项目3点、直线、平面的投影

1、2021年10月13日星期三项目项目3 3 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影任务任务3.13.1建立三投影面体系建立三投影面体系 任务任务3.23.2绘制形体上点的投影绘制形体上点的投影 任务任务3.33.3绘制形体上直线的投影绘制形体上直线的投影 任务任务3.43.4绘制形体上面的投影绘制形体上面的投影 2021年10月13日星期三教学目标教学目标掌握正投影的基本知识、三视图的形成原理；掌掌握正投影的基本知识、三视图的形成原理；掌握形体上点、线、面投影的绘制握形体上点、线、面投影的绘制 教学重点教学重点三视图的形成；形体上点、线、面的投影规律三视图的形成；形体上点、线、面的投影规律

2、教学难点教学难点三投影面体系的建立；三视图的投影规律；两点、三投影面体系的建立；三视图的投影规律；两点、两直线的相对位置两直线的相对位置 能力目标能力目标理解正投影的基本原理；理解三视图的投影规律；理解正投影的基本原理；理解三视图的投影规律；会绘制形体上点、线、面的投影会绘制形体上点、线、面的投影知识目标知识目标正投影的基本知识；三视图的形成；形体上点、正投影的基本知识；三视图的形成；形体上点、线、面的投影线、面的投影 选用案例选用案例简单几何体简单几何体考核与评价考核与评价项目成果评价占项目成果评价占50%，学习过程评价占，学习过程评价占40%，团，团队合作评价占队合作评价占10% 项目项目

3、3 绘制简单形体的三视图绘制简单形体的三视图2021年10月13日星期三项目导读项目导读 面面点、直线、平面点、直线、平面是构成形体的基是构成形体的基本几何元素本几何元素B BC CD DA A线线点点2021年10月13日星期三项目导读项目导读 在日常生活中，人们可以看到，当太阳光或灯光在日常生活中，人们可以看到，当太阳光或灯光照射到物体上时，会在墙上或地面上出现物体的影照射到物体上时，会在墙上或地面上出现物体的影子，这就是一种投影现象。人们将这些现象进行科子，这就是一种投影现象。人们将这些现象进行科学的总结和抽象，逐步形成了投影法。三视图是采学的总结和抽象，逐步形成了投影法。三视图是采用正

4、投影法原理所形成的图形，也是机械图样中表用正投影法原理所形成的图形，也是机械图样中表达物体形状的基本方法。达物体形状的基本方法。2021年10月13日星期三任务任务3.13.1建立三投影面体系建立三投影面体系 3.1.1 3.1.1 正投影的基本知识正投影的基本知识 v 1 1投影法的基本概念投影法的基本概念 投影法就是投射线通过物体，投影法就是投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，如图到图形的方法，如图3-1所示。所示。 投射中心就是所有投射线的起投射中心就是所有投射线的起源点。源点。 投影（投影图）就是根据投影投影（投影图）就是根据投影法所得

5、到的图形。法所得到的图形。 投射线就是发自投射中心且通投射线就是发自投射中心且通过被表示物体上各点的直线。过被表示物体上各点的直线。 投影面就是投影法中，得到投投影面就是投影法中，得到投影的面。影的面。图图3-1 3-1 中心投影法中心投影法 投影中投影中心心投射线投射线投影面投影面投影投影ABDCSbacd投影对象投影对象2021年10月13日星期三3.1.1 3.1.1 正投影的基本知识正投影的基本知识 v 3.3.投影法的分类投影法的分类任务任务3.13.1建立三投影面体系建立三投影面体系 投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法画透视图画

6、透视图画斜轴测图画斜轴测图 画标高图画标高图及正轴测图及正轴测图单面投影单面投影多面投影多面投影画工程图样画工程图样2021年10月13日星期三3.1.1 3.1.1 正投影的基本知识正投影的基本知识 v 3.3.投影法的分类投影法的分类任务任务3.13.1建立三投影面体系建立三投影面体系 （1）中心投影法）中心投影法投射线汇交一点的投影法，称为中心投影法，如图投射线汇交一点的投影法，称为中心投影法，如图3-1所所示。由图可见，空间四边形示。由图可见，空间四边形ABCD的投影的投影abcd的大小随的大小随投射中心投射中心S距离距离ABCD的远近或者的远近或者ABCD距离投影面距离投影面P的的远

7、近而变化，所以它不适用于绘制机械图样。其特点是远近而变化，所以它不适用于绘制机械图样。其特点是直观性好、立体感强、可度量性差，常适用于绘制建筑直观性好、立体感强、可度量性差，常适用于绘制建筑物的透视图。物的透视图。2021年10月13日星期三3.1.1 3.1.1 正投影的基本知识正投影的基本知识 v 3.3.投影法的分类投影法的分类（2）平行投影法）平行投影法 投射线相互平行的投影法，投射线相互平行的投影法，称为平行投影法。平行投称为平行投影法。平行投影法中物体投影的大小，影法中物体投影的大小，与物体离投影面的远近无与物体离投影面的远近无关。关。 斜投影法斜投影法：投射线与投影：投射线与投影

