1、数值计算方法与误差分析

1、计算方法计算方法主讲教师：主讲教师： 侯进军侯进军 E-mail: &教材教材 (Text Book) 数值计算方法数值计算方法 韩树里韩树里 编著编著 （复旦大学出版社）（复旦大学出版社）& 参考书目参考书目 (Reference) Numerical Analysis (Seventh Edition) 数值分析数值分析 （第七版（第七版 影印版）影印版） Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）（高等教育出版社） 现代数值分析现代数值分析 李庆扬、易大义、王能超李庆扬、易大义、王能超 编著编著 （高等教育出版社）（高等教育出版社）&

2、计算方法的主要内容计算方法的主要内容 CH1、数值计算方法与误差分析、数值计算方法与误差分析 CH2、非线性方程的数值解法、非线性方程的数值解法 CH3、线性代数方程组的数值解法、线性代数方程组的数值解法 CH4、插值与数值拟合、插值与数值拟合 CH5、数值积分与数值微分、数值积分与数值微分 CH6、常微分方程初值问题的数值解法、常微分方程初值问题的数值解法CH1 数值计算方法与误差分析数值计算方法与误差分析1.1 数值计算方法的含义及特点数值计算方法的含义及特点1.2 误差来源误差来源1.4 数值运算的误差分析数值运算的误差分析1.3 近似数的误差表示法近似数的误差表示法（绝对误差，相（绝对

3、误差，相 对误差，有效数字）对误差，有效数字）1.5 减少运算误差的若干原则减少运算误差的若干原则1.1 计算方法的含义和特点计算方法的含义和特点计算计算方法方法程序程序设计设计上机上机计算计算近似解近似解数学数学模型模型实际实际问题问题1、计算方法所处地位、计算方法所处地位2、计算方法的特点、计算方法的特点 1）面向计算机）面向计算机 2）有可靠的理论分析）有可靠的理论分析3）有好的计算复杂性：）有好的计算复杂性： 空间复杂性（节省存储空间）空间复杂性（节省存储空间） 时间复杂性（节省计算时间）时间复杂性（节省计算时间）1.2 误差的来源误差的来源精确数精确数-真值、近似数，误差真值、近似数

4、，误差 从实际问题中抽象出数学模型从实际问题中抽象出数学模型 模型误差模型误差 /* Modeling Error */ 通过测量得到模型中参数的值通过测量得到模型中参数的值 观测误差观测误差 /* Measurement Error */ 求近似解求近似解 方法误差方法误差 (截断误差截断误差 /* Truncation Error */ ) 机器字长有限机器字长有限 舍入误差舍入误差 /* Roundoff Error */1.3 近似数的误差表示法近似数的误差表示法一、一、 绝对误差绝对误差 / /* * absolute error absolute error * */ /xxe *

5、其中其中x为精确值，为精确值，x*为为x的近似值。的近似值。 10006074302.dxex，例如：，例如：*xx 工程上常记为工程上常记为|*e*)(x或 ，称为，称为绝对误差限绝对误差限（简称为误差或精度）（简称为误差或精度） 的上限记为的上限记为)(5 . 0|1235|*mmxx-x|例例 用一把毫米刻度的尺子测得桌子的长度用一把毫米刻度的尺子测得桌子的长度 mm1235x *由尺子的精度可以知道，由尺子的精度可以知道，这个近似值的误差不会超过这个近似值的误差不会超过 mm0.5x的的近似值是近似值是)(5 . 01235)(5 . 0*mmmm xx二、二、 相对误差相对误差 /*

6、 relative error */|*xr x 的的相对误差上限相对误差上限 /* relative accuracy */ 定义为定义为*r *re*xexe*xe2*2*)()()(rexxexxxxexexe*rex 的的相对误差定义为：相对误差定义为：xeer* 三、三、有效数字有效数字 / /* * significant digits significant digits * */ /142. 3*;8979321415926535. 3例例问：问： 有几位有效数字？有几位有效数字？* 用规则计数法，记用规则计数法，记 （其中（其中 ）。若）。若 mnxx.xx10021*01x

7、nm.xx 1050|*na*xnm 10（即（即 的截取按四舍五入规则），则称的截取按四舍五入规则），则称为有为有n n 位有效数字，精确到位有效数字，精确到 。( ( 4 4 位位 ) )四、四、有效数字与相对误差的关系有效数字与相对误差的关系 有效数字有效数字 相对误差限相对误差限11121102102101001050*nnmnnmrx.xxx.x.x*已知已知 x* 有有 n 位位有效数字有效数字， 所以所以有效数字越多，有效数字越多，相对误差越小相对误差越小mnxx.xx10021*则其则其相对误差限相对误差限为为 相对误差限相对误差限 有效数字有效数字nmmnmnr.xxx.xx

8、xxx105010) 1() 1( 210100) 1( 210| *|*| *|11112111已知已知 x* 的的相对误差限相对误差限可写为可写为则则可见可见 x* 至少至少有有 n 位位有效数字有效数字。1110)1(21*nrx 所以所以相对误差越小，相对误差越小，有效数字越多有效数字越多 例例 求求 的近似值，使其的近似值，使其相对误差不超过相对误差不超过0.1%。10解解设取设取n 位位有效数字，令有效数字，令001. 0103211021*111nnrx006. 0lg1n 2 . 312 . 21006. 0lgn取取 n=4， 162. 310 1.4 误差的传播误差的传播问

