高等数学第六节空间直线及其方程课件

1、高等数学第六节空间直线及其方程第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程 （交面式）（交面式）330P12L从而得到直线的平面的交线空间直线可看成是两张,:一般式方程)()(201022221111DzCyBxADzCyBxA):(不成立212121CCBBAA,内在平面上任一点交线1 ML, )(1的坐标满足M的坐标同理M. )(2满足,上点不在交线设反之LM1. )()(211和的坐标不能同时满足则 M高等数学第六节空间直线及其方程交面式方程只是其中的平面有无穷多张过直线,L:,其余的平面是的两张)(的称为过直线 L022221111)()(

2、DzCyBxADzCyBxA )(是任意实数 )(3.)(:式确是平面的方程检验31, )(, )( , )(3212必满足上的点满足直线 L.)(式确定的平面内在从而3L.按:,)(但缺一张的所有平面式中包括了过L302222DzCyBxA平面束高等数学第六节空间直线及其方程的坐标为点已知直线例PzyxzyxL,:.01011. ),( 作平面和直线过点LP321:.作平面束过解L011)()(zyxzyx 01111)()()()( zyx即必须点所求平面过,P01312111)()()()( 31 032323234zyx.012zyx即.的方程这就是平面 高等数学第六节空间直线及其方程

3、二、空间直线的对称式（点向式）方程二、空间直线的对称式（点向式）方程且与已知向量过已知点直线, ),(0000zyxML.),(平行pnms .)(这样的直线存在且唯一所以因为上任一点为设,/,),(sMMLzyxM0)(4000pzznyymxx.,)(对称式方程的点向式式就是直线L4pzzmxxyyn000040被理解为则如果)(,004000zzyypn被理解为则如果)(,0MMsL高等数学第六节空间直线及其方程,),(的方向向量称为直线Lpnms ,的方向数称为Lpnm. )()(方向余弦的方向角也称为方向余弦的方向角Ls:交面式方程的方向向量. ),(),(22211121CBACB

4、Anns)()(201022221111DzCyBxADzCyBxA1n2nsL1 2 ),(1111CBAn ),(2222CBAn 高等数学第六节空间直线及其方程三、参数方程三、参数方程)(4000pzznyymxx,)(tpzznyymxx设由0004)(5000tpzztnyytmxx则.此即直线的参数式方程.,pnmszyxrzyxr0000其中,或strr0高等数学第六节空间直线及其方程0432012zyxzyxL:. 已知例.方程的对称式方程及参数式写出L:两平面的法向量. ),(, ),(31211121nn的方向向量L21nns, ),(314, ),(0000zyxML上的

5、一点再找出043201000000zxzxy则设,.2100zx.解312111kji高等数学第六节空间直线及其方程),(, ),(20131400MMs.32141zyxL的对称式方程为tztytxL3241的参数式方程为tstrr3142010或高等数学第六节空间直线及其方程四、两点式方程四、两点式方程, ),(, ),(11110000zyxMzyxM已知两点.,10MML过点直线)(存在唯一L:的方向向量L, ),(01010110zzyyxxMMs:的方程L010010010zzzzyyyyxxxx.的两点式方程这就是直线L0M1ML高等数学第六节空间直线及其方程.),(, ),(.

6、的平面束方程写出过例201121310MM:,.的方程的直线过解LMM10,312221zyx31212221zxyx:改成交面式012301zxyx:整理得:所求平面束为01231)()(zxyx .)(01231 zyx即.为任意实数 高等数学第六节空间直线及其方程关键向量关键向量:n平面的法向量平面的法向量,一般式方程中容易找到一般式方程中容易找到截距式截距式在点法式在点法式.2010MMMMn三点式方程中三点式方程中s直线的方向向量直线的方向向量,参数式方程中容易找到参数式方程中容易找到两点式两点式在对称式在对称式,21nns在一般式方程中在一般式方程中.,为为两两相相交交平平面面的的

7、法法向向量量21nn高等数学第六节空间直线及其方程为钝角为锐角 1n2n五、两直线的夹角五、两直线的夹角.两直线方向向量的夹角两直线夹角一 )(取锐角,1111111pzznyymxxL方程为设,2222222pzznyymxxL方程为., 夹角为21LL,| |cos2222222121212121212121pnmpnmppnnmmssss .cos222222212121212121pnmpnmppnnmm 高等数学第六节空间直线及其方程两直线的平行与垂直,:1111111pxxnyymxxL.:2222222pxxnyymxxL2121ssLL/212121ppnnmm2121ssLL

