圆锥曲线存在性问题

1、圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素(点，线，图形或是参数)存在，并用代数形式进行表示。 再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替(1)点：坐标 x0,y0(2)直线：斜截式或点斜式(通常以斜率为未知量)(3)曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧:(1)特殊值(点)法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。(2)核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要

2、素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。(3)核心变量的求法:直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程(组),运用方程思想求解。二、典型例题:例1:已知椭圆x y2、. 3c :一2- 1 a b 0的离心率为 ,过右焦点f的直线l与c相父a b3于a,b两点，当l的斜率为1时，坐标原点 。至m的距离为 2成立？若存(1)求a, b的值(2) c上是否存在点p ,使得当l绕f旋转到某一位置时，有在，求出所有的 p的坐标和l的方程，若不存在，说明理由解：（1） e

3、 c a: b: c 73:收:1 3、.3c, bj2c,依题意可得:c,0doc2解得:、.3,b、.2椭圆方程为:2 y2设p xo,yx/ ,bx2,y2当l斜率存在时，设xox1x2联立直线与椭圆方程:3k22 x2 6k2xxi6k2x223k 26k23k2 2,6k23k2 2_4- 272 k 48ky。 必y2x23k2yiy24k23k2 224k2 6 3k2当 k -.2 时，l :k x 13y2消去6y 可得：2x2 3k2216,整理可得:y2 kx1x22k6k33k22k因为p在椭圆上4k3k2 2-2-6 3k 2-2_224 k 3k3k2,2,2,2

4、时，l：y3 222, 2当斜率不存在时，可知2.3 1,一 ,b31,2.32,0不在椭圆上综上所述：l:y 2 x 122例2：过椭圆：二y1 aa2 b2焦点，已知abb的周长为8,3 ,23、2,p, j 或l：yt2x1,p -,222 2b 0的右焦点f2的直线交椭圆于 a,b两点，fi为其左椭圆的离心率为 2(1)求椭圆 的方程(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点p,q,且op oq?若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由b的周长可得:4a 8b2c2 1椭圆(2)假设满足条件的圆为，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内若

5、直线pq斜率存在，设pq:kx乂2,丫2i pq与圆相切de2 k2联立方程:xix20op oq即 x1x2yy20y kx m22x 4y 48km2-, x1x24k 1kx m kx2 mxx2y1y2k2 1 xx21 4k24m24k22k x1x2km x1x2 8kmxkm x1 x22x2m4m24m2 44k2 1k1 2 1km8km4k2 12, 25m 4k 44kf1c,0 和 f2 c,0(1)求椭圆c的方程(2)设椭圆c与x轴负半轴交点为 a,过点m 4,0作斜率为k k 0的直线l ,交椭圆c于b,d两点(b在m,d之间)，n为bd中点，并设直线 on的斜率为

6、k1证明：k k1为定值是否存在实数k ,使得f1n ad ?如果存在，求直线l的方程；如果不存在，请说明理由c 1-斛：(1)依题思可知：e 一 一可得：a:b:c 2: v3:1a 2 1_2_ 2_ 5m 4k 4 0对任意的m,k均成立将 m2 r2 k2 1 代入可得：5r2 k2 1 4 k2 1022_2 45r2 4 k2 1 0r2 5224存在符合条件的圆，其方程为：x2 y25当pq斜率不存在时，可知切线 pq为x-v5522 .5 2 .52.5 2)5右 pq:x 75 ,则 p , ,q ,op oq若 pq:x555552 j-0 pq:x 一而符合题意52 -7

7、5,同理可得也符合条件5一， ，、一22 4综上所述，圆的方程为： x2 y222例3:已知椭圆与ya b2522椭圆方程为：二-yr 1,代入0,j3可得:c 1 4c2 3c222椭圆方程为：x y- 143(2)证明：设b x1,y1d x2x2 ,线段bd的中点n x0,y0设直线l的方程为：y k x 4 ,联立方程:y k x 43x2 4y2 12化为:222_23 4k2 x2 32k2x 64k2 12 0由 0解得：k2 -4且为x2，*24k2 364k2 124k2 3xx2216k24k2 3yk x0 412k4k2 3y03x04k3k1kk4k假设存在实数k ,

