分析方法第十三章 函数列与函数项级数

1、函数列与函数项级数第十三章 1收敛与一致收敛性收敛与一致收敛性敛性函数列的收敛与一致收一 EExfxfxfn称其为上的一列函数是定义在同一数集设,.),(,),(),( 21 .,)(,ExfExxfnn或简记为上的函数列0000,)(,)(,xxfxxfExnn否则称的收敛点为函数列则称收敛若数列取定.)(的发散点为函数列xfn)(,)(xfDxDxfEnn函数列任意给定称为收敛域收敛的点的集合上使在即设它收敛于都收敛),(,xf.),()(limDxxfxfnn.)()(上的极限函数在收敛域为称Dxfxfn或表示为.,)()(Dxnxfxfn有时使得对任意给定定义为, 0,:NnNNDxN

2、.)()(xfxfn收敛性. 1.,xNNxN可将其表示为另一个是一个是由两个因素确定这里的 ., 1求收敛域与极限函数上定义在函数列例nx.1 , 11 , 0)(xxxf,1lim,1, 11lim,1, 0lim,1 不存在时当时当有时因为当解nnnnnnxxxx极限函数为于是收敛域为也不存在时当,1 , 1,lim,1nnxx:10定义证明如下时用当Nx于是取解得由对,lnln,)()(,10 xnxxfxfnn有对, 1lnln),(NnxxNN.)()(nnxxfxf. 10 , 0)(xxf有因为对上的函数列定义在例,2 , 1,sin, 2xnnnxfnnnnxxfn1sin)

3、(有对于是取解得由对, 11,1,1, 0NnNnn.)(xfn., 0)(xxf所以极限函数一致收敛性 . 2, 0, )()( 1DxNnNNxfDxfn且对上收敛于在数集设函数列定义.)()( xfxfn有表示为上一致收敛于在则称函数列),()(xfDxfn)(xfn., )(Dxnxf有则对上一致收敛于在若,)(, 0),()(DxNnNNNxfDxfn.)()(xfxfn上所有存在着适合于或者说对任意而不依赖于只依赖于上式中的DxN,.,敛的区别这是一致收敛与一般收的点Nx),(),()(,xfDxfDxfn上必收敛于则它在上一致收敛于在若函数列另外.,而收敛不包括一致收敛即一致收敛

4、包括收敛反之不成立:,1,2证明如下非一致收敛而例一致收敛如例,211, 021,11lim00ennNnNNeennnnn有则对使得于是对,1 , 01,000000nnxNnNnNN.2110000ennxnno:)()(定义如下上非一致收敛于在函数列xfDxfn.)()(, 00000000 xfxfDxNnNNn使得对于 .1 , 0上非一致收敛在所以nx一致收敛的几何意义, 0),(,)(时当即对上一致收敛于在函数列NnNNxfbaxfn.) 1 ()()()(图为边界的带形区域内与都落在以曲线xfyxfyxfyn)(xfy)(xfy)(xfy 红色)(xfynxyabo) 1 (x

5、yo00 xy 2xy nxy )2( ,10, 01 , 0000NnNNxn对即上非一致收敛于在函数列.)2(000图之内与不能完全落在带形区域使得曲线yyxyn上一致收敛的在函数列准则函数列一致收敛的柯西定理Dxfn)( 1 .13都有及对于对于充要条件是, 0:DxNnmNN.)()(xfxfnm, 0),()(, NnNNxfDxfn则对上一致收敛与在设必要性证明,2)()(xfxfDxn有有从而,DxNnm.22)()()()()()(xfxfxfxfxfxfnmnm都有及对于已知对于充分性, 0 DxNnmNN.)()(xfxfmn得取极限上式中令,m.)()(xfxfn)(xf

6、n., )(Dxnxf,) 1 ( 得由定义:)()( 2 .13的充要条件是上一致收敛于在函数列定理xfDxfn. 0)()(suplimxfxfnDxn设必要性证明, )(xfn., )(Dxnxf, 0NN则对.)()(,xfxfDxNnn有对于.)()(supxfxfnDx于是有. 0)()(suplimxfxfnDxn有对于则对设充分性, 0, 0)()(suplim NnNNxfxfnDxn)()(supxfxfnDx.)()(xfxfn).()(xfDxfn上一致收敛于在即.,13.2 须事先知道极限函数性判断函数列的一致收敛使用定理注, 00sinsuplim, 01lim,1

7、0sinsup, 2,nnxnnnnxxnnx而对于例 . 0,sin上一致收敛与在于是nnx, 010suplim, 10sup, 11 , 01 , 0nxnnxxx而对于例 . 01 , 0上非一致收敛与在于是nx上的函数列定义在例1 , 0 3, 11 , 0,121 ,22,210 ,2)(22xnnxnxnnnxxnxfnxoyn21n11n),0(0)0(lim, 0)0(fffnnn).(0)(lim, 0)(,1, 10:xfxfxfxnxxnnn时当又对于. 0)(1 , 0 xf上极限函数于是在,0)(sup1 , 0nnxfnx而. 0)(1 , 0)(xfxfn数上非

