二项式定理考点与题型归纳

1、二项式定理考点与题型归纳、基础知识(1)二项式定理：(a + b)n= c0an+。牯旷+ cnan_kbk+-+ cnbn(n N*)?;1二项式定理(2)通项公式：Tk+1 = cnankbk，它表示第k+ 1项;(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为cn, c1，,cn .2二项式系数的性质当X悩洛一阚成系数於遢増的与st大血时二项式莱散見遨减的艸“为冊数时申何 硕的 頊式系數绘人二理武H+4 ：-2糸数的和c； 4+ci+=0)的展开式中的常数项为 .解析：2+ 1 + 迈 5(x 0)可化为 羽+ 10，因而 Tr +1 = C10 击 10-皿)10- 2r,令 10 2r =

2、 0，得r = 5,故展开式中的常数项为C5。 5=答案：即 考点二二项式系数的性质及各项系数和典例精析(1) 若-x+厂n的展开式中各项系数之和大于8,但小于32,则展开式中系数最大的项A.6 3XC.4x 饭4B. .xD.或 4xx1若x2 1n的展开式中含x的项为第6项，设(1 3x)n= ao + a1X + a2x2+ anxn，则xai + a2+ an的值为若(a + x)(1 + x)4的展开式中x的奇数次幕项的系数之和为32,则a =解析(1)令 x= 1，可得x+厂n的展开式中各项系数之和为2n，即8 v 2nv 32,解1得n= 4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数

3、最大的项是C2(. x)2 了 2= 63x1 1x2xn的展开式的通项公式为Tr+1=cn(x2)nxr=cn(- 1)rx2n3r,因为含x的项为第6项，所以r = 5,2n 3r = 1,解得n = 8, 在(1 3x)n 中，令 x= 1,得 ao+ a1+ + a8= (1 3)8= 28, 又 ao= 1，所以 a1+ a8= 28 1 = 255.(3)设(a + x)(1 + x)4= a + a1x+ a2x2 + a3X3+ a4X4+ a5X5,令 x = 1, 得 16(a + 1) = ao + a1 + a2+ a3+ a4 + a5,令 x = 1,得 0= a。

4、一 a1 + a2 a3+ a4 a5,一，得 16(a + 1) = 2(a1 + a3+ a5),即展开式中x的奇数次幕项的系数之和为a1 + a3 + a5= 8(a + 1)，所以8(a + 1) = 32,解 得 a= 3.答案(1)A255 (3)3解题技法1. 赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x, y的一切值都成立.因此，可将x, y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令 x, y等于多少，应视具体情况而定，一般取“ 1, 1或 0”，有时也取其他值.如：形如(ax+ b)n, (ax2 + bx+ c)m(a, b, c R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需

5、 令x= 1即可.形如(ax+ by)n(a, b R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x= y= 1即可.2二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若 f(x) = ao + aix+ a2x2 + + anxn，贝U f(x)的展开式中(1)各项系数之和为f(1).f 1+ f 1a1 + a3+ a5 + =奇数项系数之和为ao + a2+ a4 + =.(3)偶数项系数之和为题组训练1. (2019 包头模拟)已知(2x 1)5 = a5x5 + a4x4 + a3x3+ a2x2 + a1x+ ao,则 |ao|+ |a11+ + |a5| =( )A.1B.24

6、3C.121D.122解析：选 B 令 x= 1,得 a5 + a4 + a3 + a2+ a1 + ao= 1，令 x = 1，得 a5 + a4 a3+ a2 a1+ ao= 243，+，得 2(a4 + a2 + ao) = 242, 即 a4+ a2+ ao= 121.一，得 2(a5 + a3 + a1) = 244,即 a5+ a3+ a1 = 122.所以 |ao|+ |a1|+ + |a5|= 122 + 121 = 243.2. 若(x+ 2+ m)9= ao+ a1(x+ 1)+ a2(x+ 1)2+ a9(x+ 1)9,且(ao+ a2+ a8)2 佝 + a3 + a9

7、)2= 39,则实数m的值为.解析：令 x= 0，则(2 + m)9= ao+ a1+ a2+ a9,令 x = 2,贝U m9= ao a1+ a2 a3+一a9,又(ao+ a2+ + a8)2 (a1 + a3+ + a9)2=(ao+ a1 + a2+ + a9)(ao a1 + a2 a3 + + a8 a9)= 39,(2 + m)9 m9= 39 ,.m(2 + m) = 3,m = 3 或 m= 1.答案：3或13已知(1 + 3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121,则展开式中二项式系数最大的项为.1解析：由已知得 cn-2+ cn1 + cn= 121，则尹r(