8、使得f1nad ,则 kp1n kad12kvo 3 4k24kx0 116k21 4k22 i3 4k2丫2x22k x2 4x2 2kf1n4k k x2 421 4k2x2 2即 4k2x2 16k24k2 1 x2 8k2 2x222 8k22因为d在椭圆上，所以x22,2 ,矛盾所以不存在符合条件的直线 l22xy例4：设f为椭圆e : 21 a b 0的右焦点，点ab3p 1,3在椭圆e上，直线2l0：3x 4y 10 0与以原点为圆心，以椭圆e的长半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆e的方程(2)过点f的直线l与椭圆相交于 a,b两点，过点p且平彳t于ab的直线与椭圆交于另点q ,问

9、是否存在直线l ,使得四边形pabq的对角线互相平分？若存在，求出 l的方程;若不存在，说明理由解：(1) l与圆相切do l10 -2 r53将p 1,3代入椭圆方程22 y_ b21可得：b j32 x 椭圆方程为：一4(2)由椭圆方程可得:1.0设直线l :y k x 1pq:y联立直线l与椭圆方程:y3x2x 1 4y2消去y可得：4k2 312x2 8k2x 4k2 12 02 228k24 4k23 4k2 122144k2 144ab,1 k23x24y23a消去y可得:124k2 3 x28k2 12k x 4k2 12k 3 08k22212k4 4k_212k 3 4k12

10、3144 - k k4pq4k31k2144 1 k k24k2 3因为四边形pabq的对角线互相平分四边形pabq为平行四边形ab pq12 k2 124k2 33解得：k 4,1k2144 1 k k24k2存在直线l : 3x4y 3 0时，四边形pabq的对角线互相平分2x例5：椭圆c： ab21 a b 0的左右焦点分别为 f1，f2,右顶点为a, p为椭圆c1上任意一点，且pf1 pf2的最大值的取值范围是c2,3c2 ，其中 c 4ab2(1)求椭圆c1的离心率e的取值范围(2)设双曲线c2以椭圆c1的焦点为顶点，顶点为焦点,b是双曲线c2在第一象限上任意一点，当e取得最小值时，

11、试问是否存在常数使得baf1bra恒成立?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)设px,y , f1c,0,f2 c,0pf1ciipf- pf2x,c x, y22由王幺2, 2ab1可得:b2by x2代入可得: apf1 pf2b22a2c2xab2a,apfib2maxb2 3c22222c a c 3c2a2a2c24c2(2)12时，可得:2c,b , 3c2 x 双曲线方程为ca 2c,0 ,f1 c,0 ,设b xo, yo , xoo, yo o当ab x轴时,xo2c, yo3ctanbf1a3c 1bf1a因为baf1所以baf12 bfia考虑tantan 2

12、2,卜面证明2对任意b点均使得baf1bf1a成立baf1bf1a2tan tan2由双曲线方程2 y 3c22xoc2v。xotan2 bf1abaf1结论得证2时,例6：如图,yoxo 2cbf1abf1a2yo xo c2 xobf1abaf1,tanbf1akbf1y。xocyoxo c2yo3c22 yo x。 cc 2c xobfa恒成立yoxo c3x23c2x02yo2cxo4c22 xoc2c xoyo 2cxotan baf12当 1 a b o b2的离心率是遮 2过点p o,1的动直线l与椭圆相交于a,b两点，当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆e截得的线段长为2衣(1)

13、求椭圆e的方程|qa| paqb pb解：（1） e c 2l a 2a : b :c ,2:1:1(2)在平面直角坐标系 xoy中，是否存在与点 p不同的定点q,使得对于任意直线1,恒成立？若存在，求出点 q的坐标；若不存在，请说明理由22椭圆方程为2t l 12b2 b2由直线1被椭圆e截得的线段长为2及椭圆的对称性可得: 点72,1在椭圆上a2 422x y 椭圆方程为42(2)当1与x轴平行时，由对称性可得:pa lpb网1paqb pb1 即 qa qbq在ab的中垂线上，即q位于y轴上，设q 0,y0当1与x轴垂直时，则a 0,72 , b 0,庭pa & 1, pb & 1 qa