8、面相倾斜的平行投影法。面相倾斜的平行投影法。根据斜投影法所得到的图根据斜投影法所得到的图形，称为斜投影（斜投影形，称为斜投影（斜投影图），如图图），如图3-2所示。所示。任务任务3.13.1建立三投影面体系建立三投影面体系 图图3-2 平行投影法中的斜投影法平行投影法中的斜投影法 2021年10月13日星期三3.1.1 3.1.1 正投影的基本知识正投影的基本知识 v 3.3.投影法的分类投影法的分类（2）平行投影法）平行投影法 正投影法正投影法：投射线与投影：投射线与投影面相垂直的平行投影法。面相垂直的平行投影法。根据正投影法所得到的图根据正投影法所得到的图形，称为正投影（正投影形，称为正投

9、影（正投影图），如图图），如图3-3所示。所示。 为叙述方便，以后若不特为叙述方便，以后若不特别指出，投影即指正投影。别指出，投影即指正投影。任务任务3.13.1建立三投影面体系建立三投影面体系 图图3-3 平行投影法中的正投影法平行投影法中的正投影法 2021年10月13日星期三3.1.1 3.1.1 正投影的基本知识正投影的基本知识 v 3.3.正投影的特性正投影的特性（1）实形性）实形性 当物体上的平面或直线平行于投影面时，它们的投影反映当物体上的平面或直线平行于投影面时，它们的投影反映平面的真实形状或直线的实长，如图平面的真实形状或直线的实长，如图3-4所示。所示。任务任务3.13.1

10、建立三投影面体系建立三投影面体系 图图3-4 投影的实形性投影的实形性 2021年10月13日星期三3.1.1 3.1.1 正投影的基本知识正投影的基本知识 v 3.3.正投影的特性正投影的特性（2）积聚性）积聚性 当物体上的平面或直线垂直于投影面时，它们的投影分别当物体上的平面或直线垂直于投影面时，它们的投影分别积聚成直线和点，如图积聚成直线和点，如图3-5所示。所示。任务任务3.13.1建立三投影面体系建立三投影面体系 图图3-5 投影的积聚性投影的积聚性 2021年10月13日星期三3.1.1 3.1.1 正投影的基本知识正投影的基本知识 v 3.3.正投影的特性正投影的特性（3）类似性

11、）类似性 当物体上的平面或直线倾斜于投影面时，平面图形的投影当物体上的平面或直线倾斜于投影面时，平面图形的投影仍为类似的平面图形，但面积缩小；直线的投影仍为直线，仍为类似的平面图形，但面积缩小；直线的投影仍为直线，但长度缩短，如图但长度缩短，如图3-6所示。所示。任务任务3.13.1建立三投影面体系建立三投影面体系 图图3-6 投影的类似性投影的类似性 2021年10月13日星期三任务任务3.13.1建立三投影面体系建立三投影面体系 3.1.2 3.1.2 三视图的形成三视图的形成 v 1 1视图的基本概念视图的基本概念 根据根据GB/T 146921993技技术制图术制图 投影法投影法规定，

12、用正投规定，用正投影法所绘制的物体的图形称为视影法所绘制的物体的图形称为视图。图。 用正投影原理绘制物体的视图用正投影原理绘制物体的视图时，相当于人的视线沿正投射方时，相当于人的视线沿正投射方向观察物体，假设人的视线为一向观察物体，假设人的视线为一组相互平行且与投影面垂直的投组相互平行且与投影面垂直的投射线，将物体向投影面进行投射，射线，将物体向投影面进行投射，如图如图3-7所示。所示。图图3-7 3-7 视图的概念视图的概念 2021年10月13日星期三任务任务3.13.1建立三投影面体系建立三投影面体系 3.1.2 3.1.2 三视图的形成三视图的形成 v 3.3.三投影面体系与三视图的形

13、成三投影面体系与三视图的形成 当投影面和投射方向确定时，空间点当投影面和投射方向确定时，空间点A在投影面上只有在投影面上只有唯一的投影唯一的投影a，如图，如图3-8（a）所示。但只凭点）所示。但只凭点A的一个投影的一个投影a，不能确定点不能确定点A的空间位置，如图的空间位置，如图3-8（b）所示。）所示。图图3-8 3-8 点的正投影点的正投影 2021年10月13日星期三任务任务3.13.1建立三投影面体系建立三投影面体系 3.1.2 3.1.2 三视图的形成三视图的形成 v 3.3.三投影面体系与三视图的形成三投影面体系与三视图的形成 物体的一个投影往往不能唯一地确定物体的形状（图物体的一

14、个投影往往不能唯一地确定物体的形状（图3-9）。因此，可以设立多投影面（常用三个投影面），然后，）。因此，可以设立多投影面（常用三个投影面），然后，从物体的三个方向进行观察，这样就可以在三个投影面上画从物体的三个方向进行观察，这样就可以在三个投影面上画出三个视图，用以表达机件的形状。出三个视图，用以表达机件的形状。图图3-9 3-9 一个投影不能确定物体的形状一个投影不能确定物体的形状 2021年10月13日星期三任务任务3.13.1建立三投影面体系建立三投影面体系 3.1.2 3.1.2 三视图的形成三视图的形成 v 3.3.三投影面体系与三视图的形成三投影面体系与三视图的形成 （1）三投影

