D115对坐标曲面积分31610PPT学习教案

1、会计学1D115对坐标曲面积分对坐标曲面积分31610其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,)(yxSSyxS)(侧的规定表示 :其面元在 xOy 面上的投影记为,0)(yxyxS)(的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)( ,)(第1页/共29页1. 引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量 . S分析分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量法向量: 流速为常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos

2、,cos,(cosnvcosvS nvSnv第2页/共29页用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS对稳定流动的不可压缩流体的速度场),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 进行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin设, 则 第3页/共29页设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(

3、分,yxRxzQzyPdddddd记作P, Q, R 叫做被积函数被积函数; 叫做积分曲面积分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积第4页/共29页引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为zyPddxzQdd称为Q 在有向曲面 上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;yxRdd称为R 在有向曲面 上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面 上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;yxRxzQzyPdddddd若记 正侧正侧的单

4、位法向量为令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式第5页/共29页(1) 若,1kiiki 1之间无公共内点, 则i且(2) 用 表示 的反向曲面, 则SA dSASAddiSAdyxRxzQzyPddddddSnAdSA d第6页/共29页定理定理: 设光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上侧,),(zyxR是 上的连续函数, 则yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd证证:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yx

5、i)( 取上侧,),(iiiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(第7页/共29页 若,),( , ),(:zyDzyzyxx则有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy则有xzzyxQdd),() , zxQxzD,(),(xzyxzdd(前正后负)(右正左负)说明说明:如果积分曲面 取下侧, 则yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd第8页/共29页yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原点为中心, 边长为

6、a 的正立方体的整个表面的外侧.解解: 利用对称性.原式yxxzdd)(3 的顶部 ),(:2221aaayxz取上侧 的底部 ),(:2222aaayxz取下侧1dd)(3yxxzyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd333axzyO第9页/共29页解解: 把 分为上下两部分2211:yxz根据对称性0ddyxxyz 思考思考: 下述解法是否正确:,ddyxzyx其中 为球面2x外侧在第一和第八卦限部分. zyx1O12yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy第10页/共29页zyx1O12yxDyxDyxyxyxd

7、d 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr第11页/共29页第12页/共29页( , , )d d0R x y zxy如果曲面S关于XY 平面对称，被积函数关于Z 为奇函数奇函数则1( , , )d d2( , , )d dR x y zxyR x y zxy类似可得zyzyxPdd),(xzzyxQdd),(轮换对称性轮换对称性第13页/共29页D0,),(),(1xDyxyxDDDyxfyxfdyxfyxfyxfdyxf1),(),

8、(),(2),(),(0),(时当时当第14页/共29页上Szzyx2cosdd下Szzyx2cosdd1222zyx的外侧 , 计算SxxzyI2cosdd2解解: 利用轮换对称性, 有Sxxzy2cosdd2SSzyxyxz22cosddcosddSzzyxI2cosdd102221cos1drrrr102221cos1d4rr1tan4yxz2cosddzzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx20d220第15页/共29页ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0li

9、m0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻画第16页/共29页yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos第17页/共29页yxz111,1:22yxz是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n第18页/共29页在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧为平面为平面为连续函数为连续函数其中其中计算计算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdz

10、dxyzyxfdydzxzyxfI例例5xyoz111 解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系,1 , 1, 1 n的法向量为的法向量为.31cos,31cos,31cos 第19页/共29页dSzzyxfyzyxfxzyxfI),(31),(231),(31 dSzyx)(31 xyDdxdy3131.21 利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系d dd dd dcoscoscosdP yzQ zxR xyPQRS得得第20页/共29页定义定义:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10

11、yxiiiiSR),(1. 两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系xziiiiSQ),( 第21页/共29页yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd联系联系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思考思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾 ?两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与第22页/共29页面积分第一类 (对面积)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.

12、转化第23页/共29页yxDyxyxzz),( , ),(:时，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上侧取“+”, 下侧取“”)类似可考虑在 yOz 面及 zOx 面上的二重积分转化公式 .第24页/共29页1. P227 题2提示提示: 设,),( ,0:yxDyxz则 取上侧时,yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(0 取下侧时,yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(02. P244 题 13. P227 题3(3)第25页/共29页,),(Czyxf是平面1zyx在第四卦限部分的上侧 , 计算zyxzyxfIdd),(xzyzyxfdd),(2yxzzyxfdd),(提示提示:求出 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分作业作业 P227 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2)SzyxId)(31Sd31yxxd3d01103121第六节 第26页/共29页,ddddddzyxyxzxzyI1:222222czbyax取外侧 .解解:zyxddy