中值定理的推广-数学系毕业论文

1、丽水学院 毕业设计（论文）（2009届）题 目 中值定理的推广 指导教师 程丽 院 系 数理学院数学系 班 级 学 号 姓 名 二九 年 四 月 十 日总目录一、 毕业论文（设计）任务书 3二、 毕业论文（设计）开题报告 6三、 毕业论文（设计）文献综述 四、 毕业论文（设计）正文目录五、 毕业论文（设计）正文 六、 外文文献翻译（附原文）七、 毕业论文（设计）中期检查表八、 毕业论文（设计）指导记录九、 毕业论文（设计）答辩资格审查表十、 毕业论文（设计）成绩评分表十一、 毕业论文（设计）答辩成绩评分表十二、 毕业论文（设计）所有参考文献丽 水 学 院毕业设计（论文）任务书（2009届）题

2、目 中值定理的推广 指导教师 程 丽 院 系 数理学院数学系 专 业 数学与应用数学 班 级 学 号 姓 名 2008 年 9 月 15 日至 2009 年 4 月 10 日共 28 周一、 论文（设计）方向：数学教育与应用数学二、 主要参考资料：1小堀宪. 数学史M .东京：朝仓书店，1956.2陈宁. 微分中值定理的历史演变.大学数学，2003，(4)：96-99.3 梁宗巨. 数学家传略辞典M .济南：山东教育出版社，1989 .4华东师范大学数学系. 数学分析上册M.北京：高等教育出版社，2004：87-88，119-125.5杨万必，龙鸣. 微分中值定理的推广J.湖北民族学院学报，2

3、005，23（3）：31-32.6陈清明. Rolle中值定理的推广J.西南师范大学学报，2007，32(1)：140-142.7李艳敏，叶佰英. 关于微分中值定理的两点思考J.高等数学研究，2005，9（5），50-51.8严子谦，尹景学，张然. 数学分析第一册M.北京：高等教育出版社，2004：136-137.9路世英. 关于微分中值定理中间值的讨论J.吉林省教育学院学报，2006，7(22)：61-62.10甘小冰，陈之兵.CAUCHY微分中值定理的推广J.数学实践与认识 2005.5第35卷第5期：233-237 .11李仕琼，梁波. 积分第一中值定理的证明及推广J.重庆文理学院学报（

4、自然科学版），2006，8（3）：15-16.12吴慧伶. 罗尔中值定理的推广J.新乡师范高等专科学校学报，2006，9（5）：21-22.13胡付高. Dini导数意义下的微分中值定理及其应用J.孝感学院学报,2001，21(3):10-11.14Mukherjea A. Real and Functional AnalysisM . New Y ork :Mc graw - Hill ,1978.15陈玉会. 对称导数的新形式微分中值定理J.淮阴工学院学报，2007，16(3)：19-20.16 汪林. 数学分析问题研究与评注M. 北京: 科学出版社, 1995 .三、 课题的内容和任务要

5、求：1. 内容：1微分中值定理产生的背景及国内外研究现状；2导数的定义与几何意义；3中值定理及其推广定理； 4比较柯西中值定理与积分第一中值定理的；5 Dini导数及其微分中值定理；6 对称导数的定义及其微分中值定理。2. 任务要求：（1） 通过大量的查阅资料，分类整理，加上自己的观点和独到的见解，使得论文具备理论性、科学性、应用性和创新性。 （2） 论点明确、论据充足、论证严密、条理清楚、结构合理、文字简洁流畅。 （3） 严格按照论文撰写格式和要求进行写作。 （4） 论文字数8000字以上。 （5） 严格按照毕业论文写作计划和进度，完成任务。 （6） 广泛查阅和借鉴资料，独立完成毕业论文任务

6、，严禁抄袭拼凑。四、 毕业论文（设计）进度安排：起 讫 日 期工 作 内 容备 注08年91508年930查阅资料，选题，编写毕业论文（设计）任务书；08年1011231做好毕业设计（论文）的选题，编写开题报告书；09年11 38查阅文献，撰写文献综述；撰写、完成论文初稿；09年39 410根据指导教师意见，修改论文；论文定稿、打印、送审。学生（签名）： 08年 9 月 26 日指导教师（签名）： 08年 9 月 26 日系毕业设计（论文）工作指导小组意见：组长（签名） 年 月 日 二级学院（直属系）毕业论文工作领导小组审核意见：主管领导（签名） 年 月 日 注：1.指导教师填写，任务下达人为

