第6讲函数的性质(一)

1、1234 理解函数的单调性及其几何意理解函数的单调性及其几何意义，掌握判断函数单调性的基本方义，掌握判断函数单调性的基本方法，并能利用函数的单调性解题，法，并能利用函数的单调性解题，掌握函数奇偶性的判定方法及图象掌握函数奇偶性的判定方法及图象特征，并能运用这些知识分析、解特征，并能运用这些知识分析、解决问题决问题.5 因为奇、偶函数的定义域关于因为奇、偶函数的定义域关于原点对称，所以原点对称，所以p+q=0.1.若偶函数若偶函数f(x)的定义域是的定义域是p，q，则，则p+q= .02.给出下面四个函数：给出下面四个函数：f(x)=x3; f(x)=sinx+tanx;f(x)=ax2+bx+

2、c(ab0)；f(x)=lg +x.其中是奇函数的有其中是奇函数的有( )A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个C11xx 利用定义判断奇偶性，易知利用定义判断奇偶性，易知是奇函数，选是奇函数，选C.63.下面四个命题：下面四个命题：偶函数的图象一定与偶函数的图象一定与y轴相交；轴相交；奇函数的图象一定过原点；奇函数的图象一定过原点；偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称；轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR).其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是( )AA.1 B.2 C.3 D.47 是错的，举反例：是错的，举反例：f(x

3、)=x-2是是偶函数，图象关于偶函数，图象关于y轴对称，但与轴对称，但与y轴轴没有交点没有交点;是错的是错的,举反例：举反例：f(x)= 是是奇函数奇函数,图象不过原点；是正确图象不过原点；是正确的的;是错的是错的,举反例举反例:f(x)=0，x-1,1既是奇函数又是偶函数，但是只要定既是奇函数又是偶函数，但是只要定义域不同义域不同,就是不同的函数就是不同的函数.1x85.(1)函数函数f(x)=2x2-3x+1的单调递增区间的单调递增区间是是 ； (2)函数函数f(x)=|2x2-3x+1|的单调递增区间的单调递增区间是是 ； (3)函数函数f(x)= 的单调递增区间的单调递增区间是是 .

4、4.(2010惠州模拟惠州模拟)给出下列四个函数：给出下列四个函数：f(x)=x+1;f(x)= ;f(x)=x2;f(x)=sinx. 其中在其中在(0,+)上是增函数的有上是增函数的有( )1x2231xxCA.0个个 B.个个 C.个个 D.个个1,+) ,+)3412 , 和和1,+)349(1)显然递增区间为显然递增区间为 ,+).(2)函数函数f(x)=|2x2-3x+1|的图象如图的图象如图,递递增区间是增区间是 , 和和1,+).(3)对于对于f(x)= ,定义域是定义域是1,+)(-, .利用复合函数的单利用复合函数的单调性知，递增区间是调性知，递增区间是1,+).2231x

5、x12341234101.函数的单调性及其几何意义函数的单调性及其几何意义 一般的，设函数一般的，设函数f(x)的定义域为的定义域为I: 如果对于定义域如果对于定义域I内某个区间内某个区间D上上的任意两个自变量的值的任意两个自变量的值x1、x2,当当x1x2时，时，(1)若都有若都有f(x1) f(x2),则称则称f(x)在区间在区间D上是增函数；上是增函数；(2)若都有若都有f(x1) f(x2)，则称，则称f(x)在区间在区间D上是上是减函数减函数.它的等价形式它的等价形式,即若即若x1、x2a,b,那么那么11(1) 0 f(x)在区间在区间a,b上是上是 ; 0 f(x)在区间在区间a

6、,b上是增函数；上是增函数；(x1-x2)f(x1)-f(x2)0 f(x)在区间在区间a,b上是减函数上是减函数.1212()f xf xxx1212()f xf xxx增函数增函数减函数减函数两点的连线斜率都大于（或小于）零两点的连线斜率都大于（或小于）零增（或减）函数图象上任意增（或减）函数图象上任意122.单调函数及单调区间单调函数及单调区间 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数(或或减函数减函数),我们就说我们就说f(x)在这个区间上具有严格在这个区间上具有严格的单调性的单调性,区间区间D叫做叫做f(x)的增区间的增区间(或减区间或减区间),统称为单调区间统

7、称为单调区间.3.复合函数的单调性复合函数的单调性 复合函数复合函数y=fg(x)由内、外两层由内、外两层(分别分别是是u=g(x)和和y=f(u)函数构成，其单调性可按函数构成，其单调性可按 的原则进行判断，即内、外两的原则进行判断，即内、外两层函数在公共定义域上，若同是增函数或同层函数在公共定义域上，若同是增函数或同是减函数，则是减函数，则fg(x)为增函数；若是一增为增函数；若是一增一减，则一减，则fg(x)为减函数为减函数.同增异减同增异减134.函数奇偶性函数奇偶性 一般的，如果一般的，如果 . (1)都有都有 ,那么函数那么函数f(x)就叫做奇函数；就叫做奇函数；(2)都有都有 ,

