同济五版高数上册复习专题(带答案)

1、第一章专题第一章专题) (11)(1. 1112的的极极限限为为时时，函函数数当当 xexxxfx 不不存存在在且且不不是是是是等等于于等等于于)()(0)(2)(DCBA2.当当x0时，时，f(x)=2x+3x-2是是x的（的（ ）无穷小）无穷小. (A)高阶高阶 (B)低阶低阶 (C)同阶但不等价同阶但不等价 (D)等价等价3.当当x0时，与无穷小量时，与无穷小量 x+1000 x3 等价的等价的无穷小量无穷小量 是（是（ ） 33)()()()(xDxCxBxA CDC4.设设 在在x=0处连续，则处连续，则k=( ) (A) 1 (B) e (C) e -1 (D) -1 0,0,)1

2、()(1xkxxxfx1105.( ),( )0110A.B.C.D.xxf xf xxex 设设则则在在（ ）连连续续；左左连连续续；右右连连续续；可可导导C 6.设函数设函数 , 01),1ln(, 0,)(11xxxexfx则则x=0是是f(x)的的( ).A.可去间断点可去间断点; B.跳跃间断点跳跃间断点; C.无穷间断点无穷间断点; D.振荡间断点振荡间断点. 0, 00,1sin)(2xxxxxf)(xf0 x7.设设,则则在在处处( ). A 连续连续,不可导不可导 ; B不连续不连续,可导可导; C 连续且可导连续且可导; D 不连续不连续,不可导不可导00(2 )8.lim

3、2,lim()(3 )xxxfxfxx设设则则34)(21)(31)(61)(DCBABB._)2(lim . 1nnnn._1cos1 lim. 22xxx.,311lim. 36kexkxx则 )1sinsin(lim. 4xxxxxsin5.limsinxxxxx 1-6121-1., , 51lim . 121的值的值求求若若baxbaxxx )cos1 (cos-1lim . 20 xxxx求极限6.若函数若函数 连续连续，则，则a=_ 0)1ln(0)(xxxaxxf1543. lim1xxxx 4.设函数设函数 ，讨论讨论f(x)在点在点x=0处的处的连续性。连续性。 010|s

4、in)(xxxxxfa= -7, b=62102右连续，非左连续右连续，非左连续215. lim()1xxxx 7.设函数设函数 ，求求k的值，使的值，使f(x)在在其定义域其定义域内连续。内连续。 0)(02tan)(2xkxxxxxf16.lim(1 sin)xxx ee22 第二章专题第二章专题1.设曲线设曲线y=f(x)与曲线与曲线y =sinx在原点相切，则极限在原点相切，则极限 (A) 1 (B) 2 (C) (D) 3) ()2(lim nnfn22.曲线曲线y =x3-3x与直线与直线L相切，相切，L平行于平行于x轴，轴，L与曲线与曲线y =x3-3x的切点的切点是（是（ ）

5、(A)(1,-2) (B)(1,2) (C)(-1,-2) (D)(0,0)CA3.如果函数如果函数y =x(x-1)(x-2)(x-3),则则y (0) =（ D ） (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) -64.设函数设函数f(x)与与g(x)在开区间在开区间(a, b)内可导，考虑如下的内可导，考虑如下的两个命题两个命题 (1)若若f(x)g(x),则则f (x)g (x)(2)若若f (x)g (x) ,则则f(x)g(x)，则（，则（ C ） (A)两个命题均正确两个命题均正确 (B)命题命题(1)正确正确,命题命题(2)不正确不正确 (C)两个命题均不正确两个命题均不正确 (

6、D)命题命题(1)不正确不正确,命题命题(2)正确正确 sinsinsinsin6.,.sin.cos.sin.sinxxxxxyedyA e dxB edxC edxD exdx设设则则（ ）30( )1. ,( )(0)0,(1) _.ttxf tf ufyf edydx 设设其其中中函函数数可可微微，则则2.设设f(x)=xn+ax (a0,a1)，那么，那么f(n)(x)=_. 3.半径为半径为R的球加热，如果球的半径伸长的球加热，如果球的半径伸长 R，则用微，则用微分表示的球的体积分表示的球的体积V增加的近似值是增加的近似值是 . 4.设曲线设曲线f (x)=xn在点在点(1,1)处

