高等数学(下)总复习课件

1、高等数学(下)总复习期末总复习期末总复习答疑安排答疑安排时间：时间：2013年年6月月30日（周日）日（周日） 上午上午09：0011：30 下午下午14：0016：30 地点：【教学楼地点：【教学楼215】：】：高等数学(下)总复习（一）向量在另一向量上的投影（一）向量在另一向量上的投影ajbbabPr| .Pr|bjaa 结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积乘积. .高等数学(下)总复习（二）求平面方程。（二）求平面方程。设平面方程为设平面方程为, 0 DCzByAx由平面

2、过原点知由平面过原点知, 0 D由由平平面面过过点点)2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解,CBAn 03232 CzCyxC高等数学(下)总复习例例2：求过直线：求过直线4 解：设过直线解：设过直线 L 的平面束方程为的平面束方程为 0405:zxzyxL01284: zyx且与平面且与平面夹角为夹角为的平面方程。的平面方程。, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx4cos 222222)1(5)1()8()4(1| )1()8(5)4()1(1| ,43 . 01272

3、0 zyx高等数学(下)总复习（三）多元函数的极限（三）多元函数的极限ae1 yxxxyayx 2)11 (lim)()11 (limyxyxxyxyayx )()11 (limyxyxyxxyayx 11sinlim00 xyayxyxxyxyayxyx) 11(sinlim00 ayxyayayx) 11(sinlim00 ayayay2sinlim0 a2 高等数学(下)总复习（1）多元函数的偏导数多元函数的偏导数要点：求二元函数在某点的偏导数要点：求二元函数在某点的偏导数xyxfyxxfyxfxx ),(),(lim),(0,),(),(0000 xxxyxfdxdyxf ,),(),

4、(002200yyyyyxfdydyxf 0),(),(000yyxxyyxfdydyxf （四）多元函数的偏导数、隐函数求二阶偏导、求曲面（四）多元函数的偏导数、隐函数求二阶偏导、求曲面的切平面或法线方程、的切平面或法线方程、Lagrange 乘数法求最值乘数法求最值(应用题应用题)、方向导数、方向导数高等数学(下)总复习典型例题典型例题) 1 ,(xf,sin2x 例例1：设：设,arcsin)1(sin),(2xyyxyxf )1 , 2(xf 求求解：解：,2cos2xxxf . 4cos4)1 , 2( xf高等数学(下)总复习典型例题典型例题)0 ,(xz,arctanx 例例2：

5、设：设,1arctanxyyxz )0 , 0(22)0 , 0(,xzxz 求求解：解：)0 , 0(xz 0)0 ,( xxzdxd0arctan xxdxd11102 xx)0 , 0(22xz 022)0 ,( xxzdxd022arctan xxdxd02)11( xx022)1 (2 xxx0 高等数学(下)总复习（2）求隐函数的二阶偏导数求隐函数的二阶偏导数由方程由方程0),( zyxF所确定的二元函数所确定的二元函数 z = f ( x , y ) , 求求yzxz ,zFxFxz zFyFyz 高等数学(下)总复习例例1：设：设),(yxzz 02 zyxeze是由方程是由方

6、程解：两边取全微分解：两边取全微分.,2yxzdz , 02)( dzedzxydezyx,22dyexdxeyedzzzxy 所确定的二元函数，求所确定的二元函数，求整理并解得整理并解得,2 zxyeyexz)2(2 zxyeyeyyxz2)2()2()( zzxyzxyxyeyzeyeexyee2)2()2()2()( zyzxyzyxyeeyeeye高等数学(下)总复习（3）曲面在某点处的切平面或法线方程曲面在某点处的切平面或法线方程（I）设曲面方程为）设曲面方程为0),( zyxF),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 第一步：计算第一步：计算,zyxFF

7、F第二步：计算曲面的法向量第二步：计算曲面的法向量第三步：分别写出切平面和法线的方程第三步：分别写出切平面和法线的方程0000000000000 )(,()(,()(,(zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 高等数学(下)总复习（2）设曲面方程为）设曲面方程为),(yxfz ),(),(10000yxfyxfnyx 第一步：取第一步：取),(),(yxfzzyxF 第二步：计算曲面的法向量第二步：计算曲面的法向量第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法线的方