7、指导教师，指导教师和接受任务的学生均应签字。2.此任务书最迟必须在学生毕业设计（论文）开始前下达给学生。丽水学院毕业设计（论文）开 题 报 告 （2009届）题 目 中值定理的推广 指导教师 程丽 院 系 数理学院 班 级 学 号 姓 名 二八年 十二月十五日一、选题的背景和意义人们对微分中值定理的认识可以追溯到公元前古希腊时代。古希腊数学家在几何研究中，得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”，这正是拉格朗日定理的特殊情况。希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积。人们对中值定理的研究,大约经历了二百多年的时间。从费马定理开始，经历了从特殊到一

8、般，从直观到抽象，从强条件到到弱条件的发展阶段。微分中值定理的形成历史和发展过程深刻地揭示了数学发展是一个推陈出新，吐故纳新的过程,是一些有力工具和更简单方法的发现与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程, 是一个由低级向高级发展过程，是分析、代数和几何统一的过程。二、国内外研究现状、发展动态近年来，国内外专家学者对微积分学中值定理的研究兴趣与日俱增，他们多方位、多角度、多途径地对微积分学中值定理的条件、结论进行了广泛的拓展，取得了一系列研究成果。这些研究，既丰富了微积分学中值定理的内容，又完善了微积分学中值定理的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了微积分学教学研究工作的开展，推动了课程

9、教学改革的深入进行。三、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点） 微分中值定理是微分学的重要定理，是应用导数研究函数性质的重要工具，是沟通函数及导数之间关系的桥梁，也是研究函数在某个区间内的整体性质的重要工具。就因为这样，很多专家学者对微积分学中值定理进行研究。在前人研究的基础上，本文首先介绍微分中值定理的产生背景以及国内外状况，然后从导数的定义出发来研究微分中值定理的一些相关的结论，包括罗尔中值定理、Lagrange中值定理以及积分第一中值定理的推广等，进一步讨论微分中值定理中值点的渐进性质以及其他一些相关定理，并特别针对Dini导数和对称导数给出的相关的微分中值定理的结论。以便我

10、们更好、更清楚的看到导数和微分之间的联系和区别，以及极限和连续。四、研究（工作）步骤、方法及措施（思路）（一） 研究方法：利用网络、书籍，杂志等渠道收集与中值定理问题相关的信息资料, 然后对资料加以整理分类，筛选出有用的信息。和老师同学进行讨论，运用已学的分析方法，对筛选出来的资料加以终结、归纳，为写正文作准备。（二）准备工作：中值定理的历史是渊源的，从古至今，人们从来没有停止过对微分中值定理的深入研究。每个人都会针对自己所需来研究微分中值定理的推广。在关于微分中值定理的推广的研究上，我采取了先对三个中值定理的定义了解的基础上，再针对三个定理的条件来研究它们，然后就所有可用资料来完成对这项研究

11、进行全面的认识而后集结成文。 这次研究资源的主要取向是图书馆藏书、网上的刊物及博硕士论文，通过对资料的整理、对知识点的理解、掌握，编写而成。主要思想是在对中值定理的理解基础上，讨论它们之间的关系，对中值定理的推广的分析来完成。五、毕业论文（设计）提纲1引言1.1 微分中值定理产生的背景1.2 国内外研究现状1.3 导数的定义 1.4 导数的几何意义2 中值定理及其推广定理 2.1 罗尔中值定理及其推广2.2 函数的极值点与稳定点2.3 Lagrange中值定理及其推广 2.4 柯西中值定理及其推广 3 比较柯西中值定理与积分第一中值定理的4 Dini导数4.1 Dini导数的定义及相关引理4.

