非正弦周期电流电路

1、第第7章章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路 7.1 非正弦周期量及其分解非正弦周期量及其分解 7.2 非正弦周期电流电路中的有效值、平均值和非正弦周期电流电路中的有效值、平均值和 平均功率平均功率 7.3 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算 目的与目的与 要求要求 1.了解常见的非正弦周期曲线及其分解 2. 掌握非正弦周期量有效值 3.会对非正弦周期电路进行分析与计算 重点重点与难点难点 重点：重点： 1. 非正弦周期量的有效值 2.非正弦周期电路的 分析 计算 难点：难点： 非正弦周期电路的分析 计算 ot (a) u ot (b) u ot (c) i 图7.1几种常见

2、的非正弦波 7.1 非正弦周期量及其分解（一）非正弦周期量及其分解（一） 1、常见的非正弦周期曲线 7.1 非正弦周期量及其分解（二）非正弦周期量及其分解（二） 1 0 22110 )sin( )sin( )2sin()sin()( k kkm kkm mm tkaa tka tataatf 2. 设周期函数f(t)的周期为t, 角频率=2/t, 则 其分解为傅里叶级数为 7.1 非正弦周期量及其分解（三）非正弦周期量及其分解（三） )sincos( )sincoscossin( 1 0 1 0)( k kk k kkmkkmt tkbtkaa tkatkaaf kkmk kkmk k k k

3、kkkm ab aa aa b a baa cos sin tan, 00 22 7.1 非正弦周期量及其分解（四）非正弦周期量及其分解（四） )(sin)( 1 sin)( 2 )(cos)( 1 cos)( 2 )()( 2 1 )( 1 2 00 2 00 2 00 0 tdtktfdttktf t b tdtktfdttktf t a tdtfdttf t a t k t k t 例例7.1（一）（一） 求图7.2所示矩形波的傅里叶级数。 f (t) um um t 2t t o 图 7.2 例 7.1 图 例例7.1（二）（二） ) 2 ()( ) 2 0()( tt t utf t

4、 tutf m m 解解 图示周期函数在一个周期内的表达式为 根据前述有关知识得 )cos1 ( 2 )(sin)( 1 )(sin 1 0)(cos)( 1 )(cos 1 0)()( 2 1 )( 2 1 0 2 0 2 0 2 0 tk k u tdtkutdtkub tdtkutdtkua tdutdua m mmk mmk mm 例例7.1（三）（三） k u bk m k 4 , 1cos当k为奇数时, . 0, 1cos k bk当k为偶数时, 由此可知该函数的傅里叶级数表达式为 )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 )( ttt u tf m 表表 7.1 几种周

5、期函数（一）几种周期函数（一） 名称波形傅里叶级数有效值平均值 正 弦 波 梯 形 波 f (t) tt0t 2 am f (t) t t 0 am t 2 a a t 2 tatf m sin)( )sinsin 1 5sin5sin 25 1 )3sin3sin 9 1 sin(sin 4 )( 2 tkka k ta ta ta a a tf m (k为奇数) 2 m a m a2 3 4 1 a a m )1 ( a a m 表表 7.1 几种周期函数（二）几种周期函数（二） 名称波形傅里叶级数有效值平均值 三 角 波 矩 形 波 f (t) tt0 am t 2 ) sin ) 1(

6、 5sin 25 1 3sin 9 1 (sin 8 )( 2 2 1 2 tk k tt t a tf k m (k为奇数) f (t) tt0 am t 2 )sin 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 )( tk k tt t a tf m (k为奇数) 3 m a 2 m a m a m a 表表 7.1 几种周期函数（三）几种周期函数（三） 名称波形傅里叶级数有效值平均值 半 波 整 流 波 全 波 整 流 波 f (t) tt0 am t 4 f (t) tt0 am t 4 .)6 , 4 , 2( .)cos 1 2 cos 6cos 75 1 4cos 53

7、 1 2cos 31 1 cos 42 1 ( 2 )( 2 k tk k k t tt t a tf m .)6 , 4 , 2( .)cos 1 2 cos 4cos 53 1 2cos 31 1 2 1 ( 2 )( 2 k tk k k t t a tf m 2 m a m a2 2 m a m a 表表 7.1 几种周期函数（四）几种周期函数（四） 名称波形傅里叶级数有效值平均值 锯 齿 波 3 m a 2 m a f (t) 2tt0 am t .)3 , 2 , 1( .)sin 1 .3sin 3 1 2sin 2 1 (sin 2 )( k tk k t tt aa tf m