8、程线的方程00000000 )()(,()(,(zzyyyxfxxyxfyx10000000zzyxfyyyxfxxyx ),(),(高等数学(下)总复习例例1：求曲面：求曲面03222 xyzyx0 z上同时垂直于平面上同时垂直于平面与平面与平面解：取解：取, 3222 xyzyxF),(000zyxM01 yx的切平面方程。的切平面方程。设切点为设切点为MzyxFFFn),( )2 ,2 ,2(00000zxyyx 020 z0)2()2(0000 xyyx0300202020 yxzyx ),0, 1, 1 (1 M),0, 1, 1(2 M),0, 3, 3(1 n),0, 3, 3(

9、2 n, 0) 1( 3) 1( 3:1 yx, 02 yx, 0) 1( 3) 1( 3:2 yx, 02 yx高等数学(下)总复习拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法： （1）构造拉格朗日函数：）构造拉格朗日函数：),(),(),(yxyxfyxL （2）联解方程组，求出）联解方程组，求出问题问题 1 的所有可能的极值点。的所有可能的极值点。问题问题 1：求函数求函数 z = f ( x , y ) 在约束条件在约束条件 ( x , y ) = 0 下的极值（称为条件极值问题）。下的极值（称为条件极值问题）。),( yxLx0 ),(),(yxyxfxx ),( yxLy0 ),(),(yxyx

10、fyy ),( yxL0 ),(yx （3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。中往往可根据问题本身的性质来判断。（4） Lagrange 乘数法求最值乘数法求最值(应用题应用题)。高等数学(下)总复习例例1：在椭球面在椭球面12222 zyx上，求距离平面上，求距离平面62 zyx的最近点和最远点。的最近点和最远点。答案答案:最近距离最近距离,6321 d最远距离最远距离,6342 d例例2：当当0, 0, 0 zyx时，求时，求zyxuln3ln2ln 在球面在球面22226Rzyx 上的最大最，并证明对任意的

11、上的最大最，并证明对任意的成立不等式成立不等式6326108 cbacab答案：答案：)36ln(max6Ru 0, 0, 0 cba高等数学(下)总复习（5）：求）：求方向导数方向导数函数沿任意方向函数沿任意方向 l 的方向导数存在，且的方向导数存在，且),(00yxlf 其中，其中，是是 l 的方向余弦。的方向余弦。定理：如果定理：如果 z = f (x , y ) 在点在点 可微，则可微，则),(000yxP cos),(cos),(0000yxfyxfyx )cos,(cos le高等数学(下)总复习计算可微函数方向导数的步骤计算可微函数方向导数的步骤),(00yxlf （1）确定给定

12、方向）确定给定方向 l 的方向余弦：的方向余弦：即与即与 l 同方向的单位向量。同方向的单位向量。（2）计算偏导数）计算偏导数（3）利用公式计算）利用公式计算),(00yxlf 或或)cos,(cos le),(),(0000yxfyxfyx cos),(cos),(0000yxfyxfyx sin),(cos),(0000yxfyxfyx 高等数学(下)总复习解：解：, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz )0,1(lz.22 方向方向 l 即为即为l 的方向余弦即为与的方向余弦即为与 l 同方向的单位向量同方向的单位向量)01, 12( PQ)1, 1( | PQPQel )1,

13、1()1(1122 )21,21( ; 1)0 , 1(2)0 , 1( yexz又又)21(2211 高等数学(下)总复习五、二重积分的计算（极坐标、直角坐标），三重积分（球坐标）五、二重积分的计算（极坐标、直角坐标），三重积分（球坐标）重点内容重点内容（1）二重积分中二次积分的交换次序；）二重积分中二次积分的交换次序；例例 1 1 改改变变积积分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序. 102112),(yydxyxfdy答案答案:例例2：试证：试证： ayaxbxdxfeyd00)()( aaxbxdxfexa0)()()(高等数学(下)总复习（

14、2）利用极坐标计算二重积分；）利用极坐标计算二重积分； Ddyxf ),( Dddf )sin,cos(再根据再根据 D 的极坐标表示，将极坐标下的二重积分的极坐标表示，将极坐标下的二重积分化为累次积分。化为累次积分。 DdxdyyxI22)1(例例3:计算计算:D由直线由直线 y = x 及曲线及曲线4xy 所围平面区域。所围平面区域。 )122(91 DdxdyyxRI222)2(xRyxD 22: )34(93R高等数学(下)总复习（3）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分；）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分；在二重积分的计算过程中，要注意对称性。在二重积分的计算过程中，要注

