第二章 轨迹与方程

1、解析几何授课教师 舒级第二章 轨迹与方程主要内容：1、平面曲线的方程2、曲面的方程 2.1 曲面的方程 2.2曲面的参数方程 2.3 球坐标系和柱坐标系3、空间曲线的方程第一节 平面曲线的方程一、曲线与方程：定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一条曲线有着关系：条曲线有着关系：（1）满足方程的）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标；必是曲线上某一点的坐标；（2）曲线上任何一点的坐标）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程；满足这个方程；则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为方程的图形。

2、方程的图形。曲线的方程常表示为：曲线的方程常表示为：F(x,y)=0 或或 y=f(x)二、曲线的矢量式方程例例1、求圆心在原点，半径为、求圆心在原点，半径为R的圆的方程。的圆的方程。解：矢量式方程解：矢量式方程 |OM|=R普通方程普通方程x2+y2=R2例例2、已知两点、已知两点A(-2,-2),B(2,2)，求满足条件求满足条件 |MA|-|MB|=4的动点的轨迹。的动点的轨迹。化为普通方程为化为普通方程为 xy=2 (x+y 2)故曲线为故曲线为yxoxy=2解：矢量式方程解：矢量式方程 |MA|-|MB|=41、矢性函数 当动点按某种规律运动时，与它对应的径矢也随着当动点按某种规律运

3、动时，与它对应的径矢也随着时间时间t t的不同而改变（模与方向的改变），这样的径矢的不同而改变（模与方向的改变），这样的径矢称为称为变矢变矢，记为，记为r(t)(t)。如果变数。如果变数t(at(a t t b)b)的每一个值的每一个值对应于变矢对应于变矢r的一个完全的值（模与方向）的一个完全的值（模与方向）r(t)(t)，则称，则称r是变数是变数t t的的矢性函数矢性函数，记为，记为r= =r(t) (t) (a(a t t b).b).2、矢性函数的分量表示 设平面上取定的标架为设平面上取定的标架为O;O;e1 1, ,e2 2,则矢性函数可则矢性函数可表示为表示为r(t)=x(t)(t)

4、=x(t)e1+y(t)+y(t)e2 (a(a t t b). b). （1 1）其中其中x(t),y(t)x(t),y(t)是是r(t)(t)的分量，它们分别是变数的分量，它们分别是变数t t的函数的函数。3、矢量式参数方程 若取(atb)的一切可能值，由（1）r(t)=x(t)e1+y(t)e2 (atb).4、坐标式参数方程曲线 的参数方程常可以写成下列形式：)()()(btatyytxx称为曲线的坐标式参数方程。yxOr(t)r(a)r(b)ABP(x(t),y(t)的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由t的某一值t0(at0b)通过

5、（1）完全确定，则称表达式（1）为曲线的矢量式参数方程，其中t为参数。表示的径矢r(t)5 5、曲线的参数方程、曲线的参数方程例3 把椭圆的普通方程式 化为参数方程。12222byax法一)(sincosbyax法二设y=tx+b,代入原方程得1)(2222bbtxax解得 22222, 0tabbtaxx在第二式中取t=0,得x=0，所以舍去第一式，取22222tabbtax从而222222)(tabtabby在法二中，若令u=-t，则得椭圆的另一种表示式为)u(uab)uab(byuabbu2ax2222222222注：第二种解法中，设y=tx+b，实际上是在椭圆上取一定点(0,b),作以

6、(0,b)为中心的直线束，而这时的椭圆的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表达式。由于这时过点(0,b)的y轴的斜率不存在，因此需补上点(0,-b)，或把它看成当t时的交点。例4 化方程 y2(2a-x)=x3 (a0) 为参数方程。解：设y=tx，代入可得参数方程)(12122322 ttatytatx注1：有些曲线只能用参数方和表示而不能用普通方程表示，即不能用x,y的初等函数来表示，如tttyttextarcsinsinlg2注2：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注意两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。第二节第二节 一、. 定义: 若曲面S与三元方程F (x,

7、y, z) =0有如下关系:(1) S上任一点的坐标满足方程F (x, y, z) =0;(2) 不在S上点的坐标都不满足方程F (x, y, z) =0;那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z) =0的图形.F (x, y, z) = 0 Sxyzo例1、求连结两点A(1,2,3),B(2,-1,4)的线段的垂直平分面的方程。解：垂直平分面可以看成到两定点A和B等距离的动点M(x,y,z)的轨迹，故点M的特征为|AM|=|BM|用两点间的距离公式代入并化简可得：2x-6y+2z-7=0例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面的

8、方程。解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离的点的轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上的充要条件是|y|=|x|即X+y=0 与 x-y=0(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2 (1)称方程(1)为球面的标准方程.特别: 当球心在原点O(0, 0, 0)时, 球面方程: x2 + y2 + z2 = R2 例3、求球心为M0(x0, y0,z0), 半径为R的球面的方程. 解：对于球面上任一点M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2.即 M0 M R解解设设),(zyxM是曲面上任一点，是曲面上任一点，,21|0 MMMO根据题意有根据题意有