8、一致收敛于极限函在于是函数列敛性函数项级数及其一致收二 函数项级数 . 1称表达式上的函数列为定义在数集设,)(ExunExxuxuxun,)()()(21.为函数项级数. )(1Exxunn简记为,)(,)(,10100的收敛点为函数项级数则称收敛若数项级数取定nnnnxuxxuEx,)(,10有和级数对于为收敛域称收敛点的集合为发散点否则称nnxuDxDx即上的和函数在收敛域为函数项级数称设和为,)()(),(1DxuxSxSnn上若该级数在的部分和函数为函数项级数称DxuxuxSnnnknn,)()()(11. ),()(limDxxSxSnn. , )()(1DxxuxSnn有项余和的

9、为函数项级数又称,)( ),()()(11nxuDxxuxSxRnnnkkn. , 0)(limDxxRnn121 )(, 4nxxx几何级数上的函数项级数定义在例.11)(,1 , 1xxS和函数为收敛域为则有收敛于),(xS上一致收敛于在数集的部分和函数列设函数项级数定义DxSxunnn)()( 21即上一致收敛于在则称函数级数和函数),()(),(1xSDxuxSnn有对, 0DxNnNN.)()()(xRxSxSnn上一致在函数项级数西准则函数级数一致收敛的柯定理Dxunn1)( 3 .13都有及对于对于收敛的充要条件是, 0:DxNpNnNN.)()()()()(21xuxuxuxS

10、xSpnnnnpn)()( 1xuDxunnn是函数列上一致收敛的必要条件在函数项级数推论. 0上一致收敛于在D:1得以下推论在柯西准则中取p:)()( 4 .131的充要条件是上一致收敛于在函数项级数定理xSDxunn. 0)(suplim)()(suplimxRxSxSnDxnnDxn有上在例如几何级数,10,11aaaxnn. 01lim1suplim)()(suplim,aaxxxSxSnnnaaxnnaaxn有上而在,1 , 1.1111111sup)()(sup1 , 11 , 1nnnnnnnxxxSxSnnnxnx.1 , 111上非一致收敛在于是nnx判别法函数项级数的一致收

11、敛三 定义在数集设函数项级数判别法魏尔斯托拉斯定理1)( )(5 .13nnxuM则函数收敛而正项数值级数有且对上,),2 , 1( ,)(,1nnnnMnMxuDxD.)(1上一致收敛在项级数Dxunn, 0, 1对于根据柯西收敛准则收敛因为正项数值级数证明nnM有,NpNnNNpnnnpnnnMMMMMM2121有从而,DxNpNn)()()()()()(2121xuxuxuxuxuxupnnnpnnn.21pnnnMMM.)(,1上一致收敛在收敛柯西准则的充分性再根据函数项级数一致Dxunn.)(,11上的优级数在称为其中级数又称为优级数判别法判别法该DxuMMnnnn函数项级数例 51

12、11cos;1sinnpnppnnxpnnx.,上都一致收敛在与狄利克莱判别法的函数项级数的阿贝尔以下给出形如1)()(nnnxvxu:)()( 6 .131上满足以下条件在区间若函数项级数阿贝尔判别法定理Ixvxunnn ;)( 11上一致收敛在函数项级数Ixunn ;)(,2单调关于数列对于任意给定的nxvIxn .)(, 0,)( 3MxvIxNnMIxvnn有对于即上一致有界在函数列.)()(1上一致收敛在则Ixvxunnn,)( 1必要性则根据柯西收敛准则的上一致收敛在因为证明Ixunn有对, 0IxNpNnNN)()(1xuxupnn.3)()()()(11Mxvxuxvxupnp

13、nnn 得与阿贝尔引理、于是由条件,32.)()(,1上一致收敛在性再根据柯西准则的充分Ixvxunnn:)()( 7 .131上满足以下条件在区间若函数项级数狄利克莱判别法定理Ixvxunnn ;)()( 111上一致有界在的部分和函数列IxuUxunkknnn ;)(,2单调关于数列对于任意给定的nxvIxn.)()(1上一致收敛在则Ixvxunnn )( 3xvIn上在.0n,)(, 0),1 ( MxUIxNnMn有对由条件证明有于是对,IxNpn.2)()()()()(21MxUxUxuxuxunpnpnnn)()3(xvIn上在又由,0n,)(, 0,xvNnNNn有则对.6)()

14、()()(11Mxvxuxvxupnpnnn 得与阿贝尔引理再由,2.)()(,1上一致收敛在根据柯西准则的充分性Ixvxunnn.1 , 0)() 1( 611上一致收敛在证明函数项级数例nnnnnnx ,111 1nnnnnnxnnnx证明,1 , 0,11上一致收敛它在数于是将其看作函数项级收敛而数值级数nnn,1,1 , 0的单调增性关于数列以下考虑对nnxxn算术平均不等式根据几何1111111111 nxnnxnnxnxnxnn个括号.1,1111单调增加即数列nnnnxnxnx,1 , 01,111上一致有界在则数列并且nnnnxennx.1 , 0)() 1(,11上一致收敛在