8、m 7.1 非正弦周期量及其分解（五）非正弦周期量及其分解（五） 0, 0 0 k aa 1 sin)( k k tkbtf )()(tt ff 不包括直流分量和余弦项 3.某些非正弦周期函数某些非正弦周期函数 （1）周期函数为奇函数 7.1 非正弦周期量及其分解（六非正弦周期量及其分解（六） （2） 周期函数为偶函数周期函数为偶函数 偶函数的傅里叶级数中bk=0, 所以偶函数的傅里叶级数 中不含正弦项。 )()(tt ff （3）奇谐波函数）奇谐波函数 t 2t t o f (t) 图 7.3 奇谐波函数 7.1 非正弦周期量及其分解（七非正弦周期量及其分解（七） 奇谐波函数只包括奇次谐波，

9、不包括直流分量和偶次。奇谐波函数只包括奇次谐波，不包括直流分量和偶次。 1 )sincos()( k kk tkbtkatf .)5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 )(ttt u utu m m (k为奇数) 7.1 非正弦周期量及其分解（八非正弦周期量及其分解（八） u(t) 2um t 2 t t o (a) u1(t) um t o (b) u2(t) um t 2 t t o u m (c) 图 7.4 波形的分解 例例7.2 试把表7.1中振幅为50v、周期为0.02s的 三角波电压分解为傅里叶级数（取至五 次谐波）。 解解 电压基波的角频率为 srad t /100

10、 02. 0 22 vttt ttt ttt u tu m )500sin62. 1300sin50. 4100sin5 .40( )500sin 25 1 300sin 9 1 100(sin 508 )5sin 25 1 3sin 9 1 (sin 8 )( 2 2 7.2 非正弦周期电流电非正弦周期电流电 路中的有效值、路中的有效值、 平均值平均值 和平均功率和平均功率 7.2.1 有效值（一）有效值（一） 1 0 0 2 )sin()( )( 1 k kkm t tkiiti dtti t i t k kkm dttkii t i 0 2 1 0 )sin( 1 7.2.1 有效值（二

11、）有效值（二） . . )()sin()(2 1 )(sin2 1 )(sin 1 22 1 2 0 1 22 0 22 1 2 0 1 22 0 0 0 0 1 22 0 0 1 222 0 k k k k k k qqmk t km k t km k kk t k km uuuuuu iiiiii qkdttqitki t dttkii t iidttkii t 7.2.2 平均值（一）平均值（一） 1. 周期量的平均值：周期量绝对值的平均值周期量的平均值：周期量绝对值的平均值 t av dtti t i 0 )( 1 titi m sin)(当 时, 其平均值为 ii i tdti td

12、tii m m m mav 898. 0637. 0 2 sin 1 sin 2 1 0 2 0 t av dttu t u 0 )( 1 7.2.2 平均值（二）平均值（二） i i k i i k m a av f 2. 对周期量, 有时还用波形因数kf、波顶因数k和畸变 因数kj来反映其性质: i i k j 1 对上例的正弦量 1 414. 12 11. 1 1 i i k i i k i i k j m a av f 7.2.3 平均功率（一）平均功率（一） 1 0 1 0 0 )sin()( )sin()( )( 1 k ikkm k ukkm t tkiitu tkuutu dt

13、tp t p dttkiitkuu t dttitu t dttp t p k ikkm t k ukkm tt )sin( )sin( 1 )()( 1 )( 1 1 0 0 1 0 00 7.2.3 平均功率（二）平均功率（二） 00 0 000 1 iudtiu t p t kkk ikukkmkm t ikkmukkmk iu iu dttkitku t p cos )cos( 2 1 )sin()sin( 1 0 1 0 cos k kkk iupp 7.2.3 平均功率（三）平均功率（三） 1 sin k kkki uq 1 22 0 1 22 0 k k k k iiuuuis