12、2 Dini导数的微分中值定理 4.2.1 Dini导数的罗尔中值定理型4.2.2 Dini导数的Lagrange中值定理型4.2.3 Dini导数的柯西中值定理型5 对称导数 5.1 对称导数的定义5.2 对称导数的微分中值定理 5.2.1 对称导数的罗尔中值定理型5.2.2 对称导数的Lagrange中值定理型5.2.3 对称导数的柯西中值定理型六、主要参考文献1小堀宪. 数学史M .东京：朝仓书店，1956.2陈宁. 微分中值定理的历史演变.大学数学，2003，(4)：96-99.3 梁宗巨. 数学家传略辞典M .济南：山东教育出版社，1989 .4华东师范大学数学系. 数学分析上册M.

13、北京：高等教育出版社，2004：87-88，119-125.5杨万必，龙鸣. 微分中值定理的推广J.湖北民族学院学报，2005，23（3）：31-32.6陈清明. Rolle中值定理的推广J.西南师范大学学报，2007，32(1)：140-142.7李艳敏，叶佰英. 关于微分中值定理的两点思考J.高等数学研究，2005，9（5），50-51.8严子谦，尹景学，张然. 数学分析第一册M.北京：高等教育出版社，2004：136-137.9路世英. 关于微分中值定理中间值的讨论J.吉林省教育学院学报，2006，7(22)：61-62.10甘小冰，陈之兵.CAUCHY微分中值定理的推广J.数学实践与认

14、识 2005.5第35卷第5期：233-237 .11李仕琼，梁波. 积分第一中值定理的证明及推广J.重庆文理学院学报（自然科学版），2006，8（3）：15-16.12吴慧伶. 罗尔中值定理的推广J.新乡师范高等专科学校学报，2006，9（5）：21-22.13胡付高. Dini导数意义下的微分中值定理及其应用J.孝感学院学报,2001，21(3):10-11.14Mukherjea A. Real and Functional AnalysisM . New Y ork :Mc graw - Hill ,1978.15陈玉会. 对称导数的新形式微分中值定理J.淮阴工学院学报，2007，16

15、(3)：19-20.16 汪林. 数学分析问题研究与评注M. 北京: 科学出版社, 1995 .指导教师意见：签名： 08 年 12月 25日系毕业设计（论文）工作指导小组意见： 签名：年 月 日二级学院(直属系)毕业设计（论文）工作领导小组意见：签名：年 月 日毕业设计（论文）文献综述一、国内外状况微分中值定理是微分学的基本定理 ,是构成微分学基础理论的重要内容。近年来，国内外专家学者对微积分学中值定理的研究兴趣与日俱增，他们多方位、多角度、多途径地对微积分学中值定理的条件、结论进行了广泛的拓展，取得了一系列研究成果。这些研究，既丰富了微积分学中值定理的内容，又完善了微积分学中值定理的研究体

16、系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了微积分学教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。二、进展情况人们对中值定理的研究,大约经历了二百多年的时间。从费马定理开始,经历了从特殊到一般,从直观到抽象, 从强条件到到弱条件的发展阶段。 微分中值定理的形成历史和发展过程深刻地揭示了数学发展是一个推陈出新，吐故纳新的过程,是一些有力工具和更简单方法的发现与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程, 是一个由低级向高级发展过程，是分析、代数和几何统一的过程。2意大利卡瓦列里在(1653年)的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实:“曲线段上必有一点的

17、切线平行于曲线的弦”。1673年,著名法国数学家费马在中给出费马定理。1691年,法国数学家罗尔在一文中给出多项式形式的罗尔定理。1797年,法国数学家拉格朗日在一文中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明。对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著, (1823年), (1829年),以严格化为主要目标,对微分理论进行了重构。3三、研究方向微分中值定理是利用函数导数所具有的性质 (局部性质 )去研究该函数本身在区间上的性质 (整体性质 )的一个非常有利工具微分中值定理包括 Rolle中值定理、 Lagrange中值定理、 Cauchy中值定理 ,这

18、 3个定理的基本关系是前者是后者的特殊情况 ,后者是前者的一般形式。1 由于导数是微积分重要内容之一，是学好微积分的纽带。我从导数开始引入，从导数的定义出发来研究微分中值定理的一些相关的结论，包括罗尔中值定理、Lagrange中值定理以及积分第一中值定理的推广等，进一步讨论微分中值定理中值点的渐进性质以及其他一些相关定理，并特别针对Dini导数和对称导数给出的相关的微分中值定理的结论。以便我们更好、更清楚的看到导数和微分之间的联系和区别，以及极限和连续在数学中的崇高地位。三、存在问题罗尔中值定理作为微分中值定理之一，经常用来证明零值点的存在性、最值问题和其他中值定理。看了一些资料，他们把这些推