15、意对称性。例例 4 计算计算dxdyyxD)(22 ，其，其 D 为由圆为由圆 yyx222 ，yyx422 及直线及直线 yx3 0 ， 03 xy 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域. )32(15例例5：计算：计算 DyxyxddxeyI)1()(22其中其中 D 由直线由直线 y = x , y = 1 , 及及x = 1 所围平面区域所围平面区域)32( 高等数学(下)总复习例例 5 5 计算计算 dxdydzyxI)(22，其中，其中 是锥面是锥面222zyx ， 与平面与平面az )0( a所围的立体所围的立体. xyzo4 cosar a,20: ,40 ,cos0 ar 解

16、解 1 采采用用球球面面坐坐标标 dxdydzyxI)(22drrdda 4cos002420sinsin da)0cos(51sin255403.105a 高等数学(下)总复习六、六、第一、二类曲线积分，第一、二类曲面积分、格林公式、第一、二类曲线积分，第一、二类曲面积分、格林公式、高斯公式。高斯公式。（1）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法；）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法；（2）基本公式）基本公式格林公式格林公式 DLdxdyyPxQQdyPdx)(高斯公式高斯公式 RdxdyQdzdxPdydz dxdydzzRyQxP)(主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分主要作用：将

17、平面曲线积分转化为二重积分主要作用：将曲面积分转化为三重积分主要作用：将曲面积分转化为三重积分高等数学(下)总复习（3）基本应用：）基本应用：格林公式和高斯公式的两类典型应用题：格林公式和高斯公式的两类典型应用题：2. 平面曲线积分平面曲线积分3. 二元函数的全微分求积问题二元函数的全微分求积问题“ 封口法封口法 ” 和和 “ 挖洞法挖洞法 ”。 LQdyPdx与路径无关与路径无关在单连通区域在单连通区域 G 内内yPxQ QdyPdx 为某个二元函数为某个二元函数 u 的全微分的全微分yPxQ 且且 ),(),(00yxyxQdyPdxu高等数学(下)总复习（4）基本计算技巧）基本计算技巧1

18、. 利用对称性；利用对称性；2. 利用曲线或曲面方程化简被积函数；利用曲线或曲面方程化简被积函数；3. 利用关系式利用关系式),(dxdydzdxdydzdS)cos,cos,(cos 将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分；将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分；4. 利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简化平面曲线积分。化平面曲线积分。高等数学(下)总复习（5）复习重点）复习重点2. 曲线积分与路径无关的条件与应用；曲线积分与路径无关的条件与应用；3. 利用格林公式计算第二曲线积分；利用格林公式计算第二曲线积分；4. 利用高斯公式计算曲面积

19、分利用高斯公式计算曲面积分1. 第一类曲线积分的基本计算法；第一类曲线积分的基本计算法；高等数学(下)总复习11054:222 zyx例例1：设椭球面设椭球面 的表面积为的表面积为a，则，则 Sdzyxzyx)245(22220a提示：利用曲面方程及对称性提示：利用曲面方程及对称性例例2：设设, 1:3232 yxL则则 Ldsyxxy32323提示：利用曲线方提示：利用曲线方程及对称性程及对称性0例例3： zdxdyydzdxxdydz1:222222 czbyaxcba 4提示：利用高斯公式及提示：利用高斯公式及椭球体的体积。椭球体的体积。高等数学(下)总复习例例4：设设 f (x) 在在

20、 ( 0 , + ) 上有连续的导数，上有连续的导数，L 是由点是由点提示：利用积分与路径无关，并取新路径：提示：利用积分与路径无关，并取新路径：A ( 1 , 2 ) 到点到点 B ( 2 , 8 ) 的直线段，计算的直线段，计算 Ldyxxyfxdxxyfxyxy)(1)(222222322 xy （30）例例5：计算计算 zdxdyyydxdzxxzdydz22 由抛物面由抛物面22yxz 与圆柱面与圆柱面122 yx及坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。及坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。提示：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标提示：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标 203高等数学(下)总

