北京航空航天大学材料力学课件-刘华-3第三章轴向拉压变形

1、第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page 1第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page 2思考思考：为什么要研究变形？：为什么要研究变形？下述问题是否与变形相关？下述问题是否与变形相关？各杆内力？各杆内力？ A点位移点位移? ? 各杆材料不同，温度变化时内力？各杆材料不同，温度变化时内力？AF 123AF 45第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page 3轴向变形轴向变形 胡克定律胡克定律FFl1l1bbNFA ，p()E NF llEA 拉压刚度拉压刚度llEAF Nll 1ll -l 横向变形横向变形1bbb 第三章第三章 轴向拉压变形轴

2、向拉压变形Page 4试验表明：试验表明：对传统材料，对传统材料，在比例极限内，在比例极限内， 且异号。且异号。泊松比泊松比 FFl1l1bb1bbb 00.5 , bb 横向正应变横向正应变 定义：定义：)1 (2EG第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page 5例：例：已知已知E, , , D，d，F，求，求D和和d的改变量。的改变量。FFdD思考：当圆管受拉时，外径思考：当圆管受拉时，外径减小，内径增大还是减小？减小，内径增大还是减小？ 横向应变中的横向：横截面上任意一点沿面内任意方向横向应变中的横向：横截面上任意一点沿面内任意方向 泊松比：对于大多数各向同性材料泊松比：对于大多数各

3、向同性材料0 0 0.5铜泡沫：铜泡沫： =-0.39第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page 6例：例：已知已知E, , D，d，F，求，求D和和d的改变量。的改变量。FFdD 224FFEAEDdE 224 FDdE 解：解： 224 FDDDDdE 先求内周长先求内周长, ,设设ds 弧长改变量为弧长改变量为du, du/dsdu= ds ddsu 0 ddsEdDF 022)(4EdDFd)(422 ud EdDFd)(422 d 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page 7解：解：1. 内力分析。轴力图内力分析。轴力图2. 变形计算。（用何方法？变形计算。（用何方法？ ）

4、方法一：方法一：各段变形叠加各段变形叠加步骤：步骤：*用截面法分段求轴力；用截面法分段求轴力；* *分段求出变形；分段求出变形；* *求代数和。求代数和。例：例：已知已知E，A1，A2，求总伸长，求总伸长l 1l2l3lF2F312123123FlFlFlllllEAEAEA FFNFxNF llEA 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page 8阶梯形杆：阶梯形杆：讨论：讨论：n总段数总段数FNi杆段杆段 i 轴力轴力N1ni iiiiF llE A )(d)()d(NxEAxxFl 变截面变轴力杆变截面变轴力杆N( )( )lFxldxEA x 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形P

5、age 9解法二：解法二：各载荷效应叠加各载荷效应叠加与解法一结果一致，引出与解法一结果一致，引出叠加原理叠加原理1l2l3lF2F121222bFlFllEAEA312123abFlFlFllllEAEAEA 1l2l3lF(a)1l2l3l2F(b)例：例：已知已知E，A1，A2，求总伸长，求总伸长 （续）（续）l xFNFxNF2F23112()aF llFllEAEA 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page10叠加原理：叠加原理：几个载荷同时作用所产生的几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独作用产生的效总效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和。果的总和。叠加原理的适用

6、范围叠加原理的适用范围* *材料线弹性材料线弹性* *小变形小变形* *结构几何线性结构几何线性第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page11Fl1F1lFl2F2l*12,lll Fl1F1lFl2F2l12FF*lFl1F1l叠加原理成立。叠加原理成立。叠加原理不成立。叠加原理不成立。*12,lll 材料线性问题，材料线性问题，材料非线性问题，材料非线性问题，Fl12FF1l*l第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page12* *几何非线性问题例几何非线性问题例(2)(2)杆伸长：杆伸长：解解：(1)(1)节点节点C平衡：平衡： (4)(4)N2sinFF 2N2F lFllEAE

7、A (3) (3) 关系：关系：l 222/ 2llll 3232EAlEAFll ( (三次抛物线关系三次抛物线关系, ,瞬时瞬时机构机构, ,叠加原理不成立叠加原理不成立) )sin/l ( (微小微小) )llFCABNFNFCF例：例：已知已知 ，求，求 与与 关系。关系。, ,F l EAF 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page13解解：距端点距端点x x处截面的轴力为处截面的轴力为总伸长为总伸长为l q xxdx NFxq例：例：已知已知 ，求，求 , ,q l E A? l NFxqx NFx dxqxdxdlEAEA llqxdxql dxldlEAEA2002 (1