19、广大致可分为两类：一类是将闭区间推广为开区间或无穷区间；另一类则是把可微性概念加以拓宽或者是增加函数的个数，然后推广微分中值定理。6由于定理中的三个条件缺少任何一个 ,结论将不一定成立1。现将罗尔中值定理第二个条件放宽到有限点的导数为或。即：罗尔中值定理推广定理4 设函数在闭区间 a , b 上连续 ,在开区间 ( a , b) 上除有限个点的导数为或外 ,其他点的导数都存在 ,且,则至少存在一点,使得。函数的极值点与稳定点在解题过程中经常遇到，关于极值点与稳定点的关系是极值点必是稳定点，而函数的稳定点未必是它的极值点。从而给出极值的判别法，区分极值点与稳定点。在Lagrange中值定理及其推

20、广中，我并不是对定理进行推广，而是将定理运用到题目中去，可以更加清楚Lagrange中值定理的性质。同样地介绍柯西中值定理的推广，我觉得这个推广很实用，在数分中经常用到，即定理27 若函数满足下列条件：(i) 在闭区间上连续；(ii) 在开区间内存在二阶导数；(iii) 对任意，则在内存在唯一的，使得。比较柯西中值定理与积分第一中值定理的，对相应的柯西中值定理以及积分中值定理中的作平行的对比，罗尔中值定理和Lagrange中值都是对于一个函数而言的，而柯西中值定理以及推广的积分第一中值定理是对于两个函数而言的(这里主要针对教材上提出的上述定理)，从而定理的条件也有一定的不同，柯西中值定理要求不

21、同时为零，其得出的结论是存在，使得，而推广的积分第一中值定理的叙述如下：（推广的积分第一中值定理）8若函数满足：（1） 在上连续；（2） 在上不变号，则至少存在一点，使得.当时，为积分第一中值定理。可见在推广的积分第一中值定理中，其的积分可以提到外面来等于某一个的函数值，这样对于某些积分的估计是非常有帮助的，推广的积分第一中值定理的运用非常灵活，Dini导数和对称导数都是与导数有关的，而他们都对应存在相关的微分中值定理，有利于对微分中值定理的理解。四、参考依据1小堀宪数学史M东京： 朝仓书店，1956.2陈宁.微分中值定理的历史演变大学数学，2003，(4)：96-99.3 梁宗巨数学家传略辞

22、典M济南： 山东教育出版社，1989 .4华东师范大学数学系.数学分析上册M.北京：高等教育出版社，2004：87-88，119-125.5杨万必，龙鸣.微分中值定理的推广J.湖北民族学院学报，2005，23（3）：31-32.6陈清明. Rolle中值定理的推广J.西南师范大学学报，2007，32(1)：140-142.7李艳敏，叶佰英.关于微分中值定理的两点思考J.高等数学研究，2005，9（5），50-51.8严子谦，尹景学，张然.数学分析第一册M.北京：高等教育出版社，2004：136-137.9路世英. 关于微分中值定理中间值的讨论J.吉林省教育学院学报，2006，7(22)：61-

23、62.10甘小冰 陈之兵.CAUCHY微分中值定理的推广J.数学实践与认识 2005.5第35卷第5期：233-237 .11李仕琼，梁波.积分第一中值定理的证明及推广J.重庆文理学院学报（自然科学版），2006，8（3）：15-16.12吴慧伶.罗尔中值定理的推广J.新乡师范高等专科学校学报，2006，9（5）：21-22.13胡付高.Dini导数意义下的微分中值定理及其应用J.孝感学院学报,2001，21(3):10-11.14Mukherjea A. Real and Functional AnalysisM . New Y ork :Mc graw - Hill ,1978.15陈玉会

