D96几何中的应用68392PPT学习教案

1、会计学1D96几何中的应用几何中的应用68392nDfR:为一元向量值函数（简称向量值函数）, 记为Dttfr),(定义域自变量因变量向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关,进行讨论.则设,),(),(),()(312Dttftftftf极限极限：连续连续：导数导数：严格定义见P91)(lim),(lim),(lim()(lim3210000tftftftftttttttt)()(lim00tftftt)(),(),()(321tftftftfttfttftftt)()(lim)(0000因此下面仅以 n = 3 的情形为代表第1页/共31页设vu,是可导向量值函数,

2、 )(t是可导函数, 则OCtdd) 1 ()()()2(ddtuctuct)()()()()3(ddtvtutvtut)()()()()()()4(ddtuttuttutt)()()()()()()5(ddtvtutvtutvtut)()()()()()()6(ddtvtutvtutvtutC 是常向量, c 是任一常数,)()()()7(ddtuttut第2页/共31页在 R3中, 设Dttfr),(的终端曲线为 , 切线的生成点击图中任意点动画开始或暂停MxzyOr)(0tf tr)(),(00ttfONtfOMN)()(00tfttfr)(lim00tftrtt表示终端曲线在t0处的切

3、向量,其指向与t 的增长方向一致.)(0tf , 则0)(0 tf设r第3页/共31页设)(tfr 表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有 )()(tftv)(tva)(tf ).(lim,)(sin)(cos)(4tfktjtittft求例例1. 设速度向量：加速度向量：解：解：ktjtittftttt4444lim)sinlim()coslim()(limkji42222)(4f第4页/共31页求曲线 上对应于解解:20t)62, 34, 1()(22tttttfrR,ttttf)6442()(的点处的单位切向量.R,t故所求单位切向量为)31,32,32()2()2(ff)2, 4,

4、4()2( f222)2(44)2( f其方向与 t 的增长方向一致另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为)31,32,32(= 6第5页/共31页求旋式上升, 其位置向量为),sin3,cos3(2tttr (1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;(2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率;(3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻.解解: (1)2,sin3,cos3(ttva)2,cos3,3sin()(ttttrv222)2()cos3()sin3()()2(ttttr249t0av(3) 由即, 04sincos9cossin9ttttt,0t得即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速

5、度正交.第6页/共31页过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面法平面.TM置.空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限位)(),(),()(ttttf：给定光滑曲线 在)(),(),()(ttttf点法式可建立曲线的法平面方程利用时，不同时为，则当0点M (x, y, z) 处的切向量及法平面的法向量均为点向式可建立曲线的切线方程第7页/共31页,),(, )(, )(ttztytx：因此曲线 在点 M 处的000zzyyxx)(0t)(0t)(0t,),(0000ttzyxM对应上的点设则 在点M 的切向量为)(00 xxt)( )(00yyt0)(00zzt法平面方程

6、法平面方程 )(),(),()(0000ttttfM)(0tf 不全)(),(),(000ttt给定光滑曲线为0, 切线方程切线方程第8页/共31页32,tztytx在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. ,3,2, 12tztyx解：解：, 10t点(1, 1, 1) 对应于故点M 处的切向量为) 3, 2, 1 (T因此所求切线方程为 111zyx123法平面方程为) 1( x) 1(2y0) 1( 3z即632zyx)()(:xzxy思考思考: 光滑曲线的切向量有何特点?), 1(T答答:)()(:xzxyxx切向量第9页/共31页时，当0),(),(zyGFJ光滑曲

7、线0),(0),(:zyxGzyxF)()(xzxyxydd曲线上一点),(000zyxMxyz, 且有xzdd,),(),(1xzGFJ ,),(),(1yxGFJ 可表示为处的切向量为 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1)(, )(, 100 xxT第10页/共31页 000zzyyxxMzyGF),(),(则在点),(000zyxM切线方程切线方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy 0)(0 zzMMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,)

8、,(),(,),(),(第11页/共31页0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF0)(),(),(0zzMyxGF(自己验证)第12页/共31页0,6222zyxzyx在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. MzyGF),(),(切线方程121zyx解法解法1 令, 6222zyxGzyxF则即0202yzx切向量;0),(),(MxzGFMzy1122Mzy)(2;606xyz66),(),(MyxGF)6,0, 6(T第13页/共31页06222zyxzyx0)

9、 1(6)2(0) 1(6zyx即0 zxxxzzxyydddd解法解法2 方程组两边对 x 求导, 得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点 M(1,2, 1) 处有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1第14页/共31页切线方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx点 M (1,2, 1) 处的切向量011)1,0, 1(T第15页/共31页0),(:zyxF设 有光滑曲面通过其上定点),(000zyxM0tt 设对应点 M,)(, )(, )(000ttt切线方程

10、为)()()(000000tzztyytxx不全为0 . 则 在, )(, )(, )(:tztytx且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面. 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. )(, )(, )(000tttTMT第16页/共31页MT在 上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttF,0处求导两边在tt ,0Mtt对应点注意 )(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(000000000zy

11、xFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量n的平面上 ,从而切平面存在 .n第17页/共31页)( ),(0000 xxzyxFx曲面 在点 M 的法向量法向量: 法线方程法线方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 过M点且垂直于切平面的直线 称为曲面 在点 M 的法线法线. MTn第18页/共31页)(,(000 xxyxfx曲面时, ),(yxfz

12、zyxfzyxF),(),(则在点),(zyx故当函数 ),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyfF 1zF令有在点),(000zyx在点有连续偏导数时, )( ),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程法向量法向量) 1),(),(0000yxfyxfnyx第19页/共31页,法向量法向量用2211cosyxff将),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff表示法向量的方向角,并假定法向量方向.为锐角则分别记为则,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,) 1, ),(, ),(0000

13、yxfyxfnyx复习 第20页/共31页14222zyx在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解: 令14),(222zyxzyxF所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x01432zyx即法线方程法线方程321zyx)2(4y0)3(6z123法向量)2,2,2(zyxn )6,4,2()3, 2, 1(n即321zyx(可见法线经过原点，即球心)第21页/共31页zyx222zyx在点),(000zyxM解解: 二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切, 故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又点 M

14、 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a与球面, ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z2第22页/共31页1. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(000tttT第23页/共31页切线方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空间光滑曲线0),(0

15、),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yy MyxGF),(),(0)(0 zzT第24页/共31页空间光滑曲面0),(:zyxF曲面 在点法线方程法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隐式情况 .的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFz

16、yxFnzyx第25页/共31页空间光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff法线的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量) 1 ,(yxffn第26页/共31页1. 如果平面01633zyx与椭球面相切,提示提示: 设切点为, ),(000zyxM则223yx .求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2162 z(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)第27页/共31页证明 曲面)(xyfxz 上任一点处的切平面都通过原点.提示提示: 在曲面上任意取一点, ),(000zyxM则通过此0zz 作业作业 P99 2，4，6，7，10，11，12)(0 xxxzM)(0yyyzM第七节 证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为第28页/共31页0),(ynzymxF与定直线平行,.),(可微其中vuF证证: 曲