2019_2020学年高中数学第二章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教A版必修5

1、必修5 人教A版第二章数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质1 自主预习2互动探究 3课时作业自主预习学案2010年5月1日至10月31日，第41届世博会在中国上 举办，展会期间，人流如织，总参观人数超过7 000万，根据 关部门统计，某展馆7月上旬每天平均参观人数为20万人，在 面70天内，前40天每天增加0.5万人，后30天每天减少1万丿 问在这时间内，有多少天参观人数能达到30万人？这是与等差 列单调性有关的问题，让我们进一步认识等差数列的有关性质【1.等差数列令的一些简单性质对于任意正整数门、m都有anam=(nm)d. (2)对任意正整数p、q、厂、s,若p-q=r-s,贝U Hp

2、 + 3q = 3r-.特别地对任意正整数p、q、喏p+q=2厂，则劭+气= (3)对于任意非零常数b,若数列為成等差，曲為也成等差数列，且公差为九 .若即与切都是等差数列，c=an+bn, d cn, %都是等差数列 (5)等差数列即的等间隔的项按原顺序构成的 差数列.女口日1，為，日7，日3门一2，成等咅 2.等差数列的单调性等差数列%的公差为，则当d=0时，等差数列%是常数夕 差数列心门是单调递 减 数列;当0时，等差吻列3门是 列. 1.在等差数列如中,已知a4+a8=20,则日( ) A. 12B. 16 C 20 D. 24解析由等差数列的性质知，a2+a10=a4+ 2.已知等差

3、数列日中,日3=4,日6=8,贝！Ja A. 10 B. 12 C 14 D 16解析由等差数列的性质，得2a6=a3+a9, /.a9=2a6a3=164=12. 3.设数列%、都是等差数列，若可+Q=21,则a5+b5=（ a ） A. 35 B. 38 C 40 D 42解析I数歹!J%、切都是等差数歹！J,日14 =（日 1+&5）+（耳+5）= 2日 3 + 3 = 2（日3 + 4 + b5=42-（a1 + fe1）=42-7=35.鷺旱契養差第列阴若日208和日2 01提方程,0的两个根，则日2 003 +日2 017-5解析由题意得日2 008 +日2 012 = 5， Zv

4、viJaJ为等差数列，* 日2 OO3 +日2 017日2 008 +日2 012一铁隊洱為澆+十犷很鬻解析日4 +日7 +日10 = 3日7= 1 & 日7 = 6, +日=3日& = 27,為=9,公差d=aQa7=3,又ak=21,-:.ak=a7+(k-7)d, A21 =6+3(k7), Ak=12.互动探究学案命题方向1 等差数列通项公式的推广an=am + (nm)d的, 解法二：T 为等差数列，右耳门为等差数列，日15 = 8，日60 =解析解法一：设等差数列给的公差为乩。15=1 +14，。60=1+ 59,=64如 + 14=8ai15*U+59J=20，解得* 15如5=

5、d I + 74=曽+74 X *。30，。45，。60，。75 也为寺差数列.设其公差为，贝间5为首项，。60为第4项， 。60 =。15 + 3，即20 = 8 +3d,解得d=4. Q75=6o+d=20+4 = 24.解法三：。60=。15 + (6015)/。60_。15_ 460_15_1515 如5=。6()+(75 60)d=20+15 X= 24.点评1 因为円5和日60都可用日1和&表示，故 解岀d和d,进而求岀日75 2.因为即为等差数列,又序号15,30,45,60,列，所以根据等差数列的性质,a15,日30, % 也成等差数列. 3.解法二中公差曲旨的是数列日15,日

6、30，日45, 公差，与解法一和解法三中的公差不同，注堯规律总结 解答数列问题，读题、审题时一定要注黑 否具有某种关系（或规律），这种关系（或规律）往往就是应用性质跟踪练习1)等差数列%中，a2=3, a8=6,则务。= 解析解法一：设等差数列禺的公差为乩 血+=3由题意，得仁+7d=6.5 , 9 .010=。1+9=空+ _7解法二：设等差数列给的公差为仏_ _1盘_a2=6d=3,d_2*aio=a8+2d=6+2X =7命题方向2 运用等差数列性质纭+an=ap+aq（m. n、p、 =p+g）解题例题2石席緇議屈屮号要求通项公式，需要求出首项比及公7 日5 +日8 = 9和日3日5日