15、函数项级数由阿贝尔判别法nnnnnnx 02 ,cos, 71在则函数级数单调且收敛于零设数列例nnnnxaa.上一致收敛有对证明,2 , xnknkkxxkxx11cos2sin2cos2sin2nkkxxkxx12sin2sinnkxkxk1212sin212sinnknkxkxk110212sin212sin2sin212sinxn.2sin12sin12sin22sin212sincos1xxxxnkxnk,2 ,cos1上一致有界的部分和在即函数项级数nnx.02 ,cos,1上一致收敛在函数级数根据狄利克莱判别法nnnxa.02 ,sin1上也一致收敛在同理可证nnxa22xyo2

16、一致收敛函数列与函数项级数的性质一致收敛函数列与函数项级数的性质析性质函数列的极限函数的分一 连续性 1)(),()( 8 .13xfxfIxfnn且每一项上一致收敛于在区间若函数列连续性定理.)(上也连续在上连续，则极限函数都在IxfI, 0),()( IxNnNNxfIxfn则对上一致收敛于在因为证明.3)()( ,3)()(,000 xfxfxfxfIxnn与有及任意取定的有则对以上连续在因为取定,:, 0, 0,)(,0000 xxIxxxfNnn.3)()(000 xfxfnn有时于是当,:0 xxIx)()()()()()()()(00000000 xfxfxfxfxfxfxfxf

17、nnnn.333.)(,)(),()(lim0000上连续在的任意性由连续在即Ixfxxxfxfxfxx).(limlim)(limlim),()(lim 10000 xfxfxfxfnxxnnnxxxx即注.可以交换顺序上式说明两种极限运算., 2一致收敛则函数列在该区间上非上不连续若极限函数在所给区间注 上的极限函数为在区间例如函数列1 , 1nx1, 1, 11 , 0)(xxxf .1 , 1,1 , 1)(上非一致收敛在从而上不连续在由于nxxf., 3非必要条件充分条件极限运算可交换次序的函数列一致收敛是两种注.2 , 1, 111,110 , 0, 1) 1()( nxnnxxn

18、xfn例如但也有而非一致收敛与上收敛于在, 0, 01 , 0).(limlim)(limlim00 xfxfnxxnnnxxxy1111no可积性 . 2)(),()( 9 .13xfxfIxfnn且每一项上一致收敛于在区间若函数列可积性定理且上可积在则对上连续都在,)(,baxfIbaI.)(lim)(bannbadxxfdxxf, 0),(,)( NnNNxfbaxfn则对上一致收敛于在因为证明.)()(,xfxfbaxn有有对根据定积分性质,Nn dxxfxfdxxfdxxfbanbaban)()()()(.)()(abdxxfxfban.)()(limbabanndxxfdxxf.)

19、(lim)(lim,)()(lim 1dxxfdxxfdxxfdxxfnbanbannbabann即注.积分运算可以交换顺序上式说明极限运算与定 设任意给定数列例, 1na.2 , 1 , 11 0,121 ,22,210 ,2)(nxnnxnxnaanxxnaxfnnnn极限函数对于上连续在显然函数列图象如图所示,1 , 0,1 , 0)(,xxfn有时于是当并且,0lim,2)(, 0)(lim)(10nanadxxfxfxfnnnnnn,)(lim)(lim1010dxxfdxxfnnnn., 2非必要条件条件运算可交换次序的充分函数列一致收敛是两种注x1yon21n1na 上未必在从而

20、函数列未必收敛于数列而1 , 0)(, 0,)()(sup1 , 0 xfaaxfxfnnnnx.,不是必要条件条件极限可交换次序的充分于是一致收敛是积分与一致收敛可微性 3，对上收敛于极限函数在区间若函数列可微性定理NnxfIxfn),()( 10.13且上可导在则上一致收敛在且函数列上有连续导数都在,)(,)(,)(IxfIxfIxfnn.可交换次序即极限运算与求导运算有对取定由可积性定理上一致收敛于在不妨设证明,),()( IxIaxIxfn)()()()(lim)(lim)(afxfafxfdttfdttnnnxanxan).()(),()()()(,)(xfxxfafxfdtttxa

21、即则连续再由于).()(limxfxfnn亦即).(lim)(lim),(lim)(xfxfxfxfnnnnnn或运算可交换次序的的一致收敛性也是两种与以上两个定理一样注)(, xfn.,非必要条件充分条件.2 , 1 ,1)( ),1ln(21)( 2222nxnnxxfxnnxfnn与例如但是由于上都收敛于在, 01 , 0.21)()(suplim1 , 0 xfxfnxn但是仍有上不一致收敛于在则, 01 , 0)(xfn. )(lim0)(limxfdxdxfnnnn析性质函数项级数和函数的分一 连续性 1且每一项上一致收敛于在区间若函数项级数连续性定理),()( 11.131xSIxunn.)(,)(上也连续在则极限函数上连续都在IxSIxun. )(lim)(lim),()(lim,1100000nnxxnnxxxxxuxuxSxSIx或有即对.可交换次序上式说明求和与求极限可积性 . 2且每一项上一致收敛于在区间若函数项级数可积性