8、.0212121ppnnmm高等数学第六节空间直线及其方程六、两平面的夹角六、两平面的夹角.两平面方向向量的夹角两平面夹角 )(取锐角,011111DzCyBxA方程为设 .022222DzCyBxA方程为 ., 夹角为21 :得2222222121212121212121CBACBACCBBAAnnnn cos高等数学第六节空间直线及其方程两平面的平行与垂直,:011111DzCyBxA .:022222DzCyBxA 2121nn/ 212121CCBBAA2121nn .0212121CCBBAA高等数学第六节空间直线及其方程七、直线与平面的夹角七、直线与平面的夹角:这样定义的夹角与平面

9、直线 L内与它在平面直线不垂直时与当 LL ,.,;2 时垂直于当投影的夹角 LLs nLs n 20 高等数学第六节空间直线及其方程 Ls nLs n snsn cossin222222pnmCBACpBnAm 22202高等数学第六节空间直线及其方程直直线与平面的平行与垂.:0DzCyBxA nsL /.CpBnAmnsL/ ,0CpBnAm,:pxxnyymxxL000高等数学第六节空间直线及其方程010221211zyxM 在平面求点例),(.的坐标内的垂足PMPn . ),(.221n的法向量解 .的方向向量它也是直线 MP,212211zyxMP的方程为直线tztytx21221:

10、改写成参数方程:代入平面方程得,)()()(0102122221ttt,31t解得:点的坐标代入参数方程得垂足 P.,353834.,解方程组方程联立或者将平面和直线高等数学第六节空间直线及其方程例例 2 推导点面距离公式推导点面距离公式 H0PP n,:.0DzCyBxA 平面解, ),(CBAn 平面的法向量, ),(0000zyxP空间任意一点.H垂足, ),(111zyxP平面内任意一点),(0101010zzyyxxPP)()()(0101010zzCyyBxxAnPP)()(000111zCyBxAzCyBxA. )(DzCyBxA000.),(满足平面方程111zyx,cos n

11、PPnPP00又 cosPPdP00的距离到平面点 高等数学第六节空间直线及其方程 cosPPdP00的距离到平面点 nnPP0 cosPPd0.222000CBADzCyBxA. )(DzCyBxAnPP0000),(CBAn .:222000CBADzCyBxAd点面距离公式高等数学第六节空间直线及其方程),(),(.110111321MM和一平面通过两点例.,:求它的方程且垂直于平面00zyx , ),(.11100n的法向量平面解 ,0nnn则的法向量为记所求平面 210MMnn201111kji, ),(112:的点法式方程所求平面 .)()()(01112zyx.02zyx或1M2

12、Mn高等数学第六节空间直线及其方程0104044yxzxL:. 已知直线例,:122zyx 平面. 的夹角与平面求直线 L的方向向量直线解L., ),(),(),(141014101s, ),(212 n的法向量平面 snsn sin1161414242,924298.arcsin924 高等数学第六节空间直线及其方程几个特殊向量几个特殊向量 :),(001i),(010j),(100k,),(轴垂直于 Xa 0,),(轴垂直于Yb 0.),(轴垂直于Zc0 以上单位坐标向量平面以这些向量为法向量的的直线以这些向量为方向向量的位置关系与各坐标轴和坐标平面?高等数学第六节空间直线及其方程.),(

13、.的距离到直线求点例042012135zyxzyxLP 0PPHLs, ),(.2010PL上取一点在解, ),(0120PP则112111kjisL的方向向量, ),(330 sinPPPH0ssPP0),(),(),(110110012110221),(29.223 PHd所求距离, ),(110s取高等数学第六节空间直线及其方程09230426zyxzyxL:. 求直线例.:的方程上的在平面14zyx 投影直线 LHM0 PPHL及其投影设直线解.,0 确定平面L是过则0 .,垂直它与的平面束中的一张 :的平面束是过L)()()()(10921432 zyx,)()()(02143240 ,1113 :)(的方程并化简得代入平面束方程01 0117373117zyx.,的方程线的方程联立即为投影直PH0 高等数学第六节空间直线及其方程27:.17 垂直于平面设平面例到并通过从点),(,1110Pz,:21001LxzyL的垂线直线.的方程求平面 1 1n1LPQ1S2S.:点的坐标关键是要找到垂足分析Q:.的方向向量解1L, ),(11000