14、yo v2|, qb y0 v2|qa| i paqb pb11i p,q不重合q 0,2卜面判断q 0,2v。y。22 1-4平可解得 22 1yo2能否对任意直线均成立若直线1的斜率存在，设1 : y kxa x1,v1 ,b x2, v2联立方程可得:x2 2y2 4 y kx 1221 2k2 x24kx 2 0qapaqbpb可想到角平分线公式，即只需证明qp平分bqa只需证明kqakqbkqakqb0a xi，y1，b %，丫2kqay12x1y22x2kqakqby12v22x2x2 y12x1y22x2y1x1y2 2 x1x2x1x2因为ax1,y1,b x2n2在直线kx

15、1 上,y1v2kx 1代入可得:kx2 1kqax2 kxi 1x1 kx,x22 kxix2x1x2联立方程可得:2y2kx 1x24k1 2k2，x1x2x1x2x1x2221 2k2 x24kxkqa2k-2-1 2k221 2k2221 2k24koe 0kqa0成立qp平分bqa由角平分线公式可得:qaqbpapb2 x例7:椭圆c : 2 ay2b21 a b 0的上顶点为ab是c上的一点，以ap为 3直径的圆经过椭圆c的右焦点f(1)求椭圆c的方程(2)动直线l与椭圆c有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1?若存在，求出这两个定点的坐标;

16、如果不存在，请说明理由解：由椭圆可知：a 0,b ,f c,0ap为直径的圆经过 ffa fp 0 faifa fpt4 bc,b ,fp c-33b24b2- c33, 4b,，、- r由p 4,b在椭圆上，代入椭圆方程可得:3 32 4b2c c33222b c a2x 2椭圆方程为一 y2 12(2)假设存在x轴上两定点 m11,0 ,m22,0 ，dm1 lk 1 mldm1 l dm2 l设直线l : y kx m所以依题意:, 2.2k 1 2 km 12 mk2 1因为直线l与椭圆相切，联立方程:y kx m x2 2y2 22k2 1 x2 4kmx 2m2 2 0由直线l与椭

17、圆相切可知2224km 4 2k2 1 2m2 20化简可得：m2 2k2 1,代入可得:k2 1 2 km 1k2 1k2 1 2 km 12 2k2 1 k2 1k21 2 1km0,依题意可得：无论 k,m为何值，等式均成立所以存在两定点:m11.0,m2 1,0例8:已知椭圆c1 ：x24y21的左右焦点分别为 f1,f2,点p是c1上任意一点，o是坐标原点,pf1 pf2 ,设点q的轨迹为c2(1)求点q的轨迹c2的方程(2)若点t满足：ot mnon ,其中m ,n是c2上的点，且直线om ,on的1斜率n积等于一，是否存在两定点,4标；若不存在，请说明理由使得ta tb为定值？若

18、若存在,求出定点a,b的坐(1)设点q的坐标为x, y ,点p的坐标为xo,yo ,-2,2/则 x。4y。1由椭圆方程可得：f1.3万，.3，f2 -2q；oq pf? pf2且pf1,32xo,3-xo, yo22xo, 2 y02x。2 y。xoy。x2代入到y222一xo 4yo 1 可得:y2 1(2)设点tx1,y1 ,nonx2,y2x,yx1 x2,y y22 xx2,y2x 2x2 x1y 2y2 v114设直线om ,on的斜率分别为kom ,kon ,由已知可得：komkony yx2x1x1x24y1y2考虑x24y22x2xiyi2xi4yj2x24y24x1x2 1

19、6yly2是c2上的点2xi2x24yj4y；22x 4y 4 4 420,、一 x2即t的轨迹方程为202 y51,由定义可知,t到椭圆201焦点的距离和为定值a, b为椭圆的焦点,15,0 , b .15,0所以存在定点a,b2 x例9:椭圆e :三 a2 y b2b 0的焦点到直线x3y100的距离为，离心率为52 2px p0的焦点与椭圆e的焦点重合，斜率为k的直线l过g的焦点与e交于a,b ,与g交于c,d(1)求椭圆e及抛物线g的方程 -1(2)是否存在常数，使得 abcd为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)设e,g的公共焦点为f c,0dfc 102e: 52