24、.对称导数的新形式微分中值定理J.淮阴工学院学报，2007，16(3)：19-20.16 汪林. 数学分析问题研究与评注M.北京: 科学出版社, 1995 .目 录摘要 16英文摘要 161 引言 17 1.1 微分中值定理产生的背景 171.2 国内外研究现状181.3 导数的定义 181.4 导数的几何意义182 中值定理及其推广定理 192.1 罗尔中值定理及其推广 192.2 函数的极值点与稳定点 212.3 Lagrange中值定理及其推广 23 2.4 柯西中值定理及其推广 243 比较柯西中值定理与积分第一中值定理的274 Dini导数 294.1 Dini导数的定义及相关引理2

25、94.2 Dini导数的微分中值定理30 4.2.1 Dini导数的罗尔中值定理型304.2.2 Dini导数的Lagrange中值定理型 304.2.3 Dini导数的柯西中值定理型315 对称导数31 5.1 对称导数的定义315.2 对称导数的微分中值定理31 5.2.1 对称导数的罗尔中值定理型 32 5.2.2 对称导数的Lagrange中值定理型33 5.2.3 对称导数的柯西中值定理型33参考文献 33微分中值定理的推广摘要：本文主要研究推广的微分中值定理，包括罗尔中值定理、Lagrange中值定理、柯西中值定理以及积分第一中值定理的推广，进一步讨论微分中值定理中值点的渐进性质，

26、特别针对Dini导数和对称导数给出的相关的微分中值定理。关键词：微分中值定理；推广；导数；中值点；渐进性质 Generalized Analysis Of Differential Mean Value Theorem LiShui University， collage of Math and Phys mathematics and applied mathematics: xiaomingInstructor teacher: Cheng LiAbstract: In this paper, Generalized Analysis of Differential Mean Value

27、Theorem is mainly studied, including the Theorem of Roll, Lagrange, Cauchy and First integral. The asymptotic behavior of “Interior point” on the Differential Mean Value Theorem is discussed further; Especially the Dini & symmetric derivative, the correlative conclusion of Dini & Symmetric Derivativ

28、e theorems are given.Keywords: Differential Mean Value Theorem; Generalize analysis; Derivative; Interior point; asymptotic behavior1 引言中值定理是微分学的主要定理。导数是微积分重要内容之一，是学好微积分的纽带。它们在理论和实践中都有着极其重要的作用，而它们的应用范围之广、价值之高也是有目共睹的。因此，在以后的数学发展史中导数和微分也一直是人们研究的重点，一些重大的理论成果给后续的研究打下了基础。在日渐深入的研究中，被发现的理论越来越多，研究的方向也越来越细。在

29、前人研究的基础上，本文首先介绍微分中值定理的产生背景以及国内外状况，然后从导数的定义出发来研究微分中值定理的一些相关的结论，包括罗尔中值定理、Lagrange中值定理以及积分第一中值定理的推广等，进一步讨论微分中值定理中值点的渐进性质以及其他一些相关定理，并特别针对Dini导数和对称导数给出的相关的微分中值定理的结论。以便我们更好、更清楚的看到导数和微分之间的联系和区别，以及极限和连续在数学中的崇高地位。1.1 微分中值定理产生的背景人们对微分中值定理的认识可以追溯到公元前古希腊时代。 古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”, 这正是拉格朗日

30、定理的特殊情况。希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论, 求出抛物弓形的面积1。人们对中值定理的研究, 大约经历了二百多年的时间。从费马定理开始,经历了从特殊到一般, 从直观到抽象,从强条件到到弱条件的发展阶段.微分中值定理的形成历史和发展过程深刻地揭示了数学发展是一个推陈出新、吐故纳新的过程,是一些有力工具和更简单方法的发现与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程,是一个由低级向高级发展过程， 是分析、代数和几何统一的过程。2意大利卡瓦列里在(1653年)的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实:“曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦”。1

31、673年, 著名法国数学家费马在中给出费马定理。1691年, 法国数学家罗尔在一文中给出多项式形式的罗尔定理。1797年, 法国数学家拉格朗日在一文中给出拉格朗日定理, 并给出最初的证明。对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西, 他是数学分析严格化运动的推动者, 他的三部巨著,(1823年), (1829年), 以严格化为主要目标, 对微分理论进行了重构。3 1.2 国内外研究现状、发展动态近年来，国内外专家学者对微积分学中值定理的研究兴趣与日俱增，他们多方位、多角度、多途径地对微积分学中值定理的条件、结论进行了广泛的拓展，取得了一系列研究成果。这些研究，既丰富了微积分学中值定理的内容，