15、面体系的建立）三投影面体系的建立 三投影面体系由三个相互垂直三投影面体系由三个相互垂直的投影面组成（图的投影面组成（图3-10）。其中，）。其中，正立投影面（正面），用正立投影面（正面），用V表示；表示；水平投影面（水平面），用水平投影面（水平面），用H表示；表示；侧立投影面（侧面），用侧立投影面（侧面），用W表示。表示。在三投影面体系中，两投影面的在三投影面体系中，两投影面的交线称为投影轴。交线称为投影轴。V面与面与H面的交面的交线为线为OX轴；轴；H面与面与W面的交线为面的交线为OY轴；轴；V面与面与W面的交线为面的交线为OZ轴。轴。三根投影轴的交点为原点，记为三根投影轴的交点为原点，记为

16、O。图图3-10 3-10 三投影面体系三投影面体系 2021年10月13日星期三任务任务3.13.1建立三投影面体系建立三投影面体系 3.1.2 3.1.2 三视图的形成三视图的形成 v 3.3.三投影面体系与三视图的形成三投影面体系与三视图的形成 （2）三视图的形成）三视图的形成 将物体置于三投影面体系中，将物体置于三投影面体系中，并使其处于观察者与投影面之间，并使其处于观察者与投影面之间，分别向分别向V、H、W面进行投影，即面进行投影，即得图得图a所示的三个视图，分别称为：所示的三个视图，分别称为：主视图主视图由前向后投射，在由前向后投射，在V面面所得的视图；所得的视图；俯视图俯视图由上

17、向下投射，在由上向下投射，在H面面所得的视图；所得的视图；左视图左视图由左向右投射，在由左向右投射，在W面所得的视图。面所得的视图。图图3-11 3-11 三视图的配置及投影规律三视图的配置及投影规律 2021年10月13日星期三任务任务3.13.1建立三投影面体系建立三投影面体系 3.1.2 3.1.2 三视图的形成三视图的形成 v 3.3.三投影面体系与三视图的形成三投影面体系与三视图的形成 （3）三投影面体系的展开）三投影面体系的展开 为了将三视图画在同一为了将三视图画在同一平面内，需要将三个投影平面内，需要将三个投影面展开为一个平面，展开面展开为一个平面，展开方向如图方向如图b。规定。

18、规定V面保持面保持不动，将不动，将H面绕面绕OX轴向下轴向下旋转旋转90，W面绕面绕OZ轴向轴向右旋转右旋转90，使，使H面、面、W面面与与V面在同一平面上，这样面在同一平面上，这样就得到图就得到图c所示的展开后的所示的展开后的三视图。三视图。图图3-11 3-11 三视图的配置及投影规律三视图的配置及投影规律 2021年10月13日星期三任务任务3.13.1建立三投影面体系建立三投影面体系 3.1.2 3.1.2 三视图的形成三视图的形成 v 3.3.三投影面体系与三视图的形成三投影面体系与三视图的形成 （3）三投影面体系的展开）三投影面体系的展开 由于视图所表示的物体形状由于视图所表示的物

19、体形状与物体和投影面之间距离无关，与物体和投影面之间距离无关，绘图时省略投影面边框及投影绘图时省略投影面边框及投影轴，如图轴，如图d所示。所示。图图3-11 3-11 三视图的配置及投影规律三视图的配置及投影规律 （4）三视图的配置）三视图的配置 如图如图3-11（c）所示，由投影面的展开规则可知，主视图）所示，由投影面的展开规则可知，主视图不动，俯视图在主视图正下方，左视图在主视图正右方，按不动，俯视图在主视图正下方，左视图在主视图正右方，按此规定配置时，不必标注视图名称。此规定配置时，不必标注视图名称。2021年10月13日星期三任务任务3.13.1建立三投影面体系建立三投影面体系 3.1

20、.2 3.1.2 三视图的形成三视图的形成 v 3.3.三视图的投影规律三视图的投影规律 （1）三视图反映物体大小的投影规律）三视图反映物体大小的投影规律 物体都有长、宽、高三个方向的大小，从图物体都有长、宽、高三个方向的大小，从图3-11（d）可）可以看出，每个视图只能反映物体两个方向的尺寸。主视图反以看出，每个视图只能反映物体两个方向的尺寸。主视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，左视映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，左视图反映物体高度和宽度。三视图反映物体大小的投影规律可图反映物体高度和宽度。三视图反映物体大小的投影规律可以概括为：主、俯视图长对正，主、左视

21、图高平齐，俯、左以概括为：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等。视图宽相等。 三视图之间三视图之间“长对正、高平齐、宽相等长对正、高平齐、宽相等”的投影规律，不的投影规律，不仅适用整个物体的总尺寸，也适用物体的局部尺寸。画图、仅适用整个物体的总尺寸，也适用物体的局部尺寸。画图、读图时都应遵守这个规律。读图时都应遵守这个规律。2021年10月13日星期三任务任务3.13.1建立三投影面体系建立三投影面体系 3.1.2 3.1.2 三视图的形成三视图的形成 v 3.3.三视图的投影规律三视图的投影规律 （2）三视图反映物体方位的投影规律）三视图反映物体方位的投影规律 物体有上、下、

