简单应用，掌握求解简单同余 式方程组的方法。（二）教学内容1、同余的概念及性质整数同余的概念、同余的基本性质，利用同余简单验证整数乘积运算的结果。2、剩余类、完全剩余系剩余类、完全剩余系的概念，判断剩余系的方法。3、费马小定理费马小定理及其应用，求余数的方法。4、中国剩余定理中国剩余定理，中国剩余定理的应用，求解同余式方程组。重点：剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质，中国剩余定理，同余性质的 运用。难点：剩余系的判定，中国剩余定理，费马小定理应用。（三）教学形式与方法本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式（

9、四）作业布置1、若k三1 （mod4，问6k+5与0.123 中哪一个 mod4同余？2、在3145X 92653=291口93685中，积有一位数字遗漏，而其它数字是正确的, 遗漏数字是什么？103、求 1010 -1010MIL 10110 被 7 除的余数。4、证明：15不能整除n2 n 2。5、314159除以7,余数是多少?6证明：若a和b均不被质数n+1整除，则an -bn被n+1整除7、证明：645是伪质数。8、证明：若a和b均不被质数n+1整除，则an -bn被n+1整除。9、对于一切a满足n|(an -a)的合数n,称为绝对伪质数，最小的绝对伪质数为561,验证：341不能整

10、除 341 -11)，从而341不是一个绝对伪质数。x 三 1(mod7)10、解同余方程组3x 三 4(mod 5)8x 三 4(mod 9)11、试用同余方程的解法，求解不定方程37x 49y =1第三章数论函数(一) 教学目的与要求1、理解欧拉函数的定义及性质。2 、了解欧拉定理，掌握循环小数的判定方法(二) 教学内容1、函数x、x、欧拉函数及其应用函数x与x及欧拉函数的概念、性质2、(n)f( n)及其运用 (n),匚(n)的含义，(n)，匚(n)公式的推导3、欧拉定理及其应用欧拉定理，循环小数的判定条件。重点：.（n ）,；（ n）公式的运用，欧拉定理难点：欧拉定理的运用（三）教学形

11、式与方法本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式（四）作业布置1、设n是正整数，证明24 一2、设a,b是任意实数，那么有a “ b 丨=ab 1 或a-b 1 = lab 1+13、求使 101102 引 11000、7k为整数的最大自然数k。4、证明：方程x，2x J 4x 丨 Ex 山；116x I 32x1-12345没有实数解。5、若n是2的幕，则二（n）是奇数；& n为什么数时，.（n）=8?7、证明： 1 =通d|n d n8、若n是偶完全数，n6,证明：n =1（mod9）；9、 二k（n）= dk,其中k为正整数，试给出n）的计算公式。d|n10、 证明：如果n的末位数字为

12、7，那么n 定有一个倍数，它的数字全不为 o11、计算（420）第四章不定方程（一）教学目的与要求1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件， 熟练掌握利用辗转相除法求二元一次不定方程的方法。2、知道不定方程寸=的整数解的形式。（二）教学内容1、二元一次不定方程二元一次不定方程的形式，二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程 有整数解的条件，利用辗转相除法求二元一次不定方程的解。2、不定方程不定方程x2 y2 =z2的整数解的形式，Fermat大定理的简单介绍。重点：二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整数解的条件， 利 用辗转相除法求二元一次不定方程的解。难点

13、：不定方程x y的整数解的形式，（三）教学形式与方法本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式（四）作业布置1、 解不定方程9x 24510002、求不定方程的正整数解（1）5x 7y =41（2）7x 3y = 1233、 把100个苹果分成两堆，使得一堆的个数能被 7整除，另一堆的个数能被11整除4、求不定方程x2 y2 = z2满足z = 65，而且yx0的全部解为（x, y,z）。第五章连分数（一）教学目的与要求1、掌握连分数、有限、无限连分数的概念，理解它们之间的关系；2 、掌握连分数、渐近分数及其之间的递推关系式，理解有限、无限连分数 与有理数、无理数之间的关系。（二）教学内容1、

14、连分数、渐近分数及其之间的递推关系连分数、渐近分数的含义，它们之间的递推关系式2、有限、无限连分数，它们与有理数、无理数之间的关系有限、无限连分数的概念，它们与有理数、无理数之间的关系重点：连分数、渐近分数及其之间的递推关系；有限、无限连分数与有理 数、无理数之间的关系。难点：连分数、渐近分数及其之间的递推关系（三）教学形式与方法本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式（四）作业布置四、教学学时分配现将教学计划规定的学时数分配到课程的各章节。（见教学学时分配表）教学学时分配表教学内容（章学时节）讲授讨论实践实验备注第一章数的整除性106第二章同余 理论82第三章数论 函数102第四章不定 方程4第五章连分 数433五、教学环节要求与安排1、自学自学是学生获得知识的重要方式，自学能力的培养也是师范教育的重点之 一，本课程的教学要注意对学生自学能力的培养。 学生可以通过自学，掌握必要 的知识，也为今后继续学习做好铺垫。2、课堂教学课堂教学要服从于教学大纲、文字教材，采用讲解、讨论、答疑等方式，通 过解题思路分析，基本方法训练，培养学生基本运算的能力和分析、 解决问题的 能力。3、作业独立完成作业是学生学好本课程的一项重要的、必不可少的工作。作业内容 以教材中的习题为主，通过这些习题的练习，逐步加深对课程中各种概念的理解， 熟悉各种基本解题方法，达到基