32、又完善了微积分学中值定理的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了微积分学教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。1.3 导数的定义导数是微积分重要内容之一，是学好微积分的纽带。本文先介绍导数的有关概念和定义。导数的概念与物理上的直线运动的瞬时速度密切相关，下面我们以这个问题为背景引入导数的概念。设一质点作直线运动，其运动规律为，若为某一确定的时刻，为邻近于的时刻，则是质点在时段上的平均速度。若时平均速度的极限存在，则称极限为质点在时刻的瞬时速度。下面给出导数的定义定义1.1 设函数在点及其某个邻域内有定义，对应于自变量在的改变量，函数相应的改变量，如果当时，极限存在，则称函数

33、在点可导，并称此极限值为函数在点处的导数，记作。41.4 导数的几何意义函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程。具体求法分两步：(1) 求出函数在点处的导数，即曲线在点处的切线的斜率；(2) 在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为.特别地，如果曲线在点处的切线平行于轴，这时导数不存在.根据切线定义，可得切线方程为。4。2 中值定理及其推广定理 微分中值定理在应用导数来研究函数以及曲线的某些性态中具有十分重要的作用，应用这些定理可以解决一些实际问题。本节内容基于微分中值定理的基础，来做一些推广，以易于进一步理解微分中值定理。52.1 罗尔中值定

34、理及其推广(罗尔中值定理) 4 若函数满足如下条件：(i) 在闭区间上连续；(ii) 在开区间内可导；(iii) ，则在内至少存在一点，使得罗尔中值定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。4 定理中要求在有限开区间内可导，这一条件应该说比较强，若把定理的条件(ii)减弱为在开区间内处处左可导，我们自然会问，在内是否存在一点，使得？答案是否定的。例如设，显然在内处处左可导，但对任意的，都有。现在我利用左导数来推广罗尔中值定理，即定理1。定理1：(i) 在闭区间上连续；(ii) 在开区间内左可导；(iii) ，则存在，使得.证：因在上连

35、续，所以在上取到最大值M和最小值，若，则在上必为常数，结论显然成立；若，则因，使得最大值和最小值至少有一个在内某点处取得，设是的最小值点，于是 取，因在上连续，则存在，使为在上的最大值，从而注：事实上，若Rolle中值定理的条件满足，则，由定理1，存在，使得，如果，则结论显然成立，如果，则在 或上应用达布定理 ，存在，使得。定理26：(i) 在闭区间连续；(ii) 在内存在左导数，则存在，使得 证：作函数，对应用推广定理1即可得。罗尔中值定理是拉格朗日中值定理和柯西中值定理的特例，也是三个微分中值定理中条件最苛刻，结论最简单的。罗尔中值定理的逆定理似乎应该这样描述：设函数 在闭区间 a, b

36、上连续，在开区间( a, b)内可导，若在点处，有，则存在，使得。事实上，上述命题是不成立的。例如：考虑。显然， 在 - a, a 上连续，在 ( - a, a)内可导，但是不存在，使得 。因此罗尔中值定理的逆定理是不成立的。但是，可以在一定的附加条件下讨论微分中值定理的逆定理，即在具有严格单调导函数的连续光滑曲线上讨论洛尔中值定理的“逆定理”。 6 罗尔中值定理作为微分中值定理之一，经常用来证明零值点的存在性、最值问题和其他中值定理。由于定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立8。现将第二个条件放宽到有限点的导数为或。这个推广已有，但我给出的证明方法我觉得更易懂。罗尔中值定理推广定理1

37、2 设函数在闭区间 a , b 上连续，在开区间 ( a , b) 上除有限个点的导数为或外，其他点的导数都存在，且，则至少存在一点，使得。证明 因为在 a , b 上连续，所以有最大值M与最小值M，现分两种情况来讨论。1) 若 m = M，则在 a , b 上必为常数，结论显然成立。2) 若 m M ，则因使得最大值 M与最小值 m至少有一个在 ( a ,b) 内某点处取得，从而是 的极值点。 下面证明极值点不可能在导数为或点取得。设的情况类似)，且(的情况类似)，即所以存在的邻域，当时，有。当时，有。当，；当，。 因而只能在导数不为或的点处上，那么在其他点上取得，又在其他点上导数存在，那么