8、那么那么函数函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数. 奇函数的图象是关于奇函数的图象是关于 成成 对对称的图形称的图形.若奇函数的定义域含有数若奇函数的定义域含有数0,则必则必有有 ;偶函数的图象是关于偶函数的图象是关于 成成 对称的图形对称的图形.偶函数对定义域内的任偶函数对定义域内的任意意x的值，则必有的值，则必有 .对于函数对于函数f(x)的定义域的定义域内任意一个内任意一个xf(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)原点原点11中心中心f(0)=0y轴轴轴轴f(-x)=f(x)=f(|x|)1213141514 定义域在数轴上关于原点对称是函数定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇

9、函数或偶函数的为奇函数或偶函数的 条件条件;在在定义域的公共部分内，当定义域的公共部分内，当f(x),g(x)均为奇函均为奇函数时，有数时，有f(x)g(x)是奇函数；是奇函数；f(x)g(x)是偶是偶函数函数.当当f(x),g(x)均为偶函数时，有均为偶函数时，有f(x)g(x)是是 ;f(x)g(x)是是 .161718必要不充分必要不充分偶函数偶函数偶函数偶函数15 ;增函数；减函数；增增函数；减函数；增（或减）函数图象上任意两点的连线（或减）函数图象上任意两点的连线斜率都大于（或小于）零；同增异斜率都大于（或小于）零；同增异减；对于函数减；对于函数f(x)的定义域内任意的定义域内任意一

10、个一个x;f(-x)=-f(x);f(-x)=f(x);原原点；中心；点；中心；f(0)=0; y轴；轴；轴；轴；f(-x)=f(x)=f(|x|); 必要不充分；偶函数；必要不充分；偶函数；偶函数偶函数111213141516171816 （1）函数函数f(x)=1-x+x-1的奇的奇偶性是偶性是 ；（2）已知函数已知函数f(x)=a- 是奇函是奇函数，则数，则a= .例例1非奇非偶函数非奇非偶函数12121x17 （1）因为因为f(x)的定义域是的定义域是1，不关于原点对称，不关于原点对称，所以所以f(x)为为非奇非偶函数非奇非偶函数.（2）（方法一）由（方法一）由f(x)=-f(-x)

11、=-(a- ) 2a= + =1 a= .（方法二）由（方法二）由f(0)=0 a= .121x121x12221xx121x1218 讨论函数讨论函数f(x)=x+ax(a0)的单调性的单调性.例例2 注意到该函数解析式的结构特注意到该函数解析式的结构特点是点是“增函数增函数+减函数减函数”的形式，不的形式，不能直接确定增减性，需一边分析、讨能直接确定增减性，需一边分析、讨论，一边论证，所以可考虑使用函数论，一边论证，所以可考虑使用函数单调性的定义或求导数的办法来判断单调性的定义或求导数的办法来判断.19（方法一）定义法（方法一）定义法.由于函数的定义域为由于函数的定义域为x|xR且且x0,

12、且且f(-x)=-f(x),所以函数所以函数f(x)为奇函数，因为奇函数，因此可先讨论此可先讨论f(x)在在(0,+)上的单调性上的单调性.设设0 x1x2，则则f(x1)-f(x2)=x1+ -x2-=(x1-x2)(1- ).当当0 x11,1ax2ax12ax xa12ax x20此时此时f(x1)-f(x2)0,即即f(x1)f(x2).所以所以f(x)在在(0, 上是减函数上是减函数.当当 x1x2时，恒有时，恒有0 1,此时此时f(x1)-f(x2)0,即即f(x1)f(x2),所以所以f(x)在在 ,+)上是增函数上是增函数.因为因为f(x)为奇函数，所以为奇函数，所以f(x)在

13、在(-,- 和和 ,+)上是增函数，在上是增函数，在- ,0)和和(0, 上是减函数上是减函数.aa12ax xaaaaa21(方法二方法二)导数法导数法.由于函数的定义域为由于函数的定义域为x|xR且且x0，且，且f(-x)=-f(x),所以函数所以函数f(x)为奇函数，因为奇函数，因此可先讨论此可先讨论f(x)在（在（0，+）上的单调）上的单调性性.对函数求导数对函数求导数,得得f (x)=1- .令令f (x)0，即，即1- 0，解得，解得x ，所以所以f(x)在在 ,+)上是增函数上是增函数.令令f (x)0，可得，可得00)的性质，只需保证的性质，只需保证 =4,即即2b=16,得得

14、b=4. 如果函数如果函数y=x+ 在在(0,4上是上是减函数，在减函数，在4,+)上是增函数上是增函数,求求实数实数b的值的值.2bxax2b24例例3 已知函数已知函数y=loga(2-ax)在在0,1上是关于上是关于x的减函数，则的减函数，则a的取值范围是的取值范围是( )BA.(0,1) B.(1,2)C.(0,2) D.2,+)25 (方法一方法一)注意到参数注意到参数a0,所以所以内层函数内层函数u=2-ax在在0,1上是减函数，上是减函数，根据复合函数单调性的判断方法，知根据复合函数单调性的判断方法，知外层函数外层函数y=logau必为增函数，因此必为增函数，因此a1.又内层函数

