幂函数的图像与性质01464

1、【知识结构】1 有理数指数幕（1）幕的有关概念欢迎下载10m正数的正分数指数幕：anvam(a 0,m n N ,且n 1)；m11a nm/ (amnaa正数的负分数指数幕0,m、n N ,且n 1)0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义注:分数指数幕与根式可以互化，通常利用分数指数幕进行根式的运算（2）有理数指数幕的性质afas=ar+s(a0,r、s Q(ar)s=ars(a0,r、s Q)；(ab)r=arbs(a0,b0,r Q);.例2 （1）计算:3 3 4 o 5 (38)3(56).2 1 1(0.008) 3(0.02) (0.32円 0.06250.2541a3

2、 8a3b2 2(2)化简：4b323 ab a3(a 323 b) . a 3 a2 a引Ja Va变式:（1）（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）2)1 2 1b2 ( 3a?b1) (4a? b予.（三）幕函数1、幕函数的定义形如y=x （a R）的函数称为幕函数，其中x是自变量，a为常数注：幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幕函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。例1.下列函数中不是幕函数的是（）A. y VxB. y X3 C y 2x D. y X1例2.已知函数f xm2 m 1 x 5m 3，当m为何值时，f x :（1）是幕函数；

3、（2）是幕函数，且是 0, 上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；变式 已知幕函数y （m2 m 1）xm 2m 3，当x （0， g）时为减函数，则幕函数y -2. 幕函数的图像幕函数y= xa的图象由于a的值不同而不同.a的正负：a 0时，图象过原点和（1,1），在第一象限的图象上升；aV0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立;3、幕函数的性质y=xy=x2y=x31y x2y=x-1定义域RRR0， )x| x R且x 0值域R0， )R0， )y |y R且y 0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x 0，)时，增；x (,0时，减增增x (0,

4、+)时，减；x (-,0)时，减定点(1, 1)例3.比较大小:1 13311230 5(1)1.52,1.7 2(2)( 1.2) ,( 1.25) (3) 5.25 ,5.26 ,5.26(4)0.5 ,3 ,log3 0.54.幕函数的性质及其应用幕函数y= xa有下列性质：(1)单调性：当a0时，函数在(0,+上单调递增;当aV0时，函数在(0,+上单调递减.奇偶性：幕函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函 数奇偶性的定义进行判断.m2 2m 3例4.已知幕函数y x( m Z )的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值.例5已知幕函数y xm 2(m N

5、)的图象与x, y轴都无交点，且关于y轴对称，求 m的值，并画出它的图象.变式：已知幕函数f(X)=X亦2m 3 ( m Z)为偶函数，且在区间(0, + X)上是单调减函数.(1)求函数f(x);(2)讨论F (x) =a f (x)二的奇偶性.xf (x)5.规律方法(1).幕函数y=xa( a0,1)的图象(1=0tl= 1图象1尸1伍却)do i01左z 1(2).幕函数y xa(a q, p,q N为最简分式)的图象6.性质:(1)幕函数的图象都过点;任何幕函数都不过象限;(2)当当a 0时，幕函数在0,)上；当a 0时，幕函数在(0,)上(3)当当a 2,2时，幕函数是;当a1,1

6、,3,-时，幕函数3是例6右图为幕函数y x在第一象限的图像，则a,b,c,d的大小关系是()(A) a b c d(B) b a d c(C)a b d c(D) a d c b例7若点错误!未找到引用源。在幕函数错误!未找到引用源。的图象上，点错误! 未找到引用源。在幕函数错误!未找到引用源。的图象上，定义错误!未找到引用 源。，试求函数错误!未找到引用源。的最大值以及单调区间。例8若函数错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。上是递减函数, 求实数错误!未找到引用源。的取值范围。【巩固练习】x2x, y x0中，幕函数的个数为11. 在函数 y ,y 3x2,yxA. 0B. 1C

7、. 22、 幕函数的图象都经过点()A. (1, 1) B . (0, 1) C. (0, 0) D . (1, 0)53、幕函数y x 2的定义域为()A . (0,+ ) B . 0,+) C . R D . (-, 0)U (0,+)4 .若幕函数fxxa 在 0,上是增函数，则()A .a 0B . a 1B .m 1C. m =lD .不能确定6 .若函数f(x) = x3(x R),则函数y = f( x)在其定义域上是()A.单调递减的偶函数 B .单调递减的奇函数C.单调递增的偶函数 D .单调递增的奇函数7. 已知幕函数f(x) = x“的部分对应值如下表：x112f(x1止

8、)2则不等式f(| x|) 2的解集是()A . x| 4x4B. x|0 x4C. x| .-2 x 2 D. x|0 v x 28. 如果幕函数y= (mi 3mH3) 的图象不过原点，则m的取值是()A . 1 m0D、av0二、填空题：_ 1 _ 111. 若(a+1)2. 已知函数f xm2 4m 4 xm m 1是幕函数，则实数m的值为.3. 幕函数y xn 2n 3 n N的图像与两坐标无交点且关于 y轴对称，则n的值等于.1114. 设a2, 1,丄,丄,丄,1,2,3 ，已知幕函数f x x是偶函数，且在区间2 3 20, 上是减函数，则满足要求的值的个数是.5. 已知函数f

9、 x 旦亠的图像的对称中心是 3, 1 ,贝U函数f x的单调递 v(3a 2) 2，则a的取值范围是;312. 函数y x 2的定义域为.(A)( B)(C)( D)(E)( F)113. 幂函数y = f(x)的图象经过点 一2, 8，则满足f(x) = 27的 x的值是.14. 已知a= 学1，函数f (x) = ax，若实数m n满足f (n) f (n)，则m, n的大小关系为.幕函数的性质与图像测试一、填空题/21. 若幕函数y f x的图像过点 ,2 ，则函数y f x的解析式为2 单位.1 18. 已知x 1 33 2x 3，贝U实数x的取值范围是二、选择题9如图，M、N、P、

10、Q分别为幕函数图像上的点，且他们的纵坐标相同，若2 1四个幕函数为y x 3 :y x 13.研究函数y x3的定义域、值域、奇偶性和单调性，并画出其大致图像 :y x 3 :y x 3，则M、N、P、Q与四个函数序号的对应顺序只可能是（）.（A （B ）（C）（D）10. 下列函数中，是奇函数且在 0, 上是增函数的是（ ）.(A)5x3(C)5x44x311当 x1,时，下列函数的图像全在直线x下方且为偶函数的是（）.(A)14x2( B) y x(C)12.设 yx和y g x是两个不同的幕函数，集合Mx| f x gx ，则集合M中元素的个数是（A） 1或2或0（C） 1或2或3或4三、解