38、由费马定理有。2.2 函数的极值点与稳定点 函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征。而在解题过程中往往会遇到一些问题涉及极值点的判定，它和稳定点之间又有什么关系呢？稳定点一定是极值点吗？本节内容来介绍一下所提的问题。定义2.1 5 若存在点的一个领域，使在中有 则称点为的一个极小点(极大点)，为的极小值(极大值)。极小点和极大点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值。注意，函数在上满足罗尔中值定理的三个条件，那么在内至少存在一点，使得.满足的点为稳定点(也称驻点)，显然，若可导，则极值点必是稳定点，但函数的稳定点未必是它的极值点，例如是的稳定点，但显然不是极值

39、点。 那么哪些稳定点为函数的极值点呢？下面给出判别法。引理 设函数在点连续，若存在，使当时，当时，则在点点取极大(极小)值。定理15 (极大值、极小值判别定理)设函数在点两次可导，且，则当时，在点取极小值；当时，在点取极大值。证：以的情形为例，以及极限的保号性，知存在，使得当时， 由此可见，当时，；而当 时，。按引理，在点取极小值。定理28 (极值点唯一判别定理)若函数满足如下条件：(i) 在闭区间上连续；(ii) 在开区间内二阶可导；(iii) ,(iv) 对任意，则存在唯一的，使得，即存在唯一的极值点。证：的存在性可以有罗尔中值定理保证，下证唯一性：假设同时存在，使得则在上满足罗尔中值得三

40、个条件，则，使得，这与已知条件矛盾，所以存在唯一的，使得，显然存在唯一的极值点。2.3 Lagrange中值定理及其推广(拉格朗日lagrange中值定理)若函数满足如下条件：(i) 在闭区间上连续；(ii) 在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得 显然，特别当时，本定理的结论即为罗尔定理的结论。这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形。拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线。5看清楚这点，可以用几何解释进行思考解题，例题如下：例：设是可微函数，导函数严格单调递增，若，试证：对一切，有（不得直接用凸函数的性质）。分析：任意

41、取一点，要证，如图作弦AC，BC. 图（1）应用Lagrange中值定理，使得导数分别等于AC，BC弦的斜率，但因严增，所以。这就得到（AC弦的斜率）（BC弦的斜率）：这便得到函数的不等式，注意到，移项即得2.4 柯西中值定理及其推广（柯西中值定理）若函数满足：(i) 在上连续；(ii) 在内可导；(iii)，则在内至少存在一点，使关于柯西中值定理我们有如下定理：定理19 若函数 在上满足柯西中值定理条件，函数在点存在阶导数，且,或，但，如柯西中值定理所取，则为证明此定理，先证明以下引理：引理：若函数在点存在阶导数,且，或，但（n2），则 证明：当n=1时，由导数定义得，得 = =，当n2时，

42、连续使用n-1次洛必达法则，得 =，再根据导数定义得:. 证毕。定理1的证明：考虑函数，根据柯西中值定理得，因为函数在 上符合引理条件，而又介于a和x之间，所以， 另一方面，根据洛必达法则，再根据引理，导数定义以及在a点连续(根据已知条件能够保证在a点连续且，得 由, 式，再考虑到得即 证毕。可见Lagrange中值定理柯西中值定理当时的特例。9在定理1中，令 ，可得以下推论：推论 若在上连续，在点存在阶导数，且或而，如Lagrange中值定理所取，则 。至此，对极限讨论已经结束，现讨论在一定条件下“中值点” 的唯一性：定理29 若函数满足下列条件：(i) 在闭区间上连续；(ii) 在开区间内

43、存在二阶导数；(iii) 对任意，则在内存在唯一的，使得证明：由Lagrange中值定理知，点是存在的，下面证明点的唯一性（反证法）假设存在，使，由于函数在区间上满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点，使，这与题设相矛盾，所以结论成立。 经过以上微分中值定理的叙述以及进一步的了解，我们可以得出罗尔中值定理，Lagrang中值定理，柯西中值定理三个定理的关系如下：三个定理中的条件都是充分但非必要。以Rolle定理为例，三个条件缺一不可。(1）不可导，不一定存在；(2）不连续，不一定存在；(3），不一定存在。“不一定存在”意味着一般情况如下：Rolle定理不再成立。但仍可知有的情形发生。如，x-1,

