3.1.1空间向量及其加减运算(第一课时)PPT优秀课件

1、中学生学习报中学生学习报 数学周刊数学周刊国家级优秀教辅读物ISO9001国际质量管理体系认证人教课标人教课标A版选修版选修2-1Learning English 专业辅导，专业品质空间向量空间向量及其加减运算及其加减运算 AB用字母用字母 等或者等或者用有向线段用有向线段的起点与终点字母的起点与终点字母 表示表示ABba、定义：定义：既有大小又有方向的量叫向量既有大小又有方向的量叫向量 几何表示法：几何表示法：用有向线段表示；用有向线段表示； 字母表示法：字母表示法：相等的向量：相等的向量： 长度相等且方向相同长度相等且方向相同的向量的向量 ABCD 复习复习2.平面向量的加减法与数乘运算平

2、面向量的加减法与数乘运算（1）向量的加法：）向量的加法：平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则ba baba a 复习复习（2）向量的减法）向量的减法三角形法则三角形法则ba ba3. 平面向量的加法运算律平面向量的加法运算律)(cbacba ）（加法交换律：加法交换律：加法结合律：加法结合律：abba 复习复习平面向量平面向量概念概念加法加法减法减法运算运算运运算算律律定义定义 表示法表示法 相等向量相等向量减法减法:三角形法则三角形法则加法加法:三角形法则或三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则空间向量的加法、减法运算空间向量的加法、减法运算空间向量空间向量具有大小和方向的量具

3、有大小和方向的量)()(cbacbaabba加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律abba加法交换律加法交换律加法加法:三角形法则或三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则减法减法:三角形法则三角形法则加法结合律加法结合律成立吗？成立吗？ababab+OABbCOCOACAABOAOB空间向量的加减法空间向量的加减法abOABba 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示们可用同一平面内的两条有向线段表示. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们

4、量中有关结论仍适用于它们. 平面向量平面向量概念概念加法加法减法减法运算运算运运算算律律定义定义 表示法表示法 相等向量相等向量减法减法:三角形法则三角形法则加法加法:三角形法则或三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则空间向量的加法、减法运算空间向量的加法、减法运算空间向量空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量)()(cbacbaabba加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律abba加法交换律加法交换律加法加法:三角形法则或三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则减法减法:三角形法则三角形法则加法结合律加法结合律成立吗？成立吗？)()(cbacba abcab+c+()OABCab+

5、abcab+c+()OABCbc+加法结合律加法结合律abba )(cbacba ）（1）加法交换律：）加法交换律：（2）加法结合律：）加法结合律：abca + b + c abca + b + c a + b b + c 空间向量的加法、减法运算空间向量的加法、减法运算对空间向量的加法、减法的说明对空间向量的加法、减法的说明 空间向量的运算就是平面向量运算的推广空间向量的运算就是平面向量运算的推广 两个向量相加的平行四边形法则在空间两个向量相加的平行四边形法则在空间 仍然成立仍然成立 空间向量的加法运算可以推广至若干个空间向量的加法运算可以推广至若干个 向量相加向量相加 说明说明（1）首尾相

6、接的若干向量之和，等于由起始）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：nnnAAAAAAAAAA114332211A2A3A4A1nAnA 推广推广（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：则它们的和为零向量即：011433221AAAAAAAAAAnnn1A2A3A4AnA1nA 推广推广ABCDABCDa平行六面体平行六面体的六个面都是平的六个面都是平行四边形，每个行四边形，每个面的边叫做面的边叫做平行平行六面体的棱六面体的棱平行四边形平行四边形ABCD平移向量

7、平移向量 a 到到 的轨迹所形成的几何体，叫做的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体平行六面体记记作作ABCD A B C D A B C D 平行六面体平行六面体化简结果的向量：化简结果的向量：列向量表达式，并标出列向量表达式，并标出，化简下，化简下已知平行六面体已知平行六面体DCBAABCD ；BCAB ；AAADAB ABCDABCD例例 例题例题化简结果的向量：化简结果的向量：列向量表达式，并标出列向量表达式，并标出，化简下，化简下已知平行六面体已知平行六面体例例DCBAABCD ；BCAB 解：ABCDABCDBCAB AC；AAADABAAADABAAAC CCAC AC 例题例题A

8、BMCGD)(21 )2()(21 )1(ACABAGBDBCAB 空间四边形空间四边形ABCD中中, ,M、G分别是分别是BC、CD边的中点边的中点, ,化简：化简： 练习练习ABMCGDAGMGBMAB 原式原式)1()(21 ACABMGBMAB (2)原式原式)(21 ACABMGBM MG MBMGBM 练习参考答案练习参考答案共线向量与共面向量共线向量与共面向量平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交换律加法结