22、左、右、前、后六个方位，左右为长、上下物体有上、下、左、右、前、后六个方位，左右为长、上下为高、前后为宽。当物体的投射方向确定后，其六个方位也为高、前后为宽。当物体的投射方向确定后，其六个方位也确定下来，如图确定下来，如图3-12（a）所示。主视图反映物体的上、下和）所示。主视图反映物体的上、下和左、右方位；俯视图反映物体的左、右和前、后方位；左视左、右方位；俯视图反映物体的左、右和前、后方位；左视图反映物体的上、下和前、后方位。图反映物体的上、下和前、后方位。应注意判别俯、左视图所反映的前、后关系，若以主视图为应注意判别俯、左视图所反映的前、后关系，若以主视图为准来看，俯、左视图中靠近主视图

23、的一侧均表示物体的后面，准来看，俯、左视图中靠近主视图的一侧均表示物体的后面，远离主视图的一侧均表示物体的前面，如图远离主视图的一侧均表示物体的前面，如图3-12（b）所示。）所示。2021年10月13日星期三任务任务3.13.1建立三投影面体系建立三投影面体系 3.1.2 3.1.2 三视图的形成三视图的形成 v 3.3.三视图的投影规律三视图的投影规律 （2）三视图反映物体方位的投影规律）三视图反映物体方位的投影规律 图图3-12 3-12 物体和三视图的方位对应关系物体和三视图的方位对应关系 2021年10月13日星期三任务任务3.23.2绘制形体上点的投影3.32.1 3.32.1 点

24、的投影点的投影 v 如图如图3-133-13（a a）所示，将空）所示，将空间点间点A A放入三投影面体系中，放入三投影面体系中，由点由点A A分别向三个投影面作分别向三个投影面作垂线，与垂线，与V V面交于面交于aa点，与点，与H H面交于面交于a a点，与点，与W W面交于面交于aa点，点，即得点即得点A A的正面投影的正面投影aa、水、水平投影平投影a a与侧面投影与侧面投影aa。图图3-13 3-13 点在三面投影体系中的投影点在三面投影体系中的投影 v 空间点用大写字母标记，如空间点用大写字母标记，如A A、B B、CC；水平投影用相应的；水平投影用相应的小写字母标记，如小写字母标记

25、，如a a、b b、cc；正面投影用相应的小写字母；正面投影用相应的小写字母加一撇标记，如加一撇标记，如aa、bb、cc；侧面投影用相应的小写字母；侧面投影用相应的小写字母加两撇标记，如加两撇标记，如aa、bb、cc。2021年10月13日星期三任务任务3.23.2绘制形体上点的投影3.2.1 3.2.1 点的投影点的投影 v 点的三面投影展开在同一平面上的方法如图点的三面投影展开在同一平面上的方法如图3-133-13（b b）所）所示。同样，也可以将投影面的线框和名称省略，形成如图示。同样，也可以将投影面的线框和名称省略，形成如图3-133-13（c c）所示的点的三面投影图。）所示的点的三

26、面投影图。图图3-13 3-13 点在三面投影体系中的投影点在三面投影体系中的投影 2021年10月13日星期三任务任务3.23.2绘制形体上点的投影3.2.2 3.2.2 点的投影与直角坐标的关系点的投影与直角坐标的关系 v 若把三投影面体系看成空间直角坐标系，则若把三投影面体系看成空间直角坐标系，则V V、H H、W W三个投三个投影面就是坐标面，影面就是坐标面，OXOX、OYOY、OZOZ三条投影轴就是坐标轴，三条投影轴就是坐标轴，O O点点即为坐标原点。由图即为坐标原点。由图3-133-13可知，可知，A A点的三个直角坐标点的三个直角坐标X XA A、Y YA A、Z ZA A即为即

27、为A A点到三个投影面的距离，它们与点到三个投影面的距离，它们与A A点投影点投影a a、aa、aa的关系如下：的关系如下： 点点A A到到W W面的距离面的距离AaAa； 点点A A到到V V面的距离面的距离AaAa； 点点A A到到H H面的距离面的距离AaAa。AXZYxOaa aaaAYZXyOaa aaaAZYXzOaa aa a2021年10月13日星期三任务任务3.23.2绘制形体上点的投影3.2.2 3.2.2 点的投影与直角坐标的关系点的投影与直角坐标的关系 v 点点A A（X XA A、Y YA A、Z ZA A）在三投影面体系中有唯一的一组投影）在三投影面体系中有唯一的一

28、组投影a a、aa、aa；反之，若已知；反之，若已知A A点的一组投影点的一组投影a a、aa、aa，即可确，即可确定该点的空间坐标值。根据以上分析，可以得出点在三投定该点的空间坐标值。根据以上分析，可以得出点在三投影面体系中，具有以下投影规律：影面体系中，具有以下投影规律： （1 1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于）点的正面投影和水平投影的连线垂直于X X轴，即轴，即aaXaaX轴；点的正面投影和侧面投影的连线垂直于轴；点的正面投影和侧面投影的连线垂直于Z Z轴，即轴，即aaZaaZ轴。轴。 （2 2）点的投影到投影轴的距离等于点到投影面的距离，即：）点的投影到投影轴的距离等于点到投影面

