因式分解的多种方法

1、因式分解的多种方法编者按：很多同学在做因式分解的题目时，会觉得无从入手。而面临竞赛题目时，更加摸不着头脑。在此介绍几种因式分解的方法。其实，因式分解没有想象中的那么难。1】提取公因式这种方法比拟常规、简单，必须掌握。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例一：2xA2-3x=0解: x(2x-3)=0x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式这对我们后面的学习有帮助。2】公式法将式子利用公式来分解，也是比拟简单的方法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等注意：使用公式法前，建议先提取公因式。例二

2、：XA2-4分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b)2解：原式=(x+2)(x-2)3】十字相乘法是做竞赛题的根本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1? a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积cl ? c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果例三： 把2xA2-7x+3 分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一

3、次项系数分解二次项系数(只取正因数)：2 = 1X 2= 2X 1；分解常数项：3=1 x 3=3X 1=( -3) x( -1)=(- 1) x(-3).用画十字交叉线方法表示以下四种情况：1 1X2 31 x 3+2X 1=51 3X2 11x 1+2X 3=71 -1X2 -31X(- 3)+2 x( -1)=-51 -3X2 -11X( -1)+2 X( -3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数7.解原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式axA2+bx+c(a丰0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数

4、项 c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把al，a2，cl，c2，排列如下：al clXa2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，假设它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数 b，即a1c2+a2c仁b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方法要多实验，多做，多练。它可以包括前两者方法。4】分组分解法也是比拟常规的方法。一般是把式子里的各个局部分开分解，再合起来需要可持续性！例四：xA2+4x+4yA2-yA2可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，

5、可以用平方差公式解：原式=(x+2 ) A2-yA2=(x+2+y)(x+2-y)总结：分组分解法需要前面的方法作根底，可见前面方法的重要性。5】换元法整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的根底上例五：(x+y) A2-2(x+y)+1分解因式考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a代替x+y那么原式=aA2-2a+1=(a-1)A2回代原式=(x+y-1)A26】主元法这种方法要难一些，多练即可即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数例六：因式分解16y+2xA2(y+1)A2+(y-1)A2xA4y为主元会使原式极其烦琐,【主元法】【十字相乘法】分析：此题尚且属于简单例用，

6、只是稍加难度，以而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。原式=(y-1)A2xA4+2(y+1)A2xA2+16y=於2丫人2-2乂人2丫+乂人2+8丫)於2+2)可见，十字相乘十分重要。7】双十字相乘法难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如axA2 + bxy + cyA2 + dx + ey + f的二次六项式在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+ np = b , pk + qj = e, mk+ nj = d，即第1,2列和第2,3 列都满足十字相乘规那么。那么原式=(mx + py + j )( nx + qy

7、 + k )要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得 0，例七：ab + bA2 + a b 2分解因式解：原式=ox 1X aA2 + ab + 匕人2 + a b 2=(0x a+ b+ 1)( a + b 2)=(b + 1)( a+ b 2)8】待定系数法将式子看成方程，将方程的解代入这时就要用到1】中提到的知识点了当一个方程有一个解 x=a时，该式分解后必有一个 (x-a)因式例八：xA2+x-2该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法我们可以把它当方程做， xA2+x-2=0一眼看出，该方程有一根为 x=1那么必有一因式为(x-1)结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2

8、 (因为乘-1要为-2 )一次项系数必为1 (因为与1相乘要为1)所以另一因式为(x+2)分解为(x-1)(x+2)9】列竖式让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。要建立在待定系数法的方程法上缺乏的项要用0补除的时候，一定要让第一项抵消例九：3xA3+5xA2-2分解因式提示：x=-1可以使该式=0,有因式x+1那么该式分解为x+13xA2+2x-2因式分解有9种方法，这么多 其实是不止的，还有很多很多。不过了解这些，初中的因式分解是不会有问题了。 考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。(ab+b)A2 - (a+b2(aA2 - xA2)A2 - 4ax(x - a)A23aA3bA2c 6玄人2匕人2。人2 + 9abA2cA3xy + 6 2x 3y(3a b)A2 4(3a b)(a + 3b) + 4(a + 3b)A2(x + 2)(x 3) + (x + 2)(x + 4)12xA2 29x + 15x(y + 2) x y 14xA2 + 4xy + yA2 4x 2y 32xA4 + 13xA3 + 20xA2 + 11x + 22xA2-7xy-22yA2-5x+35y-34m