度量空间的拓扑性质与连续性

1、泛函分析导论1.2度量空间的拓扑性质与连续性1.2.1度量空间的拓扑性质定义1.2.1邻域设(X,d)是度量空间，xo X , 30,称集合 0(Xo, 8) =x|d(x,xo) &x X为以 Xo 为中 心，8为半径的开球，或xo的一个8邻域如果不特别强调半径，用0(xo)表示xo的半径；称O(xo, 8) =x|d(x,x) 8,x X为闭球.定义1.2.2内点、开集与闭集设(X,d)是一度量空间，xo G ? X，若存在xo的8邻域O(xo,8) ? G ,则称点 人为G的 内点.如果G中的每个点均是它的内点，则称 G为开集.并规定空集$为开集.对于F ? X , 若FC = X -

2、F是开集，则称F为闭集.注1:实数域中的任何开球是开集，闭球是闭集，对于度量空间其结论如何？例1.2.1度量空间(X,d)的开球0(人，8)是开集.* 1 *证明？x 0(x0, 8),显然 d(x, x,) 8,取 8* =-( 8- d(x,xj)，即 2 8* + d(x,x0) = 8,则对任2何 y O(x, 8 )，都有 d(x, y) 8，从而d(y,Xo) d(y,x)+ d(x, xd) 8 +d(x,x0) 3,取 3* = (d(x, Xo)- 8)，即 28* + 3=d(x,Xo)，则 2y 0(x, 3*)，有d (y, xo) d (x, xo) - d(y, x

3、) = 2 3 + 3- d (y, x) 3可见 y (O(x,3)C，即 O(x, 3)? (0(x,3)C，从而(0(x, 3)C 为开集，故 0(x, 3)为闭集.例1.2.3设(X,do)是离散度量空间，A是X的任意非空子集，证明A既是开集又是闭集.证明？xo A，取 3 = ?，贝V O(xo, ) = ?x | do (x, xo) O，令Uo = O(Xn ；) = x|do(x,X0) ；,x XVo = 0(y, -) =x| do(x,y) 0 , ?- 0 ,当 x X1 且 a(x,x。) -时，有 d?( f(x), f (x。)0 , ?- 0 , ?x,y X，

4、当 d1(x,y) -时，有 d2(f(x), f(y) o,存在-0 ,当d1(x,xo) -时，有d2(f (x), f(xo) e. 注 意 d1(x,xo) -即 x 0(xo,而 d2( f (x), f (xo) 0 , ? S 0 ,使得 f ?O(Xo , S) ? O( f(Xo), )根据假设 Xn f Xo 得，对于 此 So,存在 N ,当 nN 时，Xn O(Xo, S).即 f (xn) O(f(Xo), s)，于是 d2(f (xJ, f(Xo) s 因 此 f (Xn) f f (Xo) (3) ?(1)反证法假设f在Xo不连续，则必存在某个正数s，使得对于每一

5、个Sn =-，其中n1n = 1,2,L，有 Xn 满足 di(Xn，Xo)0 ,使O(f(xJ, S?G .由于f连续，所以对s0 ,有S0 ,使得 f (O(Xo, S)? O(f(Xo), s? G 即 O(Xo,S)? f-1(G) 说明 Xo 是 f-1(G)的内点，故 f-1(G)是开集.充分性？：任取xo X，对任意的s0,取开集G=O(f(Xo), S，则Xo f-1(G),由假设 f-1(G)是开集，因而存在 S 0 ,使 O(Xo, S)? f-1(G),故 f (O(Xo, S) ? G = O(f(Xo), S ,即 f 在 Xo 连续.口注&由上述定理知，在连续映射下，开集的原象是开集，那么开集的象一定是开集吗？不一定.例如：f(x)=s in x: R f R是连续映射，f将(0,2町映射为-1,1 例1.2.4 设(X,d)是度量空间，x* X，那么f(x) = d(x,x*) :X f R是度量空间X上的连 续映射.证任取x0 X，对于x X而言，由d(x, x )- d(xo,x ) d(x, Xo)及 d(Xo,x ) - d(x,x ) d (x,Xo)可得 d(x,x*) - d(Xo,x*) d (Xo,x) S= s0，?S= S,当叫小S= S时，就有|f(x)- f(Xo) = d(x, x*) - d(Xo,x*) d(