8、) (1) 为常量为常量qdx 微段伸长微段伸长第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page14解解：(a)(a)取长度为取长度为x的杆段为分离体；的杆段为分离体； (c)(c)轴力轴力 (e)(e)总伸长：总伸长：(b)(b)分离体内再取微段分离体内再取微段 ，微段载荷，微段载荷 (2) (2) 为变量为变量 qq x d dF xqd 00 xxNFxdF xqd NFx dxdlEA(d) (d) 微段伸长：微段伸长：dx 0lldl l q xxdxNFxdxd NFxx例：例：已知已知 ，求，求 （续）（续）, ,q l E A? l需两次积分，第一次求轴力，第二次求总伸长。需两次

9、积分，第一次求轴力，第二次求总伸长。EAdxxFldN)()(第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page1522( )qdmAd 解解：1 1、叶片的外力、叶片的外力作用于微段作用于微段 上的离心力为上的离心力为d例：例：图示涡轮叶片，已知图示涡轮叶片，已知 ，角速度，角速度 ，求叶片，求叶片 横截横截 面上的正应力与轴向变形。面上的正应力与轴向变形。 ,A E 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page162 2、叶片的内力与应力、叶片的内力与应力3 3、叶片的变形、叶片的变形 02222N02RxAFxA dRx 22202xRx NFx dxdlEA 02N32300236iRi

10、iRFxldxRR RREAE dx 微段微段:总伸长：总伸长：第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page17例：例：已知已知 , ,求桁架节点求桁架节点A的水平与铅垂位移的水平与铅垂位移解解：1 1、轴力与变形分析、轴力与变形分析( (拉拉) ) ( (缩短缩短) )( (压压) )( (伸长伸长) )1452AFBCN12FF N2FF N1 1111222F lFlFllE AEAEAN2 2222F lFllE AEA11222,E AE AEA ll第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page181452ACBA1A2、节点、节点A的位移的精确计算的位移的精确计算 及其困难。及

11、其困难。位移求法：杆位移求法：杆1伸长伸长 到到 点，点， 杆杆2缩短缩短 到到 点点， 以以B、C为圆心作圆交于为圆心作圆交于A点点l1 A1A2l2 计算困难：解二次方程组；由于计算困难：解二次方程组；由于 位移内力变化，需迭代求解位移内力变化，需迭代求解. 2A第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page19小变形：小变形：与结构原尺寸相比与结构原尺寸相比 为很小的变形。为很小的变形。实用解法：实用解法：* *按结构原几何形状与尺按结构原几何形状与尺 寸计算约束反力与内力；寸计算约束反力与内力；* *采用切线代圆弧的方法采用切线代圆弧的方法 确定节点位移。确定节点位移。1452ACBA

12、A1A2A3、小变形问题实用解法、小变形问题实用解法第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page204、节点位移计算、节点位移计算 22xFlAAAlEA 122 2cos452 21ylFlFlAlEAEAFlEA 1452ABCA1A2A第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page21例：例：ABC刚性杆，求节点刚性杆，求节点C的位移。的位移。 然后然后画画B点位移点位移 思考：思考：有同学问有同学问BB,CC铅垂向下，铅垂向下，刚性杆刚性杆ABC杆为什么能伸长？杆为什么能伸长？ 再画再画C点位移点位移 答：答：切线代圆弧的近似。切线代圆弧的近似。解解：先计算杆先计算杆1 1内力内力

13、与伸长与伸长 l1 NF1FBDACCB第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page22例：例：零力杆：求零力杆：求A A点的位移。点的位移。FABCABCA* *ABAB杆不受力，不伸长转动。杆不受力，不伸长转动。第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page23例：例：画出节点画出节点A的位移的位移杆两端均为可动点情形：杆两端均为可动点情形：平移平移+ +变形变形( (伸长或缩短伸长或缩短)+ )+ 转动转动( (切线代圆弧切线代圆弧) )FABC ABC第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page24例：例：画节点画节点A的位移的位移FA12B3AB第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压