29、的距离，即：ZYAa aaaxXZAaaa ayXYAa aa az2021年10月13日星期三任务任务3.23.2绘制形体上点的投影3.2.3 3.2.3 特殊位置点的投影特殊位置点的投影 v 空间点在投影面上或投影轴上，称为特殊位置的点。如图空间点在投影面上或投影轴上，称为特殊位置的点。如图3-143-14（a a），点），点B B位于位于V V面上，点面上，点C C位于位于H H面上，点面上，点D D在在OXOX轴上：轴上： （1）投影面上的点有一个坐标为零；在该投影面上的投）投影面上的点有一个坐标为零；在该投影面上的投影与该点重合，另两个投影分别在相应的投影轴上。影与该点重合，另两个投

30、影分别在相应的投影轴上。 （2）投影轴上的点有两个坐标为零；在包含这条轴的两）投影轴上的点有两个坐标为零；在包含这条轴的两个投影面上的投影都与该点重合，另一投影面上的投影与个投影面上的投影都与该点重合，另一投影面上的投影与原点重合。原点重合。图图3-14 3-14 投影面和投影轴上的点投影面和投影轴上的点 2021年10月13日星期三v【例例3-13-1】如图如图3-153-15（a a）所示，已知点）所示，已知点A A（2020，1010，1818），），求作它的三面投影图。求作它的三面投影图。 （1）画出投影轴并标记。）画出投影轴并标记。（2）在）在OX轴上由轴上由O向左量取向左量取20，

31、得，得ax。图图3-15 已知点的坐标求作投影图已知点的坐标求作投影图 任务任务3.2绘制形体上点的投影绘制形体上点的投影2021年10月13日星期三（3）过）过ax作作OX轴的垂线，并沿垂线向下量取轴的垂线，并沿垂线向下量取axa=10，得，得a；向上量取向上量取axa=18，得，得a。（4）作）作YOY的角平分线。过的角平分线。过a作作H面投影中的面投影中的OY的垂线使的垂线使其与角平分线相交，自交点作其与角平分线相交，自交点作W面投影中的面投影中的OY的垂线，与的垂线，与过过a所作所作OZ的垂线交于的垂线交于a，即得点，即得点A的三面投影。的三面投影。 图图3-15 已知点的坐标求作投影

32、图已知点的坐标求作投影图 任务3.2绘制形体上点的投影2021年10月13日星期三v【例例3-23-2】如图如图3-163-16（a a）所示，已知点）所示，已知点A A的正面投影和侧的正面投影和侧面投影，求作其水平投影。面投影，求作其水平投影。 （1）作）作YOY的角平分线。的角平分线。（2）过）过a作作W面投影中面投影中OY的垂线使其与角平分线相交，自的垂线使其与角平分线相交，自交点作交点作H面投影中面投影中OY的垂线，与过的垂线，与过a所作所作OX的垂线相交，的垂线相交，即得即得a。 图图3-16 求作第三投影求作第三投影 任务3.2绘制形体上点的投影2021年10月13日星期三任务任务

33、3.23.2绘制形体上点的投影3.2.4 3.2.4 两点的相对位置和重影点两点的相对位置和重影点 v 1 1判断两点的相对位置判断两点的相对位置 两点的相对位置两点的相对位置：两点间的左右、前后和上下的位置关系。：两点间的左右、前后和上下的位置关系。 比较两点的各个同面投影之间的坐标关系，可以判断空间比较两点的各个同面投影之间的坐标关系，可以判断空间两点相对位置。图两点相对位置。图3-17V面投影反映出两点的上下、左右面投影反映出两点的上下、左右关系；关系；H面投影反映出两点的左右、前后关系；面投影反映出两点的左右、前后关系；W面投影面投影反映出两点的上下、前后关系。点反映出两点的上下、前后

34、关系。点A在点在点B的左、上、后的左、上、后方。方。图图3-17 3-17 两点的相对位置两点的相对位置 2021年10月13日星期三3.2.4 3.2.4 两点的相对位置和重影点两点的相对位置和重影点v【例例3-33-3】如图如图3-183-18（a a）所示，已知点）所示，已知点A A和点和点B B的投影图，试判的投影图，试判断两点的空间位置关系，并画出其立体图。断两点的空间位置关系，并画出其立体图。 （1）画三面投影体系的立体图：过点）画三面投影体系的立体图：过点O向右画出水平线向右画出水平线OX轴，轴，过点过点O向上画出铅垂线向上画出铅垂线OZ轴，用轴，用45三角板过三角板过O作作OY

35、轴使轴使XOY=135，作，作OX、OY、OZ的平行线得的平行线得H、V及及W面。面。图图3-18 3-18 两点的相对位置两点的相对位置 任务任务3.2绘制形体上点的投影2021年10月13日星期三3.2.4 3.2.4 两点的相对位置和重影点两点的相对位置和重影点（2）画点）画点A及其投影的立体图：在立体图的及其投影的立体图：在立体图的OX、OY、OZ轴上分别从图轴上分别从图a中量取点中量取点A的三个坐标值，从量得的点分别的三个坐标值，从量得的点分别作各相应轴的平行线，即得交点作各相应轴的平行线，即得交点a、a、a，再由，再由a、a、a作相应轴的平行线，三线交于点作相应轴的平行线，三线交于

