离心率范围问题的思维策略面面观

1、离心率范围问题的思维策略面面观广东省东莞市清溪中学 程旭升 523660一、一题多法培养学生思想发散能力求圆锥曲线离心离的取值范围，是常见的一类问题。解题的关键是如何构造出关于离心率e的不等式。本文通过一例，给出求解这类问题的几种思维策略。例1 设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点p，使，求离心率e的取值范围。解法1：利用曲线范围设p（x，y），又知，则将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知解法3：利用三角函数有界性记解法4：利用焦半径由焦半径公式得解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有平方后得解法6：巧用图形的几何特性由，知点p在以为直径的圆上。又

2、点p在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点p故有例2已知双曲线-=1(a0,b0)的左、右两个焦点分别为f1、f2，p为双曲线左支上的一点，p到左准线的距离为d.(1)若双曲线的一条渐近线是y=x,问是否存在点p使d,pf1,pf2成等比数列？若存在，求出p点坐标，若不存在，说明理由；(2)在已知双曲线的左支上使d,pf1,pf2成等比数列的点p存在时，求离心率e的取值范围.解：(1)法一：由y=x是渐近线，得=,c2=a2+b2=4a2,e=2, 设p点的坐标为(x0,y0),由双曲线的第二定义，得pf1=ed=2d,pf2=e(-x0),d=-x0,e2d2=de(-x0), 化简得2(-x0)

3、=-x0 解得x0=-a,点p存在.法二：同解法一得,pf1=ed=2d,pf2=2a+pf1=2a+2d, 又pf12=dpf2，有4d2=d(2a+2d)解得d=a, 又dmin=-(-a)=a-=a-=,d=a,存在点p，使d,pf1,pf2成等比数列.(2)法一：由(1)得d=-x0,pf12=dpf2有e2d2=de(-x0),ed=-x0 即e(-x0)=(-x0),解得x0=-a,1e1+.法二：由=e,可得pf2=epf1, 又pf2-pf1=2a,pf1=,pf2=.pf1+pf2f1f2,而f1f2=2c=2ea,2ea, 又a0,e1,e2-2e-10，解得1e1+.法三

4、：由(1)得e2d2=d(2a+ed). 解得d=dmin=-+a,有e2-2e-10，解得1e1+.点评：确定某几何量的值域或取值范围，一般需要建立起方程或不等式，因此，要树立用方程和不等式的解题思路.与圆锥曲线有关的参数范围问题的讨论常用的两种方法：不等式(组)求解法；函数值域求解法. 本题要注意双曲线的离心率e1,否则所得答案就不完整.二、多题一法培养学生归类总结能力破解策略之一：建立的不等式或方程例3若为椭圆的长轴两端点，为椭圆上一点，使，求此椭圆离心率的最小值。分析：建立之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。

5、故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中的取值进行求解离心率的最值。解：不妨设，则，利用到角公式及得：（），又点在椭圆上，故，消去， 化简得又即则，从而转化为关于的高次不等式 解得。故椭圆离心率的最小值为。（或，得：，由，故）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）点评：对于此类最值问题关键是如何建立之间的关系。常用椭圆上的点表示成，并利用椭圆中的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。例4.（2000年理科高考题）如图1，已知梯形abcd中,点e分有向线段所成的比为，双曲线过c、d、e三点，且以a、b为焦点。当时，求双曲线离心率e 的范围。（略解）如图1，建立直角坐标系，设双曲线方程

6、为，由定比分点公式得，由c、e在双曲线上，有 消去， 可得 代入 ，可得 例5.已知双曲线的左右两个焦点分别为、，p为双曲线左支上一点，它到左准线的距离为，且使、成等比数列，求离心率的取值范围。解：由双曲线的两个定义可得：， 又因为， 0 破解策略之二：利用三角函数的有界性求范围例6已知椭圆c：两个焦点为，如果曲线c上存在一点q，使，求椭圆离心率的最小值。分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得：故，故椭圆离心率的最小值为。点评：对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系，并利用三角函数的有界性解题，真是柳暗花明又一村。 例7. a是椭圆长轴的一个端点，若椭圆上存在一点p，使opa90，（o为椭圆的中心），求椭圆离心率的取值范围。 解： 破解策略之三：建立起离心率关于某个变量的函数，通过求函数的值域来求离心率范围。例8 设双曲线c：与直线：x+y=1相交于两个不同的点a、b.（）求双曲线c的离心率e的取值范围：（）设直线l与y轴的交点为p，且求a的值.解