14、变形Page25* *设想固定设想固定BD中点中点 和和BD方位方位例：例：求求A，C相对位移相对位移2ACCCFFABCDC O* *D D点随点随ODOD杆变形发杆变形发 生位移，生位移，DC杆平杆平 移、伸长、转动，移、伸长、转动， 由对称性，由对称性，C点到点到 达达C点。点。第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page26两条平行的研究途径两条平行的研究途径( (从物理、理力到材力从物理、理力到材力) )方法一：方法一：方法二：方法二：hhvv1m2m1m2mTT1m g2m gTm gm gTammmm gamm12122112() 2112()mm gamm 221212112

15、2EmVm Vm ghm gh0Et 由由例：例： 无摩擦，求无摩擦，求21,mma第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page27功能原理成立条件：功能原理成立条件：载体由零逐渐缓慢增加，动能载体由零逐渐缓慢增加，动能与热能等的变化可忽略不计。与热能等的变化可忽略不计。FF应变能（应变能（ ）：构件因变形贮存能量。构件因变形贮存能量。 V 外力功外力功( ):构件变形时，外力在相应位移上做的功。构件变形时，外力在相应位移上做的功。W外力功、应变能与功能原理外力功、应变能与功能原理（根据能量守恒定律）（根据能量守恒定律）WV 弹性体功能原理：弹性体功能原理：第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压

16、变形Page28一、轴向拉压应变能一、轴向拉压应变能* *线弹性材料线弹性材料 拉压杆应变能拉压杆应变能fdfdFdAoff2N22F lF lEA ,VW EAlFV22N dd ,Wf fW0d 外力功外力功2F lW 弹性体功能原理：弹性体功能原理：对线弹性体：对线弹性体：（如何推导）（如何推导）第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page29* *非线性弹性材料非线性弹性材料Fof2FW 0Wfd 外力功计算外力功计算功能原理是否成立功能原理是否成立?VW 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page30二、拉压与剪切应变能密度二、拉压与剪切应变能密度单向受力单向受力dxdydzx

17、yz221222vEE 应变能密度：应变能密度：单位体积内的应变能，用单位体积内的应变能，用 表示表示vd ddd2x zyV d d d2x y z 单向受力应变能密度单向受力应变能密度单向受力体应变能单向受力体应变能22Vv dxdydzdxdydzE 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page31纯剪切纯剪切dxdydzxyz221222vGG d ddd2x zyV d d d2x y z 22Vv dxdydzdxdydzE NF ( x )(x)=,dydzAA 拉压杆拉压杆单向受力体应变能单向受力体应变能2( )d2( )NlFxVxEA x 22NF lVEA （常应力等直

18、杆）（常应力等直杆）纯剪应变能密度纯剪应变能密度（变力变截面杆）（变力变截面杆）第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page322 2、应变能计算、应变能计算3 3、位移计算、位移计算例：例：计算节点计算节点B的铅垂位移。的铅垂位移。 解解：1 1、轴力分析、轴力分析FA45l12BC3N12FF N2FF N3FF 2VFWBy EAFlBy)12(2 222N1N2N32222FlF lF lVEAEAEAEAlF)12(2 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page33FFABCD例：例：用能量法求用能量法求A，C相对位移。相对位移。解解：1 1、轴力分析、轴力分析12周边四杆轴力

19、：周边四杆轴力：122NFF 2NFF 2 2、应变能、外力功计算、应变能、外力功计算 222N1N22242,222F lF lFlVEAEAEA 杆杆2 2轴力：轴力：3 3、位移计算、位移计算,VW /1,2A CWF /(22)A CFlEA 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page34 总结：总结： 1 1、不用通过画变形图来确定节点的位移。、不用通过画变形图来确定节点的位移。2 2、只能求解沿载荷作用线方向的位移。、只能求解沿载荷作用线方向的位移。3 3、同时作用有多个载荷时，无法求载荷的相应位移。、同时作用有多个载荷时，无法求载荷的相应位移。无法求无法求A A点的水平位移点

20、的水平位移PABC F无法求无法求A A点的铅垂位移点的铅垂位移PABC 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page35* *静不定问题：静不定问题：根据静力平衡方根据静力平衡方程不能确定全部未知力的问题。程不能确定全部未知力的问题。* *静定问题静定问题 ：由静力平衡方程由静力平衡方程可确定全部未知力可确定全部未知力( (包括支反包括支反力与内力力与内力) )的问题。的问题。* *静不定度：静不定度：未知力数与有效未知力数与有效平衡方程数之差。平衡方程数之差。一度静不定一度静不定AF 123静定问题静定问题1452AFBC第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page36平衡方程平衡方程