36、点A。（3）画点）画点B及其投影的立体图：用第（及其投影的立体图：用第（2）步同样的方法可）步同样的方法可作出点作出点B及其投影的立体图。及其投影的立体图。任务任务3.2绘制形体上点的投影图图3-18 3-18 两点的相对位置两点的相对位置 2021年10月13日星期三任务任务3.23.2绘制形体上点的投影3.2.4 3.2.4 两点的相对位置和重影点两点的相对位置和重影点 v 3.3.重影点及其可见性重影点及其可见性 空间两点，它们的某个同面投影重合，称之为对该投影面空间两点，它们的某个同面投影重合，称之为对该投影面的重影点。此时两点必位于同一投射线上，两对同名坐标的重影点。此时两点必位于同

37、一投射线上，两对同名坐标相等。如图相等。如图3-19（a），），E、F两点位于垂直于两点位于垂直于V面的投射面的投射线上，线上，e、f重合，即重合，即XE=XF、ZE=ZF，但，但YEYF，表示点，表示点E位于点位于点F的前方。的前方。图图3-19 3-19 重影点及其可见性的判断重影点及其可见性的判断 2021年10月13日星期三3.3.4 3.3.4 两点的相对位置和重影点两点的相对位置和重影点v 3.3.重影点及其可见性重影点及其可见性 由于一对重影点有一组同面投影重合，在对该投影面投射由于一对重影点有一组同面投影重合，在对该投影面投射时，存在一点遮住另一点的问题，即重合的投影存在着可时

38、，存在一点遮住另一点的问题，即重合的投影存在着可见与不可见的问题。见与不可见的问题。 重影点的可见性可利用两点不相等的同名坐标加以判断。重影点的可见性可利用两点不相等的同名坐标加以判断。 现规定现规定：对：对H面的重影点从上向下观察，面的重影点从上向下观察，z坐标值较大者为坐标值较大者为可见；对可见；对V面的重影点从前向后观察，面的重影点从前向后观察，y坐标值较大者为可坐标值较大者为可见；对见；对W面的重影点从左向右观察，面的重影点从左向右观察，x坐标值较大者为可见。坐标值较大者为可见。 任务任务3.2绘制形体上点的投影图图3-20 3-20 直线投影的基本特性直线投影的基本特性 2021年1

39、0月13日星期三3.2.4 3.2.4 两点的相对位置和重影点两点的相对位置和重影点v 3.3.重影点及其可见性重影点及其可见性 如图如图3-19（b）所示，点）所示，点E和点和点F为对为对V面的重影点，沿着对面的重影点，沿着对V面投射线方向观察，因面投射线方向观察，因YEYF，所以点，所以点E遮住了点遮住了点F，即，即e可见而可见而f不可见（规定在不可见投影的符号上加括号），但不可见（规定在不可见投影的符号上加括号），但其水平投影和侧面投影均为可见。其水平投影和侧面投影均为可见。 任务任务3.2绘制形体上点的投影图图3-19 3-19 重影点及其可见性的判断重影点及其可见性的判断 2021年

40、10月13日星期三3.3.1 3.3.1 直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性 v 直线的投影一般仍是直线直线的投影一般仍是直线 图图3-20 3-20 直线投影的基本特性直线投影的基本特性 任务任务3.3绘制形体上直线的投影abBA(3)类似性：类似性：直线直线某某一一投影面，其投影小投影面，其投影小于实长于实长abABa(b)AB(1)实长性：实长性：直线直线某某一投影面，其投影等一投影面，其投影等于实长于实长 (2)(2)积聚性：积聚性：直线直线某一某一投影面，其投投影面，其投影积聚为一点影积聚为一点 约定三种符号：约定三种符号：平行平行 垂直垂直 倾斜倾斜2021年10

41、月13日星期三任务任务3.3绘制形体上直线的投影 两点确定一条直线两点确定一条直线，将两点的，将两点的同面同面/ /名投影名投影用直线连接用直线连接，就得到直线在该投影面上的，就得到直线在该投影面上的投影。投影。 例例 已知已知A A（35,25,535,25,5），），B B（15,2,2515,2,25） 求作：求作：ABAB的三面投影的三面投影 解：解： 1.1.画投影轴画投影轴 3.3.画画A A、B B两点的两点的三面投影三面投影 3.3.连接连接ABAB两点的两点的各同名（面）投影并各同名（面）投影并加粗加粗2021年10月13日星期三3.3.2 3.3.2 各种位置直线及其投影特

42、性各种位置直线及其投影特性 任务任务3.3绘制形体上直线的投影投影面平行线投影面平行线某一投影面某一投影面其余两投影其余两投影投影面垂直线投影面垂直线正平线（正平线（面）面）侧平线（侧平线（面）面）水平线（水平线（面）面）正垂线（正垂线（面）面）侧垂线（侧垂线（面）面）铅垂线（铅垂线（面）面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都与三个投影面都的直线的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线某一投某一投影面影面2021年10月13日星期三任务任务3.3绘制形体上绘制形体上直线直线的投影的投影水平线的投影：水平线的投影：H，V，W（360范围内的两种特殊位置）范围内的两种特殊位置）实长实长ba aa

43、 b b xzywyH2021年10月13日星期三b a aba b d dc bd cc 在其平行的那个投影面上的投影反映实长在其平行的那个投影面上的投影反映实长; 另两个投影面上的投影与直线平行的投影面所在另两个投影面上的投影与直线平行的投影面所在的两根投影轴平行。的两根投影轴平行。正平线正平线V，H，W投影特性：投影特性：实长实长实长实长1.投影面平行线投影面平行线V面所在轴：面所在轴：X和和ZW面所在轴：面所在轴：Z和和YxxzzywyHywyH正平线正平线W，H，V2021年10月13日星期三表表3-1 3-1 投投影影面面平平行行线线的的投投影影特特性性 2021年10月13日星期