7、7= 21直接求解很困难，1 们转换思路.如果考虑到等差数列的性质，3 =2a5=a3+a7问题就好解了 又.日2 +日8 =日3 +日7 = 2日5解析+日5 +日8 = 9，日3日5日7= 21,屯+日7 = 2日5 =由、解得日3= 1，$7 = 7,或电=7, 3j 日3= 1, c/=2或3=7, d 一2.由日门=龟+（门一3）d,得日门=2门一7,或3门=2门+13.规律总结 解决本类问题一般有两种方汐 等差数列日门的性质：若m+n=p+q=2w, D ap+aq=2aw（m, n, p, q, ”都是正整数）;: 项公式转化为数列的首项与公差建立方程（组）跟踪练习2）在等差数列

8、%中，己知a7+a8=16,则（） 一 A. 12 B. 16 C. 20 D 24解析在等差数列日门中，日2+日13 =日7+日8-B.例题3命题方向3 等差数列的综合应用开期册 在力BC中，若 A B, C也成等差数利用等差中项先求角B再确定力、C的关系，判断I解析由4, B, C成等差数列，得2B=A + C, X A+B-71A3B=兀，J.B = yVlg(sinA), lg(sinB), lg(sinC)成等差数列,/ 21g(sinB) = lg(sinA) + lg(sinC),3即 sin2B = sirL4sinC,sirL4sinC=又 T cos(A + C) = co

9、sAcosCsinAsinC,cos(A C)=cosAcosC+ sinAsinC、sinAsinC=2 兀3ycos(A C)=.e 113+2Cos(A C)=. cos(A C) = 1.n7CVA CW(7i,兀)，.A C=0,即A = C=,.AB=C.故ABC为等边三角形.规律总结 审清题意，将文字语言翻译舉 言是一项重要的基本功.要注意有意识的加更（跟踪练习3若关于x的方程兀+。= 0和/一+/? = 0（工/?）的4个根可纟差数列，贝h+b的值为A.B.1124C.1324D.3172解析判断各个根对应数列的项数.因为每个方程的两个 故必有一个方程的根为扌和右不妨设方程%2

10、_无+ = 0的根为右3的首项，a为等差数列4项中的某一项，由x2-x+Z? = 0的两根和 差数列中的后3项中的两项，知只有扌为第4项，才能满足中间 件，所以四根的排列顺序为誇,言,扌,勺+方=扣齐誇 例题4已知等差数列%的首项为丙，公fy易;昆易错警示i hu n yi cuo jing shian = 26,日51 =54,该数列从第几项开始为错解。51=。11+40,54+2640=2. cinci j j + (n 11) = 2一48.由给三0,得2一4820，224即从第24项开始，各项为错解的原因是忽略了对“从第儿项开始为正数” t24时，此时勺4=0正解 。51=。11+40

11、， d-54+2640=2 Cln Cl + （斤一11) = 2一48.由0“刁0,得2一48$0,刁24显然当刁25时，a”0.即丿 各项为正数.警示解题时要加强对题中关键词的理解，扌 力；二是加强等价转化的训练，防止不等价奉Y学科核心養养:对称项的设法三个数或四个数成等差数列时，设未知量的衣 -(1)当等差数列%的项数门为奇数时，可设中I 再用公差为d向曲边分别设项：，a2d, a + c/,日+2c/,.-(2)当等差数列%的项数门为偶数时，可设中I、 d, a+d,再以公差为2d向两边分别设项： d, a+d, a+3d,这样可减少计算量.成等差数列的四个数之和为26,穿 个数之积为

12、40,求这四个数.已知四个数成等差数列，有多种设法,个数的和已知，常常设为33d，ad, a+c 简单.再通过联立方程组求解.解析设四个数分别为a3d, acl, a+ch a + 3d,贝U：J(q 3d) + (o d) + (a+) + (a + 3d) = 26 (aJ)(a+J)=40 133由，得亍代入，得土：四个数为2,5,8,11或11,8 1等差数列已门中，a6+ag=16,日4=仁则日11=() A. 64B. 30 C. 31D 15解析解法一：。9= 1612。 + 13d= 16I 1i + 3=lci ：d=2 解法二： 偽+a 115.、 =。1 +10= 15.

13、76+9=4+11,=16, Q11 15 2.在等差数列%中，日1 +日4+日7=58, a24则a3+a6+a9的借为（） A. 30 B. 27 C 24 D 21解析 设+為+日7 = 58, /?2 = 32 + 日5 += a3+a6+a9.因为%是等差数列，所以Q, i 等差数列，得所以b3=2b2b, 58=30,即电+日6+日9=30. 3.等差数列%是递增数列，若a2+a4=16, 贝!J通项耳门= .解析设公差为，=a 1 += 16、由Cl + Q5 = 16。1也5 = 28等差数列给是递增数列， Cl 2, Q5 = 14. 7a5a51 二= 43,；给=。1 +（7?_ l）d=2 + 3（_