一元二次函数知识点汇总[共5页]

1、姓名二次函数总温习（知识点）21. 定义：一般地,如果 y ax bx c( a,b,c是常数, a 0) ,那么 y 叫做 x的一元二次函数 .2. 二次函数2y ax 的性质(1) 抛物线2y ax（a 0）的顶点是原点,对称轴是 y 轴.(2) 函数2y 的图像与 a的符号关系：ax当a 0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；当 a 0时 抛物线开口向下 顶点为其最高点23. 二次函数 y ax bx c的图像是对称轴平行于 ( 包括重合 ) y 轴的抛物线 .24. 二次函数 y ax bx c2用配方法可化成： y a x h k的形式,其中 hb2a24 ac b, .k4 a

2、2 的三要素：开口方向、对称轴、顶点 .5. 抛物线 y ax bx ca决定抛物线的开口方向：当a 0时,开口向上；当a 0时,开口向下； a 越小,抛物线的开口越大, a 越大,抛物线的开口越小。对称轴为平行于 y 轴( 或重合 ) 的直线,记作 x h. 特别地, y 轴记作直线 x 0. 定点是抛物线的最值点 最大值 ( a 0时) 或最小值 ( a 0时) ,坐标为 ( h, k) 。6. 求抛物线的顶点、对称轴的方法(1) 公式法：y2axbxcaxb2a24a c4a2b2b 4ac b,顶点是（ , ）,对称轴是直线2a 4axb2a.2(2) 配方法：运用配方法将抛物线的解析

3、式化为 y a x h k的形式,得到顶点为 ( h, k ),对称轴是 x h .(3) 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点 .用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失27. 抛物线 y ax bx c中, a,b,c 的作用(1) a决定开口方向及开口大小,这与2y ax 中的 a完全一样 .2(2) b和 a配合决定抛物线对称轴的位置 . 由于抛物线 y ax bx c的对称轴是直线xb, 故：2a b 0时,对称轴为 y 轴； b 0 时, 对称轴在

4、 y 轴左侧； 0b 时, 对称轴在 y 轴右侧. a a2(3) c的大小决定抛物线 y ax bx c与 y 轴交点的位置 .2当 x 0时, y c ,抛物线 y ax bx c与 y 轴有且只有一个交点 (0 ,c)： c 0,抛物线经过原点 ; c 0, 与 y 轴交于正半轴； c 0, 与 y 轴交于负半轴 .b .以上三点中,当结论和条件互换时仍成立 . 如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则 0a8. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：2 2 ； y a x h 2 ； y a x h 2 ky ax ； y ax k2 .； y ax bx c其中左右移动可得到,再上下移

5、动可得到。口诀“左加右减,上加下减”图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标y2axx 0( y 轴) (0,0)2 x 0( y 轴) (0, k ) y ax k当a 0时 2y a x h x h ( h,0)开口向上yyax2ax当a 0时2 x h h k ( , )h k开口向下2bb 4ac bbx cx(, )2a2a 4a9. 用待定系数法求二次函数的解析式 2 . 已知图像上三点或三对 x、 y 的值,通常选择一般式 .(1) 一般式： y ax bx c2(2) 顶点式： y a x h k. 已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式 .(3) 交点式：已知图像

6、与 x轴的交点坐标x 、 x2 ,通常选用交点式： y a x x1 x x2 .1210. 抛物线与 Y轴的交点 (1) y 轴与抛物线 y ax bx c(2) 抛物线与 x轴的交点得交点为 ( 0 , c )2二次函数 y ax bx c的图像与 x轴的两个交点的横坐标x 、 x2 ,是对应一元二次方程12 bx cax 的两个实数根. 抛物线与 x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：0有两个交点 0 抛物线与 x轴相交；有一个交点 ( 顶点在 x轴上) 0 抛物线与 x轴相切；没有交点 0 抛物线与 x轴相离 .11二次函数与一元二次方程的关系：2 2(1) 一元二次

7、方程 0 ax bx c 就是二次函数 y ax bx c当函数 y 的值为 0 时的情况2(2) 二次函数 y ax bx c的图象与 x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；2当二次函数 y ax bx c的图象与 x轴有交点时,交点的横坐标就是当 y 0时自变量 x的值,2 bx c 即一元二次方程 ax 0的根2(3) 当二次函数 y ax bx c2的图象与 x轴有两个交点时,则一元二次方程 y ax bx c有两个不2相 等的实 数根 ； 当二次 函数 y ax bx c的图 象与 x 轴有一 个交 点 时,则 一元二次 方程2 bx c 2ax 0有两个相等的实数

8、根；当二次函数 y ax bx c2 bx c元二次方程 ax 0 没有实数根的图象与 x轴没有交点时,则一12. 二次函数的应用：(1) 二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大 ( 小) 值。一般而言,最大 ( 小) 值会在顶点处取得,达到最大 ( 小) 值时的 x 即为顶点横坐标值, 最大 ( 小) 值也就是顶点纵坐标值。(2) 二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大 ( 小) 值2附：将二次函数的一般式 y ax bx c2化为顶点式 y a x h k的方法：( 可用配方法和公式法 )典型例题精讲：某商人如果将进