离散时间傅里叶变换

1、基基 本本 内内 容容1. 离散时间傅里叶变换；离散时间傅里叶变换；2. 常用信号的离散时间傅里叶变换对常用信号的离散时间傅里叶变换对; ;3. 离散时间周期信号的傅里叶变换；离散时间周期信号的傅里叶变换；4. 傅里叶变换的性质；傅里叶变换的性质；5. 系统的频率响应与系统的频域分析方法系统的频率响应与系统的频域分析方法；v5.0 引言引言v5.1 非周期信号的表示：离散时间傅里叶变换非周期信号的表示：离散时间傅里叶变换v5.2 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换v5.3 离散时间傅里叶变换性质离散时间傅里叶变换性质v5.4 卷积性质卷积性质v5.5 相乘性质相乘性质v5.6 傅里叶变换

2、性质和基本傅里叶变换对列表傅里叶变换性质和基本傅里叶变换对列表v5.7 对偶性对偶性v5.8 由线性常系数差分方程表征的系统由线性常系数差分方程表征的系统v5.9 小结小结本章的目录本章的目录: :v注释注释: :CFS ( The Continuous-Time Fourier Series ): 连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数DFS ( The Discrete-Time Fourier Series ): 离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数CTFT ( The Continuous-Time Fourier Transform ): 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换DTFT

3、( The Discrete-Time Fourier Transform ): 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 5.0 引言引言 Introductionv 本章将采用与讨论本章将采用与讨论CTFT完全相同的思想方完全相同的思想方法，来研究离散时间非周期信号的频域分解问法，来研究离散时间非周期信号的频域分解问题。题。v DFS与与CFS之间既有许多类似之处，也有一之间既有许多类似之处，也有一些重大差别：主要是些重大差别：主要是DFS是一个有限项级数，是一个有限项级数， 其系数其系数 具有周期性具有周期性。kav 在采用相同方法研究如何从在采用相同方法研究如何从 DFS 引出离散引出离散

4、时间非周期信号的频域描述时，可以看到，时间非周期信号的频域描述时，可以看到，DTFT与与CTFT既有许多相类似的地方，也同时既有许多相类似的地方，也同时存在一些重要的存在一些重要的区别。区别。v 抓住它们之间的相似之处并关注其差别，抓住它们之间的相似之处并关注其差别，对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有重对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有重要意义。要意义。5.1 非周期信号的表示非周期信号的表示Representation of Aperiodic Signals: The Discrete-time Fourier Thransform一一. 从从DFS到到DTFT: 在讨论离散时间周

5、期性矩形脉冲信号的频谱时在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时, ,我们看到：我们看到： 当信号周期当信号周期 增大时，频谱的包络形状不变，增大时，频谱的包络形状不变，幅度减小，而频谱的谱线变密。幅度减小，而频谱的谱线变密。Nkkk1220NN1240NN1210NNkNa 因此，可以预见，对一个非周期信号，它的频因此，可以预见，对一个非周期信号，它的频谱应该是一个连续的频谱。谱应该是一个连续的频谱。 当当 时，有时，有 ，将导致，将导致信号的频谱无限密集，最终成为连续频谱。信号的频谱无限密集，最终成为连续频谱。N 0(2 /)0N 从时域看，从时域看，当周期信号的周期当周期信号的周期 时，

6、时，周周期序列期序列就变成了一个非周期的序列。就变成了一个非周期的序列。N 当当 时时 令令2limjkNNkNaX eN，（）221( ),( )jknjknNNkkkNnNx na eax n eN 对周期信号对周期信号 由由DFS有有( )x n2/2/2)(1NNnknNjkenxNa即即jX e （）说明说明: :显然显然对对是以是以2为周期的。为周期的。DTFT( )jj nnX ex n e（）有有: :kNjkeXNa2)(1 当当 在一个周期范围内变化时，在一个周期范围内变化时， 在在 范围范围变化，所以积分区间是变化，所以积分区间是 。k0k22ka将其与将其与 表达式比较

7、有表达式比较有00( )( ),Nx nx nkd ，当当时时于是于是: :00000012( )(),1()2jkjknkNjkjknkNx nX eeNNX ee 表明表明: :离散时间序列可以分解为频率在离散时间序列可以分解为频率在2区间上区间上分布的、幅度为分布的、幅度为 的复指数分量的的复指数分量的线性组合。线性组合。 deXj)(21deeXnxnjj2)(21)(deeXnxnjj2)(21)(njjenxeX)()(结论：结论：01()1jnj njnX ea eae 二二. .常用信号的离散时间傅里叶变换常用信号的离散时间傅里叶变换21()12 cosjX eaa通常通常 是