8、 1) + n+ 1= 121，即 n2 + n 240= 0, 解得n= 15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8= C(5(3x)7和T9= C?5(3x)8.答案：C15(3x)7 和 C15(3x)8考点三二项展开式的应用典例精析设 a Z,且 0av 13，若 512 018 + a 能被 13 整除，则 a=()A. 0B.1C. 11D.12解析由于51 = 52 1,512 018= (52 1)2 018 = C2 018522 018 C2 018522 017+ 一c2(S18521 + 1,又13整除52,所以只需13整除1 + a,又 0= Cn+ 4C

9、2，解得n= 8(n = 1舍去).+丄24x8的展开式的通项丄3rTr +1= C8( ,x)8r、4 r= 2 rC8x4 Rr = 0,1,，8),35T5 =83r要求有理项，则4 4必为整数，即r = 0,4,8，共3项，这3项分别是Ti = x4,1x，T9= 256X2设第r + 1项的系数ar + i最大，则ar +1 = 2 rC8,ar+i2，c89 r则 = 1,则 ar2 r 1c8 1 2rar + 12rc82 r + 1aT72 = 2- r + 1C8+1 = 8 r1，解得2 rw 3.当 r = 2 时，a3= 22&= 7,当 r = 3 时，a4 = 2

10、 入系数是()A.35B. 35C. 56D.561解析：选C由于第五项的二项式系数最大，所以n= 8所以二项式x x 8展开式的通项公式为 Tr + 1= C8x8 r( x 1)r = ( 1)rc8x8-2r，令 8 2r = 2,得 r = 3,故展开式中含有 x1 2项的系数是(1)3C8 = 56.2已知 疣一4C1+ 42C2 43d + + ( 1)n4nCn= 729，则 Q+ G+ 疣的值等于()A.64B.32C.63D.31解析：选 C 因为 CS 4C1 + 42C2 43C3+ - + ( 1)n4ncn= 729,所以(1 4)n= 36,所以n= 6，因此 Cn

11、+ cS+ Cr! = 2n 1 = 26 1 = 63.3. (2019济南模拟)x号2x x 5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中含 x4项的系数为.C8 = 7,因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为T3=7.rT,Tt=7rT.B级ai解析：令x= 1,可得X - 2x - 5的展开式中各项系数的和为1 a= 2，得a=- 1,入入1 1 1则x+ - 2x - 5展开式中含X4项的系数即是 2x - 5展开式中的含X3项与含X5项系数的1和.又 2x x 5 展开式的通项为 Tr + 1 = C5( 1)r 2r x5 2r,令 5 2r = 3,得 r = 1,令

12、5 2r = 5,得r = 0,将r = 1与r = 0分别代入通项，可得含x3项与含x5项的系数分别为80与32 , 故原展开式中含 x4项的系数为一80 + 32= 48.答案：482i4. 设复数 X= (i 是虚数单位)，则 C6. 设a=2xdx,则二项式ax2 - 6展开式中的常数项为 019X+ C2o19X2+ C3 019X3+ C 019x2 019 =()1 iA.iB. iC. 1+ iD. i 1解析：选D2i因为x=Q=1 i2i 1+ i=1 + i,1 i 1+ i所以 C2 019X+ C2 019X2 + C2 019X3+ +解析：a =1 2xdx= x

13、20=1,0则二项式ax21 6= x2其展开式的通项公式为TrC2 019x2 019= (1 + x)2 019 1 = (1 1 + i)2 019 1 = i2 019 1 = i 1.5. 已知(x + 2)9= ao+ a1x+ a2x2+ a9x9,则(a1 + 3a3+ 5a5+ 7a7 + 9a9)2 (2a2+ 4a4+ 6a6+ 8a8)2的值为(A.39C.3入0)B.310D.312解析：选D对(x+ 2)9= a0+ an+ a2*+ a9X9 两边同时求导，得9(x+ 2)8= a1+ 2a2X+ 3a3x2 + 8a8x7 + 9a9x8,令 x= 1,得 a1 + 2a2+ 3a3+ 8a8+ 9a9= 310,令 x= 1,得a1 2a2 + 3a3 一8a8 + 9a9 = 32.所以(a1 + 3a3 + 5a5 + 7a7+ 9a9)2 (2a2 + 4a4+ 6a6 + 8a8)2 =12(a1 + 2a2+ 3a3 + + 8a8+ 9a9)(a1 2a2+ 3