9、 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为解: 原方程可改写为(x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半径为 的球面.5例5: 方程 x2 + y2 + z2 2x + 4y = 0表示怎样的曲面?二、曲面的参数方程二、曲面的参数方程1 1、双参数矢函数、双参数矢函数在两个变数u,v的变动区域内定义的函数r=r(u,v) 或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 (2)称为双参数矢函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变矢r(u,v)的分

10、量，它们都是变数u，v的函数。当u,v取遍变动区域的一切值时，径矢OM= r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)所画的轨迹一般为一张曲面。Mozxy S2 2、曲面的矢量式参数方程、曲面的矢量式参数方程定义：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由（2）表示的径矢r(u,v)的终点M总在一个曲面上，反之，在这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由u,v的值 (aub,cvd)通过（2）完全决定，则称（2）式为曲面的矢量式参数方程矢量式参数方程，其中u,v为参数。3 3、曲面的坐标式参数方程、曲

11、面的坐标式参数方程因为径矢r(u,v)的分量为x(u,v),y(u,v)z(u,v),所以曲面的参数方程也常写成)3(),(),(),(vuzzvuyyvuxx表达式（3）称为曲面的坐标式参数方程坐标式参数方程。例5 求中心在原点，半径为r的球面的参数方程。 M RxyzPQ解：设M(x,y,z)是球面上任一点，M在xOy 坐标面上的射影为P，而P在x轴上的射影为Q，又设在坐标面上的有向角(i,OP)=,Oz轴与OM的交角zOM=，则r=OM=OQ+QP+PM且 PM=(rcos)k所以r=(rsincos )i +(rsinsin )j+ (rcos)k (4)此即为中心在原点，半径为r的球

12、面的矢量式参数方程。 QP=(|OP|sin)j=(rsinsin )jOQ=(|OP|cos )i=(rsincos )i中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为)5(cossinsincossinrzryrx（4），（5）中的，为参数，其取值范围分别是0与-。注：由于空间任一点可以看作是球面上的点，所以点的直角坐标(x,y,z)与三元数组(r,，)对应，我们称这个数组为点的球坐标,全体球坐标构成球坐标系。 (x,y,z)与(r, ， )的关系为：)6(,cos,arcsinsin,2222222222yxxzyxzyxyzyxr例7 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。 解：

13、如图,有PxyzooMQrr=OM=OQ+QP+PM而OQ=(Rcos)i, QP(Rsin )j, PM=uk所以 r=(Rcos)i+ (Rsin )j +uk （6）此即为圆柱面的矢量式参数方程。其坐标式参数方程为)7(sincosuzRyRx（6）（7）式中的，u为参数，其取值范围是-，-u+ 注：与z轴距离为R的点可以看作是柱面上的点，所以该点的直角坐标(x,y,z)与三元数组(R,，u)对应，我们称这个数组为点的柱坐标,所有柱坐标构成柱坐标系。 (x,y,z)与(R,，u)的关系为：)8(,cos,sin,222222yxxzuyxyyxR第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其

14、方程v空间曲线的一般方程v空间曲线的参数方程（1）矢量式参数方程（2）坐标式参数方程 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程例2、求在xOy 坐标面上，半径为R，圆心为原点的圆的方程。解：0) 1 (2222zRzyx0)2(222zRyx2222222)3(RyxRz

15、yx00yxyx例1、写出Oz轴的方程。解： Oz轴可看成两个平面的交线，如00yx或可见，空间曲线的一般方程的表示不是唯一的。例3: 球面 x 2 + y 2 + z 2 = 32与平面 z = 2的交线是x 2 + y 2 + z 2 = 32 z = 2一个圆, 它的一般方程是例4: 方程组222222)2()2(ayaxyxaz表示怎样的曲线?解: 方程222yxaz方程.222)2()2(ayax它的准线xOy面上的圆, 圆心在点.2),0,2(aa半径为所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线.（维维安尼曲线（维维安尼曲线Viviani）表示球心在原点O, 半径为a的上半球面.表示母

16、线平行于z 轴的圆柱面将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个参数t的函数.x = x (t)y = y (t) (2)z = z (t)当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.例例5: 如果空间一点如果空间一点 M 在圆柱面在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以上以角速度角速度 绕绕 z 轴旋转轴旋转, 同时又以线速度同时又以线速度v 沿沿平行于平行于z 轴的正方向上升轴的正方向上升(其中其中 ,v都是常数都是常数), 那末点那末点M 构成的图形叫做构成的图形叫做圆柱圆柱螺旋线螺旋线,

17、 试建试建立其参数方程立其参数方程. 解解: 取时间取时间t为参数为参数, 设当设当t = 0时时, 动 点 位 于动 点 位 于 x 轴 上 的 一 点轴 上 的 一 点 A(a, 0, 0)处处。A MM t xyzo经过时间经过时间t,由由A运动到运动到M(x, y, z),M在在xOy面上的投影为面上的投影为M (x, y, 0).(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM = t. 从而x = |OM | cosAOM = acos ty = |OM | sinAOM = asin t(2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而z = MM = vt 得螺旋线的参数方程x = acos ty = asin tz = vt 注注: 还可以用其它变量作参数.xyzAOMtMyxzAOMtM例如: 令 = t. 为参数; 螺旋线的参数方程为:x = acos y = asin z = b .vb 这里当从 0变到 0 + 是, z由b 0变到 b 0+ b ,即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比