9、题问题：对于：对于 y = f (x)，若用，若用 x* 近似近似取代取代 x。求求y 的误差的误差分析分析：e (y) = f (x*) f (x) e (x) = x* x= f ( )(x* x)x* 与与 x 非常接近时，可认为非常接近时，可认为 f ( ) f (x*) ，则有：，则有：即：即：x*产生的误差经过产生的误差经过 f 作用后被放大作用后被放大/缩小了缩小了| f (x*)|倍。倍。上一页上一页 下一页下一页 返回返回 |e (y)| | f (x*)|e (x)|1 1、一元函数误差的传播公式、一元函数误差的传播公式*)()(| )(|xfyey*er *)(*| )(

10、|xxex*er *(x)ref(x*)(x*)fx*f(x*)e(x)*f(x上一页上一页 下一页下一页 返回返回 )()()(*2*1*2*1xxxx )()()(*1*2*2*1*2*1xxxxxx . 0 ,)()()(*22*2*1*2*2*1*2*1xxxxxxxx 3 3、多元函数的误差传播、多元函数的误差传播2 2、相对误差的传播、相对误差的传播例例: 计算计算 y = ln x。若。若 x 20，则取，则取 x 的几位有效数字可保证的几位有效数字可保证 y 的相对误差的相对误差 0.1% ?*ln| )(*| )(*|*)(*)(*| )(|xxexexyxyxy*errr

11、解：解：设截取设截取 n 位有效数字后得位有效数字后得 x* x，则，则于是于是 x 和和 y 的相对误差上限满足近似关系的相对误差上限满足近似关系)(*ln)(yxxrr %1 . 0*ln102111 xan不知道怎么办啊？不知道怎么办啊？x 可能是可能是20.#，也可能，也可能是是19.#，取最坏情况，取最坏情况，即即a1 = 1。 n 4上一页上一页 下一页下一页 返回返回 1.5 减少运算误差的若干原则减少运算误差的若干原则 1 避免两个相近数相减避免两个相近数相减 3 防止大数吃掉小数防止大数吃掉小数 2 避免绝对值太小的数做除数避免绝对值太小的数做除数 4 简化计算步骤，减少运算

12、次数简化计算步骤，减少运算次数 5 有数值稳定性，控制舍入误差的传播有数值稳定性，控制舍入误差的传播1. 避免相近二数相减避免相近二数相减例：例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有，各有5位有效数字。位有效数字。 而而 a2 a1 = 0.00001，只剩下，只剩下1位有效数字。位有效数字。 几种经验性避免方法：几种经验性避免方法：;xxxx ;lnlnln2121xxxx当当 | x | 1 时：时：;2sin2cos12xx .6121112xxxex2. 避免小分母避免小分母 : 分母小会造成浮点溢出分母小会造成浮点溢出 /* over flow */3. 避免大数

13、避免大数吃吃小数小数例例2：用单精度计算：用单精度计算 的根。的根。010)110(992 xx精确解为精确解为110291 x,x 算法算法1 1：利用求根公式利用求根公式aacbbx242 例例1：在：在5位十进制计算机上计算位十进制计算机上计算9 . 005432110001iiiA其中 算法算法1 1：利用求根公式利用求根公式aacbbx242 在计算机内，在计算机内，109存为存为0.1 1010，1存为存为0.1 101。做做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即点部分相加。即1 的指数部分须变为的指数部分须变为1010，

14、则：，则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成为：，取单精度时就成为： 109+1=0.10000000 1010 +0.00000000 1010=0.10000000 1010大数大数吃吃小数小数024,102422921aacbbxaacbbx) 110104) 110(4(99292 acb例例 计算下列计算下列n次多项式次多项式：nnnxaxaxaaxP2210)(n2) 1(21nnn解：方案一方案一 直接计算直接计算此时所需的乘法次数为：此时所需的加法次数为：方案二方案二（秦九韶算法）（秦九韶算法）)()(nnnxaaxaxaxaxaxP13210 考虑到：

15、010121txPnnkxtatatnkkknn)(),(则有 此时所需的加法次数为：n；所需的乘法次数为：n显然方案二的计算次数比方案一的计算次数要少。显然方案二的计算次数比方案一的计算次数要少。上一页上一页 下一页下一页 返回返回 4、简化计算步骤，减少运算次数简化计算步骤，减少运算次数5、使用数值稳定的算法、使用数值稳定的算法上一页上一页 下一页下一页 返回返回 数值稳定的算法：数值稳定的算法：初始误差在计算过程中能够得到控初始误差在计算过程中能够得到控制的算法。制的算法。即：在运算过程中下一步误差即：在运算过程中下一步误差不增长（放大）不增长（放大）.210110,n,dxexeIxnn 例：计算例：计算11 nnInI 公式一：公式一：632120560111100.edxeeIx 记为记为*0I80001050 .IIE则初始误差则初始误差111111110010nI)e(ndxexeIdxexennnn391414231519594249414122764807131632896000121030592000111088128000101.367879440111415*13*14*12*13*11*12*10*11*9*10*0*1.II.II.II.II.II.II.II 上一页上一页 下一页下