21、静不定问题求解思路静不定问题求解思路协调方程协调方程 赘余反力数赘余反力数= =协调条件数协调条件数求解求解物理方程物理方程 ：F 123AAF AN1FN3FN2F AA2l1l3l N1N2,0ifFF 12,0igll N1N2,0igFF kNklF 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page37解解：1 1、平衡方程、平衡方程2 2、变形协调方程、变形协调方程3 3、胡克定律、胡克定律4 4、补充方程、补充方程F 123AAF AN1FN3FN2F AA2l1l3lN2N1sinsin0FFN1N2N3coscos0FFFF13cosll N1 1111F llE AN3 133

22、3cosF llE A 211N1N333cosE AFFE A 第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page381 1、静不定问题需综合考虑静力学、几何与物理三方面；、静不定问题需综合考虑静力学、几何与物理三方面；注意：注意：5 5、联立求解平衡方程及补充方程、联立求解平衡方程及补充方程2 2、内力特点：内力分配与杆件刚度有关，某杆刚度增、内力特点：内力分配与杆件刚度有关，某杆刚度增 大，轴力亦增大。大，轴力亦增大。2N1N233311cos2cosFFFE AE A N33113312cosFFE AE A F 123AA第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page392 2、几何方面

23、、几何方面3 3、物理方面、物理方面4 4、支反力计算、支反力计算补充方程：补充方程：解解1 1：1 1、静力学方面、静力学方面例：例：求杆两端的支反力。求杆两端的支反力。 1l2lFAxFBxFABC0AxBxFFF 120AxBxF lF l0ACCBll 1,AxACF llEA2BxCBF llEA 212AxFlFll 112BxFlFll 何时何时问题问题 ：?2AxBxFFF2AxBxFFF第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page402 2、物理方面、物理方面3 3、求解、求解解解2 2：1 1、几何方面、几何方面例：例：求杆两端的支反力。求杆两端的支反力。 1l2lFAx

24、FBxFABC0B212AxFlFll 112BxFlFll 1l2lFBxFABC121()BxBFllFlEAEA 4 4、由平衡方程、由平衡方程第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page41例：例：套管与轴两端用刚性板固定，其拉压刚度分别为套管与轴两端用刚性板固定，其拉压刚度分别为E1A1、 E2A2。求分别在下列两种情况的载荷。求分别在下列两种情况的载荷P作用下，作用下，套管与轴的轴力。套管与轴的轴力。PPPPl1l2第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page42PP套筒：套筒：E1A1轴：轴：E2A2分析变形：分析变形： 套筒和轴同时伸长，由于两端为刚性固套筒和轴同时伸长，由

25、于两端为刚性固定，套筒和轴的伸长量相等。定，套筒和轴的伸长量相等。协调条件：协调条件：12ll 平衡方程：平衡方程：PFN2FN112NNFFP第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page43PPl1l2套筒：套筒：E1A1轴：轴：E2A2分析变形：分析变形： 套筒和轴同时伸长，由于两端为刚性固套筒和轴同时伸长，由于两端为刚性固定，套筒和轴的伸长量相等。定，套筒和轴的伸长量相等。协调条件：协调条件：TZll FNZPFNT1FNZFNT212Tlll 轴均匀变形轴均匀变形平衡方程：平衡方程：FNT1+FNZ=PFNT2 +FNZ=0第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page44 关于变形

26、图的画法关于变形图的画法 若能直接判断出真实变形趋势，则按此趋势画变形图；若能直接判断出真实变形趋势，则按此趋势画变形图； 若不能直接判断出真实变形趋势，则画出任意可能变形若不能直接判断出真实变形趋势，则画出任意可能变形 图均可。图均可。 对于不能判断出真实变形趋势的情况，一般可假设各杆对于不能判断出真实变形趋势的情况，一般可假设各杆 均产生拉伸变形，即内力为正均产生拉伸变形，即内力为正(设正法设正法)。若计算结果。若计算结果 为负，则说明真实方向与所设方向相反。为负，则说明真实方向与所设方向相反。(写变形协调方程时，可先不考虑符号，计算完后加以说明即可写变形协调方程时，可先不考虑符号，计算完

