3.2.1函数的单调性【解析版】

1、3.2.1函数的单调性1如图是函数yf(x)的图象,则此函数的单调递减区间的个数是()A1B2C3 D4解析：选B.由图象,可知函数yf(x)的单调递减区间有2个故选B.2下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是()Ay3xByx21Cy Dy|x1|解析：选B.y3x,y,y|x1|在(0,2)上都是减函数,只有yx21在(0,2)上是增函数3若函数f(x)在R上是减函数,则下列关系式一定成立的是()Af(a)f(2a) Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a) Df(a21)a2,所以f(a21)f(a2)故选D.4下列说法中正确的有()若x1,x2I,当x1x2时,f(x1)f(x2

2、),则yf(x)在I上是增函数；函数yx2在R上是增函数；函数y在定义域上是增函数；函数y的单调递减区间是(,0)(0,)A0个 B1个C2个 D3个解析：函数单调性的定义中的x1,x2是任意的,强调的是任意,不对；yx2,当x0时是增函数,当x0时是减函数,从而yx2在其整个定义域上不具有单调性；y在整个定义域内不是单调递增函数如3f(5)；y的单调递减区间不是(,0)(0,),而是(,0)和(0,),注意写法5函数yx26x的减区间是()A(,2B2,)C3,) D(,3解析：选D.yx26x(x3)29,故减区间为(,36设(a,b),(c,d)都是f(x)的单调增区间,且x1(a,b)

3、,x2(c,d),x1x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系为()Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) D不能确定解析：选D.根据函数单调性的定义知,所取两个自变量必须是同一单调区间内的值时,才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小,而本题中的x1,x2不在同一单调区间内,故f(x1)与f(x2)的大小不能确定7. 已知函数yax和y在(0,)上都是减函数,则函数f(x)bxa在R上是()A减函数且f(0)0 B增函数且f(0)0 D增函数且f(0)0解析：选A.因为yax和y在(0,)上都是减函数,所以a0,b0,f(x)bxa为减函数且f(0)a0时,f(x)图象的开口向上,

4、不符合题意；当af(0) Bf(x2)f(0)Cf(3a1)f(2a)故选D11. 若f(x)在R上是单调递减的,且f(x2)3,解得x5.参考答案：(5,)12已知函数f(x)是(,)上的减函数,则实数a的取值范围是 .解析：选A.当x0时,函数f(x)x2ax1是减函数,解得a0,当x0时,函数f(x)x3a是减函数,分段点0处的值应满足13a,解得a,所以0a.13如果二次函数f(x)x2(a1)x5在区间上是增函数,则实数a的取值范围为_解析：因为二次函数f(x)x2(a1)x5的图象的对称轴为直线x,又函数f(x)在区间上是增函数,所以,解得a2.参考答案：(,214已知函数f(x)

5、在R上是减函数,A(0,2),B(3,2)是其图象上的两点,那么不等式2f(x)2的解集为_解析：因为A(0,2),B(3,2)在函数yf(x)的图象上,所以f(0)2,f(3)2,故2f(x)2可化为f(0)f(x)f(3),又f(x)在R上是减函数,因此3x0. 参考答案：(3,0)15. 已知函数f(x)2x2mx1在区间1,4上是单调函数,则实数m的取值范围是 .解析：二次函数f(x)的图象的对称轴是直线x.因为二次函数在对称轴的两侧的单调性相反,即(1,4),所以1或4,即m4或m16.16.作出函数f(x)的图象,并指出函数的单调区间解：f(x)的图象如图所示,由图象可知,函数的单

6、调递减区间为(,1和(1,2；单调递增区间为(2,)17. 证明函数f(x)x在(2,)上是增函数证明:x1,x2(2,),且x1x2,则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).因为2x1x2,所以x1x20,x1x24,x1x240,所以f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)x在(2,)上是增函数18已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域；(2)证明函数f(x)在1,)上是增函数解：(1)由题意知x10,即x1.所以f(x)的定义域为(,1)(1,)(2)证明：x1,x21,),且x1x2,则f(x2)f(x1).因为x10.又因为x1,x21,),所以x210,x110.所以f(x2)f(x1)0,所以f(x2)f(x1)所以函数f(x)在1,)上是增函数19.已知定义在区间(0,)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2),且当x1时,f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1,解不等式f(|x|)0,代入得f(1)f(x1)f(x1)0.故f(1)0.(2)任取x1,x2(0,),且x1x2,则1,由于当x1时,f(x)0.所以f0,即f(x1)f(x2)0.因此f(x1)f(x2)故函数f(x)在区间(0,)上是单调递