136(1)实系数一元二次方程

1、13.6（1）实系数一元二次方程 上海市新中高级中学 陶志诚一、教学内容分析本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善.为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。这使得负数在实数范围内不能进行开方运算，以及解那么实系数一元二次方程时，对于当时方程就没有实在复数集中数解等问题的情况同样，需要进一步研究.因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题.二、教学目标设计理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一

2、元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用.三、教学重点及难点在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解.四、教学用具准备电脑、实物投影仪五、教学流程设计课堂小结并布置作业复习引入实系数一元二次方程韦达定理运用与深化(例题解析、巩固练习)求根公式六、教学过程设计（一）复习引入1.初中学习了一元二次方程且的求根公式，我们一起来回顾一下：当时，方程有两个实数根：2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:.设问：一元二次方程在复数范围内有没有解？设问：在复数范围内如何解一元二

3、次方程？说明 设问学生可以根据“复数的平方根”知，x即为-1的平方根：；设问是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程.（二）讲授新课 1、实系数一元二次方程在复数集C中解的情况：设一元二次方程.因为，所以原方程可变形为，配方得，即.（1）当时，原方程有两个不相等的实数根；（2）当时，原方程有两个相等的实数根；（3）当时，所以由上一堂课的教学内容知，的平方根为，即，此时原方程有两个不相等的虚数根.（为一对共轭虚数根）说明实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当时，有两个实根；当时，有一对共轭虚根.设问：若是一个实系数一元二次方程的一个根，你能直接写出该方程的另一个根吗？为什么？回到引入部分

4、设问：在复数范围内解一元二次方程.（，即为上节课学习过的）例1、（1）在复数集中解方程：；（2）在复数集中解关于的方程：.解：（1）因为=，所以方程的解为，.（2）因为=16-a2，所以，当0，即时，原方程的解为，.当=0，即时，若，则原方程的解为； 若，则原方程的解为.当0，即时，原方程的解为,.提醒学生注意：在复数集中解方程时，应先考虑的正负.说明例1(2)需分类讨论，要求较高，建议选用，也可以换成课本上的例题1（P91）例2 、已知一元二次方程，试确定一组的值，使该方程分别有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚数根，并解方程.说明例2属于开放性问题，比较容易入手，可以让基础不理想

5、的同学尝试回答，加强互动.既然实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解，那么二次三项式在复数范围内总可以分解成两个一次因式的乘积.若方程的两个解分别为，则.例3、 在复数集中分解因式：（1）； （2）.解：（1）=.（2）（见课本P91）提醒学生注意：分解二次三项式时，应提取二次项的系数a. 2、实系数一元二次方程中根与系数的关系：对于实系数一元二次方程，当其有实数根时，我们在初中已经学习过了根与系数的关系：，（即韦达定理）.设问：实系数一元二次方程有虚数根时，是否也满足根与系数关系？ 利用求根公式,容易验证，.例4、 已知是关于x的方程的一个根，求实数p、q的值.解：（见课本P91例2）（三

6、）巩固练习见课本P91练习13.6（1）；P92练习13.6（2）T1.2.3.说明以上练习可以根据时间选择一部分在课堂上完成，其余可作为课后练习.（四）课堂小结本节课主要讨论了实系数一元二次方程解的情况，知道了在复数集中解实系数一元二次方程和在复数范围内对二次三项式进行因式分解，体现了分类讨论的数学思想.（五）课后作业1书面作业：练习册P55 习题136 A组 T1.2.3.4.5.2思考题：（补充题及备选题）（1）在复数集中分解因式：.（2）方程在复数集中解的个数为（ ） （A）2 （B）4 （C）6 （D）8（3）在复数范围内解方程(i为虚数单位).参考答案：（1） （2）C （3）原方

7、程化简为, 设z=x+yi(x、yR),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=, 原方程的解是z=-i.说明补充的思考题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题七、教学设计说明本节课由复习引入，带着问题，利用负数的开平方，开展本节课的探究.例题设计主要是为了体现以下三个问题：（1）在复数集中解实系数一元二次方程；（2）在复数范围内对二次三项式进行因式分解；（3）实系数一元二次方程有虚数根时，根与系数关系的初步应用.教学内容分析本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善.为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充