9、合律数乘分配律abba加法交换律bkakbak )(数乘分配律)()(cbacba加法结合律类比思想 数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零aa)()(回回 顾顾回回 顾顾aOBb结论结论：空间任意两个向量都可：空间任意两个向量都可平移平移到同到同一个平面内，成为同一平面内的向量一个平面内，成为同一平面内的向量. .ba一、空间向量数乘运算一、空间向量数乘运算1.1.实数实数 与空间向量与空间向量 的乘积的乘积 仍然仍然是一个是一个向量向量. .当 时， 当 时， 与向量 方向相同； 与向量 方向相同； 是零向量.aa00aaaa当 时，0a（1）方向：方向：（2）大小：）大小： 的长度是

10、 的长度的 倍.a|a2.2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 即： （）()( )()a babaaaaa 问题问题：平面向量中，平面向量中，) 0(/bba.ab的充要条件是：存在唯一的充要条件是：存在唯一的实数的实数 ，使，使能否推广到空间向量中呢？能否推广到空间向量中呢？零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线. .二、共线向量共线向量: :如果表示空间向量的有向如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合线段所在直线互相平行或重合, ,则这些向量则这些向量叫做叫做共线向量共线向量( (或或平行向量平行向量),),记作记作ba/)0(/bba

11、)0(bba)0(/bba作用：作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题 共线向量定理共线向量定理: : 对空间任意两个向量对空间任意两个向量 ， 。 存在实数存在实数, ,使使a(0).ab b )0(/bba)0(bba)0(bb如图，如图，l 为经过已知点为经过已知点A且平行已知非零向量且平行已知非零向量 的直线，的直线，aal/atAP 对空间任意一点对空间任意一点O,OAOPAP所以a tOAOPa tOAOP即 若在若在l上取上取 则有则有ABtOAOP和都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间和都称为空间直线的向量表示式，空间任

12、意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定一点及直线的方向向量唯一决定.由此可判断空间任意三点共线由此可判断空间任意三点共线。.alABPO若点若点P P是直线是直线l上任意一点，则上任意一点，则 由由 知存在唯一的知存在唯一的t, 满足满足aAB因为因为 ,BBOAOA所以所以 )A( tAOPOOBOOBtOAt)1 (特别的，当特别的，当t = 时，时，21)B(21OPOOA则有则有aABPOABtOAOP进一步进一步，OBOAOP_还可表示为：OPt1-tP点为点为A,B 的中点的中点练习练习1.对于空间任意一点对于空间任意一点O，下列命题正，下列命题正确的是：确的是：A.若，则若，则

13、P、A、B共线共线B.若，则若，则P是是AB的中点的中点C.若，则若，则P、A、B不共线不共线D.若，则若，则P、A、B共线共线 OPOAtAB3 OPOAAB OPOAtAB OPOAABA、B、P三点共线三点共线ABtOAOPABtAP ) 1(APyxOByOxOAOABP三、共面向量三、共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :平行平行于同一平面的向量于同一平面的向量, ,叫做叫做共面向量共面向量. .注意：空间任意两个向量是共面的，但空间注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量任意三个向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbac 如果空间向量如果空间向量

14、与两不共线向量与两不共线向量 ， 共共面，那么可将三个向量平移到同一平面面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则，则有有 byxppb那么什么情况下三个向量共面呢？那么什么情况下三个向量共面呢？2211eeaaa1e2e反过来，对空间任意两个不共线的向量反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如，如果果 ，那么向量，那么向量 与向量与向量 , 有什么位有什么位置关系？置关系？abbyxpab共线，分别与 bbya, a x确定的平面内，都在 bbya, ax确定的平面内，并且此平行四边形在 ba共面，与即确定的平面内，在bbbyap,aaxpabABPp Cp2.共面向量定理：如果两个向量共

15、面向量定理：如果两个向量 ， 不共线不共线，byaxpabpab 则向量则向量 与向量与向量 ， 共面的充要共面的充要条件是条件是存在实数对存在实数对x, ,y使使abABPp 推论推论:空间一点空间一点P P位于平面位于平面ABCABC内的充要条件是存在有内的充要条件是存在有序实数对序实数对x, y,使使ACyABxAPCOOCOBOAOP(_)(_)(_)abABPp 对空间任一点对空间任一点O,O,有有填空：填空：1-1-x- -yxyACyABxOAOPC 式称为空间平面式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面的向量表示式，空间中任意平面由空由空 间一点及两个不共线的向量唯一确