15、又内层函数u=2-ax在在0,1上必上必须保证函数值均大于须保证函数值均大于0，只需其最小，只需其最小值值uminu(1)=2-a0,从而从而a0在在0,1上恒成立，上恒成立，故只需故只需2-a0,所以所以a2.要使要使y=loga(2-ax)在在0,1上是关于上是关于x的减函数的减函数,必须必须y0,2-ax0,所以所以logae0,所以所以a1.综上可知综上可知,a(1,2)，故选，故选B.log(2)2aeaxaxlog2aaeax 函数单调性问题首先应考虑定函数单调性问题首先应考虑定义域；含参数函数的单调性问题中，义域；含参数函数的单调性问题中，定义域与参数是相互制约的；复合函定义域与

16、参数是相互制约的；复合函数的单调性可适当采用导数法来求数的单调性可适当采用导数法来求.27已知函数已知函数f(x)= (a).(1)若若a0,则则f(x)的定义域为的定义域为 ;(2)若若f(x)在在(0,1上是减函数，则实上是减函数，则实数数a的取值范围的取值范围是是 .31axa3aa(-,0)(1,328 (1)由由3-ax0且且a0，得，得x .(2)(方法一方法一)f（x）在）在(0,1上有意义，故上有意义，故3-ax在在(0,1上恒大于或等于上恒大于或等于0,只需只需3-a0，所，所以以a.(影响影响f(x)单调性的两大要素为：单调性的两大要素为：a-1的符号，的符号，即即a与与1

17、的大小；的大小；a与与0的大小的大小.故需分类讨故需分类讨论论)当当a0时，时，f(x)在在(0,1上为减函数；上为减函数；当当a=0时，时，f(x)在在(0,1上无单调性上无单调性;3a29当当0a1时，时，f(x)在在(0,1上为增函数；上为增函数；当当1a时，时，f(x)在在(0,1上为减函数上为减函数.综上可知，综上可知，a(-,0)(1,3.(方法二方法二)导数法导数法.由方法一知，由方法一知，a3.由由f (x)= = . 0,所以所以a1.故故a的取值范围为的取值范围为a|a0或或1a3.11a2 3aax2(1)aa13ax30已知定义域为已知定义域为R的函数的函数f(x)=

18、是奇函数是奇函数.(1)求求a,b的值；的值；(2)若对任意的若对任意的tR,不等式不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立，求恒成立，求k的取值范围的取值范围.122xxba31(1)因为因为f(x)是奇函数，所以是奇函数，所以f(0)=0,即即 =0，得，得b=1，所以，所以f(x)= .又由又由f(1)=-f(-1),知知 = ，得，得a=2.故故a=2,b=1.12ba11 22xxa1 24a1121a 本题主要考查函数的综合应用，利本题主要考查函数的综合应用，利用函数的奇偶性、单调性解决问题用函数的奇偶性、单调性解决问题.32(2)(方法一方法一)由由(1)知知f(x)=

19、= + ,易知易知f(x)在在(-,+)上为减函数上为减函数.又因为又因为f(x)是奇函数，从而不等式是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0等价于等价于f(t2-2t)k-2t2，即对一切，即对一切tR，3t2-2t-k0,从而判别式从而判别式=4+12k0 k- .故故k的取值范围为的取值范围为(-, ).131311 22xxa12121x33(方法二）由方法二）由(1)知知f(x)= .又由题设条件得又由题设条件得 + 0,即即(22t2-k+1+2)(1-2t2-2t)+(2t2-2t+1+2)(1-22t2-k)1.因为底数因为底数21,故故3t2-2t-k0.上式

20、对一切上式对一切tR均成立，均成立，从而判别式从而判别式=4+12k0 k .故故k的取值范围为的取值范围为(-, ).222211 222tttt222211 222tktk 131311 22xxa341.在研究函数的单调性时，要掌握并熟记在研究函数的单调性时，要掌握并熟记一次函数、反比例函数、二次函数、指一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，要注意单数函数、对数函数的单调性，要注意单调区间是定义域的子集调区间是定义域的子集.2.函数的单调性的证明方法：定义证明函数的单调性的证明方法：定义证明法；导数证明法法；导数证明法.3.判断函数的单调性的方法：观察法；判断函数的

21、单调性的方法：观察法；图象法；定义法；复合函数法；图象法；定义法；复合函数法；导数法导数法.354.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反函数在对称区间上的单调性相反,且且f(x)=f(-x)=f(|x|).5.函数的奇偶性、周期性是在整个定义域函数的奇偶性、周期性是在整个定义域内讨论函数的整体性质，要正确理解奇内讨论函数的整体性质，要正确理解奇函数与偶函数、周期函数的定义，必须函数与偶函数、周期函数的定义，必须注意以下几点：注意以下几点：(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称，奇、偶函数的定义域关于原点对称，周期函数的定义域是无界的；周期函数的定义域是无界的；36(2)f(-x)=-f(x 或或f(-x)=f(x)和和f(x+T)=f(x)(T0)是定义域上的恒