44、1不满足Rolle定理的任何条件，但存在无限多个(-1,1)，使得。（4）Lagrang定理中涉及的公式： 称为“中值公式”。这个定理也称为微分基本定理。中值公式有不同形式：（），(a,b)；（），01；（）， 01. 此处，中值公式对ab均成立。此时在a，b之间；（）、（）的好处在于无论a，b如何变化，易于控制。103比较柯西中值定理与积分第一中值定理的现对相应的柯西中值定理以及积分中值定理中的作平行的对比，罗尔中值定理和Lagrange中值都是对于一个函数而言的，而柯西中值定理以及推广的积分第一中值定理是对于两个函数而言的(这里主要针对教材上提出的上述定理)，从而定理的条件也有一定的不同，

45、柯西中值定理要求不同时为零，其得出的结论是存在，使得，而推广的积分第一中值定理的叙述如下：（推广的积分第一中值定理）11若函数满足：（1） 在上连续； （2） 在上不变号，则至少存在一点，使得.当时，为积分第一中值定理。可见在推广的积分第一中值定理中，其的积分可以提到外面来等于某一个的函数值，这样对于某些积分的估计是非常有帮助的，推广的积分第一中值定理的运用非常灵活，见例题。例：若，求证： 证明：记=，。根据推广的积分第一中值定理，而0.现考虑 ，且 ,则 .设，当时，有；.则有 .所以有 。证毕。4 Dini导数 本文在前面已经介绍了导数的概念，从而得出了很多结论，在这里将介绍一下与导数有关

46、的概念Dini导数。它的思路与导数大致相同，可推广其相应到中值定理。4.1 Dini导数的定义及相关引理定义1 设是有限闭区间，是实函数，如，我们称为函数在点的右上导数。类似地定义右下导数、左上导数、左下导数： 这些就是Dini导数，当然左上和左下导数需设函数在点的左领域。引理113 ，.由引理1知，对与可以转化为与的讨论，因此，下面各结论中关于与分别换成与后仍然成立。引理214 设是上的实值函数，存在，则有i)；ii).引理313 设函数在极值点处的Dini导数与均有界，则存在，使得。证：不妨设是极大值，存在，当时有：因此当时，有所以；同理可证；若，取，结论成立；若,令，则时，。4.2 Di

47、ni导数的微分中值定理4.2.1 Dini导数的罗尔中值定理型设函数在上连续，在内与均有界，且，则至少存在一点以及，使得。证：因为在上连续，所以存在最大值和最小值，则存在极值点不妨设为，根据引理3得证。134.2.2 Dini导数的Lagrange中值定理型设函数在上连续，在内与均有界，且，则至少存在一点以及，使得 证：作函数，由引理2可得，则满足Dini导数的罗尔中值定理型中所以条件，从而存在以及，使，整理此式既得结论。134.2.3 Dini导数的柯西中值定理型设函数在上连续，在内与均有界，而在内可导，并且，则至少存在一点以及，使得证：首先可以肯定，作函数，并运用Dini导数的Lagran

48、ge中值定理型立即得证。135 对称导数 本文在前面已经介绍了导数的概念，从而得出了很多结论，在这里将介绍一下与导数有关的概念对称导数。它的思路与导数大致相同，可推广其相应到中值定理。5.1对称导数的定义设函数是定义在开区间上的函数，是的闭子区间，。若极限 存在，则称此极限为在点的对称导数，记做。若，则称为中心差商极限。155.2 对称导数的微分中值定理165.2.1 对称导数的罗尔中值定理型引理 设函数在上连续，（或），函数在区间内每一点对称可导，则存在，使得，（或）。定理 设在上连续，若函数在内每一点对称可导，则存在，.证：因为在上连续，,(i) 若，则对，有；(ii) 若，不妨设，由引理知在上，存在，使得，在上，存在，使得。综上所述，存在，。