16、定间一点及两个不共线的向量唯一确定.作用：作用：由此可判断空间任意四点共面由此可判断空间任意四点共面P与与A,B,C共面共面ACyABxAPACyABxOAOP) 1(0zyxOCzOByOAxOPACyABxAPACABAPAPACABAPOAOCOAOBOAOPOAOCOB3131,33)()(332) 1 (所以所以即共面，因为OAOPOCOB3) 1 (例例1.已知已知A、B、C三点不共线，对于平面三点不共线，对于平面ABC外外的任一点的任一点O，确定在下列各条件下，点，确定在下列各条件下，点P是否与是否与A、B、C一定共面？一定共面？OCOBOAOP 4)2() 1(0zyxOCzO

17、ByOAxOP例例2.如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD，过平，过平面面AC外一点外一点O作射线作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使，并且使求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.,OEOFOGOHkOAOBOCODOBAHGFECD 共线向量共线向量 共面向量共面向量定义定义向量所在直线互相平向量所在直线互相平行或重合行或重合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫叫做共面向量做共面向量.定理定理推论推论运用运用判断三点共线，或两判断三点共线，或两直线平行直线平行判断四点共线，或直线平

18、判断四点共线，或直线平行于平面行于平面) 0(/ababap，a，bbyaxpABtOAOPACyABxOAOP小结小结共面共面ABtAP ACyABxAP383940411.回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b与非零向量a是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使b=a ,称平面向量共线定理.2. 必修必修平面向量平面向量，平面向量的一个重要定理，平面向量的一个重要定理平面向量基本定理：如果平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两是同

19、一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量量a，有且只有一对实数有且只有一对实数1、2，使，使a1e12e2.其中不共线向量其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量叫做表示这一平面内所有向量的一组的一组基底基底结论：结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。1）空间任意两个向量都是共面向量。2）涉及空间任意两个向量问题，平2）涉及空间任意两个向量问题，平面向量中有关结论仍适用它们。面向量中有关结论仍适用它们。1）实数 与空间向量a的乘积 a仍然是一个向量（1）当 时， a与向量a方向相同；（2）当 时， a与向量a方向相同；（3

20、）当 时， a是零向量。例如例如: : a3 a3 a2.2.空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算2. 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算满足分配律及结合律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()( )() a babaaaaa 即即： （） FEDCBA961231P（）、（ ）、（） 练练习习 OaLAPaB如图：L为经过已知点且平行非零向量a的直线，对空间任意一点O，1 ， （）tROPOAta 2 ，（ ）tROPOAt AB 非零向量a叫做直线L的方向向量。（1）、（2）都称为空间直线的向量表示式。即即：空空间间直直线线由由空空间间一一点点及及直直线线的的方方向向

21、向向量量唯唯一一确确定定点点P在直线在直线L上上点点P在直线在直线L上上 问题；如图；已知空间四边形ABCD中，向量AB = a， AC = b， AD =c，若M为BC的中点，G为BCD的重心，试用a、 b、 c表示下列向量：（1） DM （ 2） AGAMCGDB1)-2abc（1)3abc（ 已知平行六面体已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的求满足下列各式的x的值的值.ABCDA1B1C1D111(3)ACABAD 解 11() () ()AD ABAAABAAAD 12()ADABAA 12AC 111(3)ACABADxAC 2.x在正方体在正方体AC1中中,点

22、点E是面是面AC 的中心的中心,若若 ，求实数，求实数x,y.AEAAxAByAD ABCDDCBAE共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做叫做共共面向量面向量. .OAaa 共面向量定理共面向量定理: :如果两个向量如果两个向量 不共线不共线, ,则向量则向量P P与向量与向量 共面的充要条共面的充要条件是存在实数对件是存在实数对 使使ba,ba,yx,ybxaP 推论推论:空间一点空间一点P位于平面位于平面ABC内的充内的充要条件是存在有序实数对要条件是存在有序实数对x,y使使 OP=xAB+yAC或对空间任一点或对空间任一点O,有有 OP=OA+xAB+yAC 已知平行四边形已知平行四边形ABCD，从平面，从平面AC外一外一点点O引向量引向量 ， ， ，求证：，求证： (1) 四点四点E、F、G、H共面；共面； (2)平面平面EG平面平面AC .OAkOE OBkOF OCkOG ODkOH HGFEODCBAABMCGD)(21 )2()(21 ) 1 (ACABAGBDBCAB 空间四边形空间四边形ABCD中中,M、G分别是分别是BC、C