14、s p ui p cos 等效正弦波替代原来的非正弦波。等效的条件是: 等效 正弦量的有效值为非正弦量的有效值，等效正弦量的频率 为基波的频率, 平均功率不变。 例例7.4（一）（一） 已知某电路的电压、 电流分别为 vttti vtttu )500sin2)30100sin(63)( )30300sin(8)30100(2010)( 求该电路的平均功率、 无功功率和视在功率。 例例7.4（二）（二） 解解 平均功率为平均功率为 var52)60sin( 2 6 2 20 60)60cos( 2 6 2 20 310 q wp 无功功率为无功功率为 视在功率为视在功率为 vauis1 .98

15、2 2 ) 2 6 (3 2 8 ) 2 20 (10 2 22 2 22 7.3 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算 1、 其分析电路的一般步骤步骤如下: (1) 将给定的非正弦激励信号分解为傅里叶级数, 并根据 计算精度要求, 取有限项高次谐波。 (2) 分别计算各次谐波单独作用下电路的响应, 计算方法 与直流电路及正弦交流电路的计算方法完全相同。对直流 分量, 电感元件等于短路, 电容元件等于开路。对各次谐波, 电路成为正弦交流电路。 (3) 应用叠加原理, 将各次谐波作用下的响应解析式进行 叠加。 例例7.5（一）（一） 图7.5(a)所示电路中, ,)303sin(25

16、0sin210010)(vtttu 并且已知 ,10,5,15/1 ,2 21 rrcl 求各支路电流及r1支路吸收的平均功率。 例例7.5（二）（二） i2 c i1 r2r1 i u(t) (a) r2 r1 i(0) u0 (b) i1(0) i2(1) c i1(1) r2r1 i(1) u1(t) (c) l i2(3) c i1(3) r2r1 i(3) u3(t) (d) l l i2(0) 图 7.5 例 7.5 图 例例7.5（三）（三） aii i a r u i 2 0 2 5 10 )0(1)0( )0(2 1 0 )0(1 解： (1) 在直流分量0=10v单独作用下

17、的等效电路如图7.5(b) 所示, 这时电感相当于短路, 而电容相当于开路。各支路电流 分别为 例例7.5（四）（四） (2) 在基波分量 单独作用下, 等 效电路如图7.5(c)所示, 用相量法计算如下: tvtusin2100)( 1 aiii a jljr u i a jljr u i vu 38. 65 .20)3 .5655. 58 .216 .18( 3 .5655. 5 1510 0100 8 .216 .18 25 0100 0100 )1(2)1(1)1(1 1 1 )1(1 1 1 )1(1 1 例例7.5（五）（五） (3) 在三次谐波分量 单独作用 下, 等效电路如图7

18、.5(d)所示。此时, 感抗 , 容抗 。 vtu)303sin(250 3 63 )3( lx l 5 3 1 )3( c x c aiii a jjxr u i a jjxr u i vu c l 17.1062. 8 57.5647. 4 510 3050 19.204 . 6 65 3050 3050 )3(2)3(1)3( )3(2 3 )3(2 )3(1 3 )3(1 1 例例7.5（六）（六） att iiiti att iiiti att iiiti )57.563sin(247. 4)3 .56sin(255. 5 )( )19.203sin(24 . 6)8 .21sin(

19、26 .182 )( )17.103sin(262. 8)38. 6sin(25 .202 )( )3(2)1(2)0(22 )3(1)1(1)0(11 )3()1()0( 例例7.5（七）（七） w uiuiuip ai ai ai 8 .19518 .204172720 19.50cos504 . 6)8 .21cos(1006 .18102 coscos 12. 747. 455. 5 72.194 . 66 .182 26.2262. 85 .202 33)3(111)1(10)0(11 22 3 222 1 222 例例 7.6（一）（一） 图7.6所示电路中, 已知 r=10, l=30, l1=10, 1/c=90。 试求 i(t)、i1(t)、u(t)。 ,)3sin230sin25010(vttus i1 l1 uc lri us(t) 图 7.6 例 7.6 图 例例 7.6（二）（二） a r u ii u so 1 10 10 0 )0(10 0 解解 (1) 对直流分量 (2) 在基波作用下 37.7644.4225.113010 9010 9010 3010 1 ) 1 ( 050 1 1 1 1 jj jj j c jlj c jlj ljrz vus 例例 7.6（三）（三） a jlj u i vju a z u i s