21、复习例例6：计算：计算 LyydyxeydxexyI)(cos)12(再由坐标原点沿再由坐标原点沿 x 轴到轴到 B (2 , 0)。解：解：xy0 )1, 1( A其中，其中，L 为由点为由点 A ( 1 , 1) 沿曲线沿曲线2xy 到坐标原点，到坐标原点，2B)1, 2(C分析：应用格林公式分析：应用格林公式补充：补充：CABCL :1 1)(cos)12(Lyydyxeydxexy 1)(cos)12(LLyydyxeydxexyI Dyydxdyexe)12(D 10)2(cosdyeyy 12)12(dxex 21012ydxxdy)221(sine )318(e 11sin e2

22、xy 高等数学(下)总复习七、数项级数收敛性判别，幂级数求和函数（收敛半七、数项级数收敛性判别，幂级数求和函数（收敛半径，收敛域），利用和函数求数项级数的和径，收敛域），利用和函数求数项级数的和（1）数项级数收敛性判别）数项级数收敛性判别1. 正项级数正项级数比较判别法，比值判别法，根值判别法，比较判别法，比值判别法，根值判别法，收敛的必要条件收敛的必要条件几何级数、几何级数、P 级数和调和级数级数和调和级数2. 交错级数：交错级数： 莱布尼茨定理莱布尼茨定理3. 任意项级数：任意项级数：绝对收敛和条件收敛。绝对收敛和条件收敛。高等数学(下)总复习任意项级数任意项级数 1nnu收敛性判断的一般

23、步骤：收敛性判断的一般步骤：（1）检验）检验（3）用正项级数审敛法检验）用正项级数审敛法检验 1|nnu是否收敛？是否收敛？则原级数绝对收敛，从而收敛，则原级数绝对收敛，从而收敛，（4）若）若 1|nnu发散，发散，但是用比值或根值法判断的但是用比值或根值法判断的则原级数也发散。则原级数也发散。0lim nnu是否成立？是否成立？ 若否，则原级数发散若否，则原级数发散若是或若是或0lim nnu难求，则进行下一步；难求，则进行下一步；若是，若是，否则，进行下一步；否则，进行下一步；（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数 或莱布尼茨判别法

24、检验其收敛性，否则进行下一步或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步（5）用性质或其它方法。）用性质或其它方法。高等数学(下)总复习（2）幂级数的收敛半径和收敛域）幂级数的收敛半径和收敛域求幂级数求幂级数（1）利用极限）利用极限 |lim1nnnaa（2）判定幂级数在端点）判定幂级数在端点Rx 确定收敛半径确定收敛半径 R 及收敛区间及收敛区间 处的收敛性，处的收敛性， 0nnnxa收敛域的一般步骤：收敛域的一般步骤：（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。),(RR nnna |lim或或 1R说明说明（1）幂级数中不能出现幂级数中不能出现“缺项缺项”。

25、00)(nnnxxa（2）对幂级数）对幂级数要先做变换要先做变换0 xxt 高等数学(下)总复习性质性质3：幂级数幂级数 0nnnxa xxdxs0)( xnnnxdxa00 xnnnxdxa00101 nnnxnaIx 逐项积分后所得级数逐项积分后所得级数的和函数的和函数 s (x) 在收敛域在收敛域 I 上可积，上可积，并有逐项积分公式并有逐项积分公式其收敛半径与原级数相同。其收敛半径与原级数相同。 101 nnnxna（3）求幂级数的和函数）求幂级数的和函数高等数学(下)总复习性质性质4：幂级数幂级数 0nnnxa)(xs 0 nnnxa)(0 nnnxa,11 nnnxan),(RRx

26、 逐项求导后所得级数逐项求导后所得级数的和函数的和函数 s (x) 在收敛区间在收敛区间内可导，内可导， 并有逐项求导公式并有逐项求导公式其收敛半径与原级数相同。其收敛半径与原级数相同。 11 nnnxna),(RR 说明：求和函数一定要先求收敛域。说明：求和函数一定要先求收敛域。高等数学(下)总复习解：必须先求出收敛域：解：必须先求出收敛域：)1,1( I设在收敛域设在收敛域 I 上，和函数为上，和函数为 s (x) , 则则 12)(nnxnxs例例1：求求 的和函数，的和函数， 12nnxn并求并求 12) 1(nnnn的和的和 1) 1(nnxnn 1nnxn 11)(nnxx 1)(nnxx 11)(nnxx 1)(nnxx 11 nnxx1 nnxx 21 xxx1 xxx高等数学(下)总复习例例1：求求 的和函数，的和函数， 12nnxn解：必须先求出收敛域：解：必须先求出收