7、的切线与处的切线与x轴的交点为轴的交点为( n,0),则则 )(limnnf 4 R2 Re-1aannxln! 365.(2,2)6xyx 过过曲曲线线上上点点处处的的切切线线方方程程是是1,1,)(2xbaxxxxf1x6.设函数设函数在在处可导处可导,则则a= , b= . 7.设函数设函数y=y(x)由由xy=ex+y确定确定,则则dy= .8.若 ,则df(x)=_xexfarctan)( 9.若函数 ，则 =_xxexf )() 0(f 10.用微分近似计算公式求得e0.003 的近似值为_a=2 ; b=1 . xxeeyyyxyxdd xxxyxyyydd 或者或者3x-4y+

8、2=0dxeexx21 21.0031. ( )0 (0)(0).yxyy xxeyeyy设设函函数数由由方方程程确确定定，求求及及).0(,01-6)( . 22yxxyexyyy 求确定由方程已知函数220)()()()(. 4dxydtftftf tytfx，求二阶导数，求二阶导数，其中，其中已知已知 22,ttytext 022|tdxyd3.(7分分)设设, ,求求2 -2-2)(1tf 4)0(, 1)0( yy6.求垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程. 5.求曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在(0,1)处的切线方程。.dd,1 . 7xy

9、xxyx求设.,ln1arctan . 8yxxxy 求设xxxy21)1(222 y=x+1111ln1 xxxxxx36yx 10.在中午在中午12点整，甲船以点整，甲船以6km/h的速度向东行驶，的速度向东行驶， 乙船位于甲船之北乙船位于甲船之北16km，以，以8km/h的速度向南的速度向南 行驶，求下午行驶，求下午1点整两船相距的变化速度为多少？点整两船相距的变化速度为多少？2(50)9. ( ),(0).xf xx ef 若若求求11.若若 , 求求 。22)1arcsin()(xxxxf )(xf 12.求经过原点且与曲线求经过原点且与曲线y=ex相切的直线方程。相切的直线方程。1

10、3.设设 , 求求 。xxxeexexfarctan)1ln(21)(2 )(xf 14.求求曲线曲线 在在t=1处的切线方程及法线方程。处的切线方程及法线方程。 2232ttytx24508 . 2 22xxx y=exxxeearctan 221: xy切线方程切线方程32: xy法线方程法线方程第三章专题) ()()(lim )()()(lim. 1的未定式是使用洛必达法则计算或xgxfAxgxfaxax上是凸的在上是凹的在上单调增在上单调增在），则必有（且连续、可导，在，其中设),()(.),()(.),()(.),()(.0)(),()()()(. 23xfDxfCxfBxfAxxx

11、xf充分条件._), 0()( . 32内的最大值为内的最大值为在区间在区间函数函数 xexxf4.函数 满足罗尔中值定理的 条件，则 ( )30,3f xxx 在在上上=_. .)1ln()2ln(lim. 5xxxx6.由麦克劳林公式，函数(1+x)e-x的x幂展开式的前三项是 . 7.函数函数f(x) xex 的的n阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式= 1xxy)(ny8.求求的的n阶导数阶导数= . )()!1(1 !2132nnxxoxnxxxxe 1)1(!)1()( nnxnny-3! 2012x 224 e1.(6分分) xxx1)1ln(1lim02.(6分分) 210)(cosl

12、imxxx)1ln(sinsinlim . 30 xxxxxex0114. lim1xxxe 求求极极限限01+1+sin5. lim(1) sinxxxxexx xxxex20)(lim . 6xxxxln11lim . 7130) 1(2) 1(lim. 8xeexxxxxxxsin20)31 (lim. 92121 e616e21e412121x0sin10. limsinln(1)xexxxx 1 12110.(7分分)确定函数确定函数f(x) (x 1)(x 1)3的单调区间和极值的单调区间和极值.12、求内接于椭圆求内接于椭圆 ( a0, b0)的矩的矩形中具有最大面积者。形中具有

13、最大面积者。12222 byax的单调区间及极值。分）求函数（xxy17.11f(1/2)=27/16极小值极小值，无极大值无极大值 21 ,(内单调减少内单调减少 ) ,21内单调增加内单调增加 2)1(:, 2)1(1 , 0(),0 , 1), 1,1,( ff极极大大值值极极小小值值：单单减减区区间间：单单增增区区间间：abbaba2,2222最最大大面面积积为为的的矩矩形形和和）为为顶顶点点的的边边长长为为，以以（13、用边长为用边长为a的正方形纸板做一个开口的矩形盒子。的正方形纸板做一个开口的矩形盒子。做法为：四个角上剪去一个小正方形，再把所得的十做法为：四个角上剪去一个小正方形，