27、后加以说明即可)第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page45F12lllABC例：例：AC为刚性杆，求为刚性杆，求1、2两杆的轴力两杆的轴力可直接判断：可直接判断：1杆缩短，杆缩短， 2杆伸长杆伸长ACBFAFB12ll 计算完之后，说明一下：计算完之后，说明一下： 1杆受压，杆受压，2杆受拉杆受拉第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page46F123llll1l2l3假设各杆受拉假设各杆受拉(设正法设正法)FFN1FN2FN3例：例：AB为刚性杆，求为刚性杆，求1、2、3杆的轴力。杆的轴力。AB各杆伸长，所受轴力为正各杆伸长，所受轴力为正1322lll 第三章第三章 轴向拉压变形轴

28、向拉压变形Page47例：例：各杆拉压刚度各杆拉压刚度EA，杆，杆1 1，2 2 长长l解解：1 1、画变形图、画变形图( (画法画法2,2,教材教材P75P75图为画法图为画法1)1)设节点设节点C位移至位移至C，过，过C点向三杆作垂线点向三杆作垂线2 2、根据变形图画受力图，假、根据变形图画受力图，假 设各杆均受拉。设各杆均受拉。对照书上对照书上 例题。例题。思考：思考：可否假设杆可否假设杆1 1，3 3受压，杆受压，杆2 2 受拉求解？受拉求解？45C123F2l1l3lC45FN1FN3FN2F第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page48解解：1 1、平衡方程、平衡方程3 3、物

29、理方程、物理方程2 2、变形协调方程、变形协调方程FF N1N3sin450lll 2132i iiF llEAN45C123F2l1l3lC45FN1FN3FN2FC045cos0N3N2FFF第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page495 5、强度校核、强度校核4 4、解答、解答符合强度要求符合强度要求思考：思考：选取哪一根或哪几根杆校核？如果不够，怎样加强选取哪一根或哪几根杆校核？如果不够，怎样加强? ?45CF123 FF N1212 FF N2322 FF N3222 FAN22158.6MPa 2200mm ,40kN,160MPaAF 设设第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压

30、变形Page506 6、设计截面、设计截面45CF123 iiiiFFAA NN, 思考：由上式设计的思考：由上式设计的 能否取各自能否取各自由上式的计算值？为由上式的计算值？为什么？什么？123,A A A 40kN,160MPaF 设设4 4、解答、解答 FF N1212 FF N2322 FF N3222第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page51解解：1 1、协调条件、协调条件例例：ABC刚性块，各杆刚性块，各杆EA，求轴力。，求轴力。BBCCaa 34ECBDllaa 234ABCD4a3a2a45FE224343 28NECNBDNBDNECFaFaaEAaEAFF BC分析

31、：分析：如何建立变形协调条件？如何建立变形协调条件？考虑刚性块考虑刚性块ABC转动：转动：2 2、代入物理方程、代入物理方程第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page524 4、解答、解答3 3、平衡方程、平衡方程BDECNNFF 3 28BDECNNFFF32 24ECNFF 16 225BDNFF 1225ABC4a3aFNECFNBDF第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page53建立协调方程例（建立协调方程例（方法一方法一） 1123,0 flll 2124,0 flll3124ABCFDE赘余杆：赘余杆：杆杆3和杆和杆4协调方程：协调方程：第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变

32、形Page54建立协调方程例建立协调方程例（方法二）（方法二） 1234,xxl lll 1234,yyl lll ABCFDExy12AxyA结构看作两部分组合，结构看作两部分组合，A A点位移相同。点位移相同。协调方程：协调方程：第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page55思考：思考：当温度变化时，杆内可能引起应力吗？当温度变化时，杆内可能引起应力吗？ABCABCD(1)(3)(2)(4)第三章第三章 轴向拉压变形轴向拉压变形Page56lll T ABCD 在静不定结构各构件杆变形必须服从变形协调条件，在静不定结构各构件杆变形必须服从变形协调条件，因此因此温度变化温度变化或或杆长制造误差杆长制造误差，一般将引起应力一般将引起应力。 由于由于杆长制造误差杆长制造误差或或温度变化温度变化，结构在未受载时已存，结构在未受载时已存在的应力，分别称为在的应力，分别称为初应力（或称预应力）初应力（或