44、三任务任务3.3绘制形体上绘制形体上直线直线的投影的投影铅垂线的投影：铅垂线的投影：H，V，W2021年10月13日星期三 反映线段实长。且垂反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。直于相应的投影轴。铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影， 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性: :c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f )xxx3.投影面垂直线投影面垂直线2021年10月13日星期三表表3-2 3-2 投投影影面面垂垂直直线线的的投投影影特特性性 2021年10月13日星期三投影特性：投影特性：

45、三个投影都缩短三个投影都缩短均小于实长。即均小于实长。即: 都不反映都不反映空间线段的实长，且与三根投影轴都倾斜。空间线段的实长，且与三根投影轴都倾斜。abb a b a x3.一般位置直线一般位置直线2021年10月13日星期三 1.1.根据下列直线的两面投影，试判断直根据下列直线的两面投影，试判断直线对投影面的位置，作出直线的第三面投影线对投影面的位置，作出直线的第三面投影 分析：由于有两个投影平行于两个坐标轴，该线分析：由于有两个投影平行于两个坐标轴，该线必平行于一个坐标面，故为投影面平行线。必平行于一个坐标面，故为投影面平行线。练习练习 解：解：AB正面投影反映实长，故正面投影反映实长

46、，故ABAB为为正平线正平线。 CD水平面投影反映实长，故水平面投影反映实长，故CD为为水平线水平线。 WYHY（1 1）HYWYcdcdd c （2 2）2021年10月13日星期三（3 3） 分析：三个投影均不平行于轴，故为分析：三个投影均不平行于轴，故为一般一般位置位置线。线。 补全水平投影。补全水平投影。 HYWYghh g gh练习练习2021年10月13日星期三练习练习2021年10月13日星期三练习练习 3.判断图中各直线的空间位置判断图中各直线的空间位置。正平线正平线侧平线侧平线铅垂线铅垂线水平线水平线 正垂线正垂线侧垂线侧垂线一般位置直线一般位置直线2021年10月13日星期

47、三3.3.3 3.3.3 直线与点的相对位置直线与点的相对位置判别方法判别方法：v 1 1点在直线上，则其投影必在直线的同名投影上点在直线上，则其投影必在直线的同名投影上v 3.3.定比定理定比定理 任务任务3.3绘制形体上直线的投影ABCVHbcc b a axAC/CB=ac/cb= a c / c b 2021年10月13日星期三练习练习 1.判断点判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b c aa b c bc不在不在应用定比定理应用定比定理另一判断法另一判断法?2021年10月13日星期三练习练习 3.已知点已知点K在线段在线段A

48、B上，求点上，求点K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（应用第三投影）（应用第三投影）解法二：解法二：（应用定比定理）（应用定比定理）aa b bka b k k aa b bkk 2021年10月13日星期三练习练习 3.按照条件，作出直线上按照条件，作出直线上K点的两面投点的两面投影，（影，（1）AK:KB=12;(2)BK=20mm。kk 解法解法12021年10月13日星期三练习练习 3.按照条件，作出直线上按照条件，作出直线上K点的两面投点的两面投影，（影，（1）AK:KB=12;(2)BK=20mm。解法解法2分析：直线分析：直线ABAB为水平线，所以为水平线，所以abab反映实

49、长。在反映实长。在abab上量取上量取bk=20mmbk=20mm，得，得K点的水平投影点的水平投影k k，再作，再作正面投影正面投影k kk 2021年10月13日星期三3.3.3 3.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置v 1 1平行两直线平行两直线任务任务3.3绘制形体上直线的投影图图3-22 3-22 平行两直线的投影平行两直线的投影投影特性：投影特性： 空间两直线平行，空间两直线平行，则其各则其各同名投影同名投影必相必相互平行，反之亦然。互平行，反之亦然。aVHc bcdABCDb d a x2021年10月13日星期三v【例例3-43-4】如图如图3-233-23（a a）判断

50、直线）判断直线ABAB与与CDCD是否平行。是否平行。 （1）作作YOY的角平分线。的角平分线。（2）求出两直线端点的侧面投影）求出两直线端点的侧面投影a、b、c、d，连接，连接a、b和和c、d，可知，可知ab和和cd不平行。不平行。（3）直线）直线AB和和CD的同面投影并非都相互平行，所以的同面投影并非都相互平行，所以AB与与CD不平行。不平行。 图图3-23 3-23 判断两投影面平行线是否平行判断两投影面平行线是否平行 任务任务3.3绘制形体上直线的投影2021年10月13日星期三练习练习 3.判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要

51、有两组同名投影互只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就相平行，空间两直线就平行。平行。AB与与CD平行。平行。AB与与CD不平行。不平行。 对于特殊位置直对于特殊位置直线，只有两组同名投影线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不互相平行，空间直线不一定平行。一定平行。a b c d cbadd b a c abcdc a b d 2021年10月13日星期三3.3.3 3.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置v 3.3.相交两直线相交两直线 任务任务3.3绘制形体上直线的投影HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 判别方法：判别方法： 若空间两直线相交，