20、.5y2 1c21y2 8x3(2)设直线l : yk x 2 , a，b &,y2 ,c x3,y3 ,d 刈芈与椭圆联立方程:y k x 222x 5y 55k2 1 x2 20k2x 20k2 5 020k2 5 1 5k2直线与抛物线联立方程：4k2 8x3 x4-k_1_ 1ab| cd- 2 5y k x 2y2 8x:cd是焦点弦5k2 k2k2 18 k2 1,2 22k x 4k 8 xcd x3 x4 44 20k2 _5_k28 5 k2 14k2 08 k2 1k4205 k28 5 k2 1若1 ab-一为常数，则20cd16.55例10：如图，在平面直角坐标系2 x

21、 xoy中，椭圆c :一 a2l 1 a ab直线l与x轴交于点e ,与椭圆c交于a,b两点，当直线,2 6右焦点时，弦ab的长为公旧3(1)求椭圆c的方程1(2)是否存在点e ,使得ea2请求出点e的坐标，并求出该定值;l垂直于x轴且点e为椭圆c的12为定值？若存在，eb2若不存在，请说明理解：(1)依题意可得:a : b : c 3:1: 220k2xi x2-7t*x21 5k/r 2 2屈 k2 1ab 。1 k j x1 x24x1x2 厂-11 5k当l与x轴垂直且e为右焦点时， ab为通径ab2b22.6a 3a 、6,b,2xmy3（2）思路：本题若直接用用字母表示 a,e,b

22、坐标并表示 ea, eb ,则所求式子较为复杂,不易于计算定值与 e的坐标。因为e要满足所有直线，所以考虑先利用特殊情况求出及定值，再取判定（或证明）该点在其它直线中能否使得112 2为定值。ea2 eb2解：（2）假设存在点e,设exo,0若直线ab与x轴重合，则a、6,0 ,b ,6,0ea若直线x0志，ebebxo2x212ab与x轴垂直，则 a, b关于x轴对称x0,y ,b %, y ,其中 y 0 ,代入椭圆方程可得:eaeb2x22eaeb2 x032x22 x012262x02x02x0若存在点设 ab:xebe,则e.3,0.3,0xi,yi,b x2,y2c联立方程可得：3

23、y26,消去y可得:my3y2 63 y22 . 3my 3 0y1y22、3m2 , y1 y2m 332m2 3eaeaeb代入yiy22y12 y11 y2eb1-2a 2m1 y2eaeb所以eb若 e ,3,012d2m 1 y11-2d2m 1 y22y-2m 12y2yiy2-2- m22y1y22-1 y1y22,3mmty1y22、,3mm2 32为定值,综上所述：存在点 e三、历年好题精选1、已知中心在原点,-可得:3定值为21ea212m26 m2eb/3,0，使得工 ea焦点在坐标轴上的椭圆一 1离心率为一，过直线2(1)求椭圆e的方程xgx-2 a(3)eb2 m二

24、29 m一 2 一18m18 2229 m 1为定值2 y b20 过点 p j3,-2l :x 4上一点m引椭圆e的两条切线，切点分别是a,b2 x若在椭圆一2 a2 y b2y2y 1,求证：直线 b是否存在实数，使得1 a b 0上的任一点nxg,y。处的切线方程是ab恒过定点c ,并求出定点c的坐标acbcac bc恒成立？(点c为直线ab恒过的定点)，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 222、已知椭圆c:冬与 1a b 0的一个焦点与抛物线y2 4x的焦点重合， a b3 ，一 ,d 1,3是椭圆c上的一点2(1)求椭圆c的方程(2)设a,b分别是椭圆 c的左右顶点， p,q

25、是椭圆c上异于 a,b的两个动点，直线ap, aq的斜率之积为1 ,设apq与&bpq的面积分别为6,$2,请问：是否存在常数r，使得sis2恒成立？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由2213、已知椭圆 与与 1 a b 0经过点0,73 ,离心率为1 ,左，右焦点分别为a2 b22f1 c,0 和 f2 c,0(1)求椭圆c的方程(2)设椭圆c与x轴负半轴交点为 a,过点m 4,0作斜率为k k 0的直线l ,交椭圆c于b,d两点(b在m,d之间)，n为bd中点，并设直线 on的斜率为k1是否存在实数k ,使得证明：k k1为定值f1n ad ?如果存在，求直线l的方程；如果不存在，请