14、再把所得的十字形图形折起来。问：剪去的小正方形边长为多少时，字形图形折起来。问：剪去的小正方形边长为多少时，所做的盒子的容积最大？所做的盒子的容积最大？6a剪剪去去的的边边长长为为时时14、在抛物线在抛物线 y2 =2px 和截线和截线 x =2a 所围成的区域中作所围成的区域中作一个面积最大的内接矩形。一个面积最大的内接矩形。( p0, a0)）少？（试问最经济的车速是多元，司机的工资是耗油的速率是，而汽车元假设汽油的价格是，按交通法规限制行驶、货车以速度125. 310 h,/20h/L5004 L/5 .10050 m200h/m152xxkxk9316343432paapaaax面面积

15、积为为的的内内接接矩矩形形，最最大大和和点点处处作作边边长长为为在在 5 .620)()2 , 1 ()() 1()(0)2(2 , 1 )(8.162 FxfxxFfxf，使，证明：至少存在一点，又上有二阶导数，且在分）设（17、证明：对函数证明：对函数f(x)=px2+qx+r在某区间上应用在某区间上应用Lagrange中值定理时所求得的点中值定理时所求得的点 是该区间的中点，是该区间的中点，其中其中p,q,r是常数。是常数。18、设设 f (x)在在0, a上连续，在上连续，在(0, a)内可导，且内可导，且f (a)=0, 证明：存在一点证明：存在一点 (0,a),使得使得 n f (

16、 )+ f ( )=0。提示：用两次罗尔定理提示：用两次罗尔定理提示:设辅助函数F(x)=xnf(x),应用罗尔定理即可。2)()()()(,2abrqxpxxfabfafbfba 代代入入即即可可求求出出用用将将设设区区间间为为19.求曲线求曲线y=xe-x的拐点及上凹上凸的区间。的拐点及上凹上凸的区间。(2,2e-2), 凹区间凹区间 2,+ ),凸区间凸区间(- ,220、(7分分)试运用泰勒公式求极限的方法求试运用泰勒公式求极限的方法求 xxxx11lnlim22121、(7分分)若若f(x)在闭区间在闭区间-1,1上连续，在上连续，在(-1,1)内可导，内可导，f(0)=M(其中其中

17、M0),且且 ,在闭区间在闭区间-1,1上证上证明明:|f(x)|0)所围成.（1）求此图形的面积;（2）求此图形绕x轴旋转所生成的x旋转体的体积。 6、设平面图形是由曲线 ， x+ y=4所围成。（1）求此图形的面积;（2）求此图形绕x轴旋转所生成的旋转体的体积。 xy3 3ln34 38234 )2( )3ln2( )1(aa 7、设曲线 ，（1）求过曲线上(2, 2)点的切线方程;（2）求此切线与曲线 及直线y=0所围成的平面图形的面积。 xy2 xy2 。，试确定分成面积相等的两部分被曲线轴所围成区域轴设曲线分aaaxyDyxxxy)0(,),10(1:L).(88229.求求抛物线抛

18、物线y=1 x2在在(0,1)内的一条切线内的一条切线,使使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.10、(8分)设平面图形是由曲线y=3/x和x+y=4围成.(1)求此图形的面积；(2)求此图形绕x轴旋转所生成的旋转体的体积。34332 xya=3121 xy343ln34 3811、(8分)设平面图形是由曲线 y= 和y=x-2, y=0围成.(1)求此图形的面积；(2)求此图形绕x轴旋转所生成的旋转体的体积。x 316310，体积：，体积：面积：面积：第七章专题第七章专题12158+1-2:121-112xyzxyzLL与与1.两直线的夹角为（ ）( ) ( ) ( ) (D) 2346ABC）是（的关系与平面直线322437423. 2zyxzyxA. 平行平行,但直线不在平面上但直线不在平面上; B. 直线在平面上；直线在平面上； C. 垂直相交垂直相交; D. 相交但不垂直相交但不垂直.3.过点(1,1,1)且与平面: x+2y-z+1=0垂直的直线方程 为_. .|42| , 1|. 4bababa，则的夹角为与，