52、若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点xx2021年10月13日星期三v【例例3-53-5】如图如图3-253-25（a a）所示，判断直线）所示，判断直线ABAB与与CDCD是否相交。是否相交。 任务任务3.3绘制形体上直线的投影c abdabcd相交吗？相交吗？不相交！不相交！为什么？为什么？ 交点不符合空间交点不符合空间一个点的投影特性。一个点的投影特性。判断方法？判断方法？ 应用定比定理应用定比定理 利用侧面投影利用侧面投影2021年10月13日星期三v

53、【例例3-63-6】如图如图3-263-26（a a）所示，过点）所示，过点B B作直线作直线ABAB与与CDCD相交相交于点于点E E，且点，且点E E距离距离H H面面15mm15mm，点，点A A在点在点B B的左方的左方25mm25mm处。处。 （1）在）在OX轴上方轴上方15 mm处作水平线交处作水平线交cd于于e。（2）过）过e作铅垂线交作铅垂线交cd于于e。（3）连接）连接be和和be，并延长至点，并延长至点B左方左方25 mm处得处得a、a。ab和和ab即为所求直线即为所求直线AB的投影。的投影。 图图3-26 3-26 作与已知直线相交的直线作与已知直线相交的直线 任务任务3

54、.3绘制形体上直线的投影2021年10月13日星期三v练习练习 1.1.已知已知K KABCDABCD，按题给条件求，按题给条件求ABAB的正面投影的正面投影abab任务任务3.3绘制形体上直线的投影bkXOaabcdcdk2021年10月13日星期三v练习练习2 2 过过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。任务任务3.3绘制形体上直线的投影cabb a c d k kd先作正面投影先作正面投影X2021年10月13日星期三3.3.3 3.3.3 两直线的相对位置两直线的相对位置 v 3.3.交叉两直线交叉两直线 （异面直线）（异面直线）任务任务3.3绘制形体上直线的投影为什么？为什

55、么？两直线相交吗？两直线相交吗？不相交！不相交！ 交点不符合一个点的交点不符合一个点的投影规律！投影规律！cacabddbO OX XaccAaCV VbH HddDBb3.4.1 3.4.1 用几何元素表示平面用几何元素表示平面任务任务3.4绘制形体上面的投影五种表示形五种表示形式可以互相转换，式可以互相转换，但以平面图形表但以平面图形表示平面最为常用。示平面最为常用。 不不共共线线的的三三点点直直线线和和线线外外一一点点.相交两直线相交两直线平平行行两两直直线线平平面面图图形形HVWXZYO3.4.1 3.4.1 平面的投影过程平面的投影过程任务任务3.4绘制形体上面的投影ABC 平面图形

56、的边和顶点是由一些线段（直线段或曲线段）及其交点组平面图形的边和顶点是由一些线段（直线段或曲线段）及其交点组成的。因此，这些线段投影的集合，就表示了该平面的投影。成的。因此，这些线段投影的集合，就表示了该平面的投影。abcabccab先画出各顶点的投影先画出各顶点的投影, ,后将各点同面投影依后将各点同面投影依次连接，即为平面的次连接，即为平面的投影。投影。3.4.1 3.4.1 平面的投影过程平面的投影过程任务任务3.4绘制形体上面的投影xzyHywocbacbaacb2021年10月13日星期三3.4.2 3.4.2 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性 任务任务3.4绘制

57、形体上面的投影平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把实形现投影就把实形现 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直线投影积聚成直线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性2021年10月13日星期三3.4.3 3.4.3 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性 任务任务3.4绘制形体上面的投影投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面斜于另两个投影面平行于某

58、一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面水平面水平面重点重点重点重点2021年10月13日星期三3.4.3 3.4.3 各种位置平面及其投影特性各种位置平面及其投影特性 v 1 1投影面垂直面及其投影特性投影面垂直面及其投影特性 任务任务3.4绘制形体上面的投影某一投影面，某一投影面，而而另两投影面另两投影面ABCABCD D为什么为什么位置的平面位置的平面铅垂面铅垂面类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性2021年10月13日星期三3.4.3 3.4.3 各种位置平面

59、及其投影特性各种位置平面及其投影特性 v 1 1投影面垂直面及其投影特性投影面垂直面及其投影特性 任务任务3.4绘制形体上面的投影铅垂面：铅垂面：H，V,W2021年10月13日星期三3.4.3 3.4.3 各种位置平面及其投影特性各种位置平面及其投影特性 v 1 1投影面垂直面及其投影特性投影面垂直面及其投影特性 任务任务3.4绘制形体上面的投影正垂面正垂面VV，H H、W W 侧垂面侧垂面W W，V V、H H投影面投影面垂直面垂直面的投影特性：的投影特性： 1) 1) 在所垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投在所垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外

60、两投影面夹角的大小影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 2) 2) 另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。2021年10月13日星期三表表3-3 投投影影面面垂垂直直面面的的投投影影特特性性 2021年10月13日星期三3.4.3 3.4.3 各种位置平面及其投影特性各种位置平面及其投影特性v 3.3.投影面平行面及其投影特性投影面平行面及其投影特性 任务任务3.4绘制形体上面的投影某一投影面，某一投影面，而而另两投影面另两投影面积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面ABCABCD D为什么为什么位置的平面位置的平面2021年10月13日星期三3