26、说明4、已知圆m : xj5之理由y2 36,定点n 75,0，点p为圆m上的动点，点q在np上，点g在mp上，且满足np 2nq,gq np 0(1)求点g的轨迹c的方程(2)过点2,0作直线l ,与曲线c交于a,b两点，o是坐标原点，设os oa ob是否存在这样的直线l ,使得四边形 oasb的对角线相等(即 os |ab ) ?若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由22x y5、(2014,福建)已知双曲线e:下 * 1 a 0,b 0的两条渐近线分别为l1：y 2x , a bl2: y 2x(1)求双曲线e的离心率(2)如图，o为坐标原点，动直线l分别交直线11,12于a,

27、b两点(a,b分别在第一、四象限)，且&oab的面积恒为8,试探究：是否存在总与直线一个公共点的双曲线 e?若存在，求出双曲线e的方程;说明理由习题答案：c 11、解析：（1） e a:b:c 2: v3 ：1a 23:椭圆过点p 73,2-37 -37 1,再由 a:b:c 2:j3:1 可解得：a 2,b j3 a 4b 22x y椭圆方程为： 143(2)设切点坐标为 a x1,y1 ,b x2,y2 ,直线上一点 m 4,t ,依题意可得:两条切线方程为:x1x y 133,由切线均过m可得：史134x1x2xy2y1x2物1433ax1,y1 ,b x2,y2 均在直线 x - y1

28、上3因为两点唯一确定一条直线ab : x -y 1 ,即过定点 3(3) ac bcac ex ty 1联立方程：33x2 4y2 126ty1 y2 仆，2，y1y212 t1,0 ,即点c的坐标为1,03cac 旧c jl|ac |bc| ac bc22t2 12 y2 6ty 27 027 一，、一一2 ,不妨仅 y10, 丫2012 t2匚 2t, 匚 -2m2,22 笃9 t.j2ac j x1 1y1 y1, bc x x2 1 yt3113113v2 y1_ac bc - t2 y1 y2,9 t2y1y2&/ 6t 21083 y 12 t212 t21199 t22799 t

29、212 t24” ”,使得ac bcac bc恒成立3.一 22、解析：(1)抛物线y 4x的焦点为1,0c 1工21依题意可知：a2 4b2a2 4,b2 3222a b c 122x y 椭圆方程为：143y9 t丁 y2_3_ j y2 y1 2j t2y1 y2i44t2 9 144 493(2)由(1)可得：a 2,0 ,b 2,0 ,若直线pq斜率存在设 pq : y kx mp xi,yi ,q x2,y2a到直线pq的距离d12k m1 k2b到直线pq的距离d22k m1 k21s 2s212联立方程:xix2kap kaqy y2x1216m2s2pqd1pq d2d1d2

30、2k m2k my kx 3x2 4 y8 km4k2y1x12kx1 mx2 212-,xix23x2y22kx2x1x216km 32k24k2 32k或m2k 时，pq: y3k k3、解：(1)4k28kmx4m2 12kx代入到显可得:s23 3s2,依题意可知:4 m24k2124y1y2x12x2(*)2k x1x2kmxix23m24k212k2x1x2_ 2_16k 16km4k2 324m, 一，代入到(*)可得:2kkm2k21-可得:2交点与a重合，不符题意a: b : c 2 : .3:12 x 椭圆方程为：4c2 y3 c21,代入0, j3可得：c 12 x 椭圆方程为：一4y k x 43x2 4y2 12 化为:,21由 0解得：k2 4证明：设b xi,y ,d x2,y2 ,线段bd的中点n x。2。设直线l的方程为：y k x 4 ,联立方程:222_23 4k216k d 1 4k221 4k2 x2 32k2x 64k2 12 032 k264k2 12x2,x1x274k 34k 3222b a c 4x1x216k24k2 3yok x0 412k4k2 3k1yoxo34k3k1kk4kkf1ny。xo 1假设存在实数k ,使得f1nad ,则kf1n kad112k3 4k24k