8、复函数，用它的模和相位表示是复函数，用它的模和相位表示: :()jX e1sin()tg1cosjaX ea 1.( )( ),1nx na u na01a10a )() 1()(nuanuanxnncos211111)(220101aaaaeaeaeeaeaeaeaeXjjjnnjnnnjnnnjnnnjnj由图可以得到由图可以得到: :时，高通特性时，高通特性, ,摆动指数衰减摆动指数衰减10a x n（ ）时，低通特性时，低通特性, ,单调指数衰减单调指数衰减01ax n（ ）( ),1nx naa2.可以得出结论可以得出结论: :实偶序列实偶序列实偶函数实偶函数111sin(21)2(

9、)sin2Njj nnNNX ee1,( )0,x n11NnNn3.矩形脉冲矩形脉冲: :当当12N 时，可得到时，可得到: :有同样的结论有同样的结论: :实偶信号实偶信号实偶函数实偶函数1sin(21)1,sinkkNNaNkN两点比较两点比较:1.1.与对应的周期信号比较与对应的周期信号比较21()jkkNaX eN显然有显然有关系成立关系成立1sin(21)2()sin2jNX e2 2. .与对应的连续时间信号比较与对应的连续时间信号比较, 0, 1)(tx11TtTt111sin2)(TTTjX如图所示如图所示: :1)()(njnjenxeX)(n0n1)(jeX10如图所示如

10、图所示: :( )( )x nn4.三三. DTFT的收敛问题的收敛问题当当 是无限长序列时，由于是无限长序列时，由于 的表达式的表达式是无穷项级数，当然会存在收敛问题。是无穷项级数，当然会存在收敛问题。)jX e（( )x n收敛条件有两组：收敛条件有两组：( ),nx n)jX e（)jX e（2.2. 则则 存在，且级数一致收敛存在，且级数一致收敛 于于 。)jX e（2( ),nx n1. 1. 则级数以均方误差最小的准则则级数以均方误差最小的准则 收敛于收敛于 。考察考察 的收敛过程，如图所示：的收敛过程，如图所示：( )nv但随着但随着 的振荡频率变高，起伏的的振荡频率变高，起伏的

11、幅度趋小幅度趋小; ;,( )Wx nWv当当 时，振荡与起伏将完全消失，不会出时，振荡与起伏将完全消失，不会出现吉伯斯现吉伯斯(Gibbs)现象，也不存在收敛问题。现象，也不存在收敛问题。由图可以得到以下结论由图可以得到以下结论: :v当以部分复指数分量之和近似信号时，也会当以部分复指数分量之和近似信号时，也会 出现起伏和振荡出现起伏和振荡; ;5.2 周期信号的周期信号的DTFT 002,jte （） 对连续时间信号，有对连续时间信号，有 由此由此推断，对离散时间信号或许有相似的情况。但由推断，对离散时间信号或许有相似的情况。但由于于DTFT一定是以一定是以 为周期的，因此，频域的冲为周期

12、的，因此，频域的冲激应该是周期性的冲激串，即激应该是周期性的冲激串，即2022kk （）对其做反变换有：对其做反变换有：The Fourier Transform for Periodic Signals0( )()2(2)jkkNlx nX eakl 0022jnkke （）可见可见, ,002( ),jknkkNx na eN由由DFS有有( )x n因此，周期信号因此，周期信号 可用可用DTFT表示为表示为022001( )()2()jj njnj nx nX eedede lNkkjlkNaeX)22(2)(NkkNkkNkkkNakNakNa)42(2)22(2)2(2101010)

13、2(22)(22)2(2NkkNkkNkkNkNaNkNakNa（对（对L 展开）展开）12103122222()2()22()NNkk Nkk NNkNkNakakNNakN kkkNa)2(2比较比较: : 可以看出与连续时间傅里叶变换中相应的可以看出与连续时间傅里叶变换中相应的形式是完全一致的。形式是完全一致的。注意到注意到 也以也以 为周期，于是有：为周期，于是有：kaNkjkkeX)2()2()(000001( )cos(),2jnjnx nnee例例1.1.它不一定是它不一定是周期的。周期的。 当当02kN时才具有周期性。时才具有周期性。)(jeX0220200002202( )如

14、图所示如图所示: :NenNenxNanjkNnNnnjkk1)(1)(10010kjkNNeX)2(2)(N2N2)(jeXN20N4N4( )()kx nnkN例例2.2.比较比较: :与连续时间情况下对应的相一致。与连续时间情况下对应的相一致。均匀脉冲串均匀脉冲串)(nx1N0NN2N2n5.3 离散时间傅里叶变换的性质离散时间傅里叶变换的性质 DTFT也有很多与也有很多与CTFT类似的性质，当然也有类似的性质，当然也有某些明显的差别。某些明显的差别。 通过对通过对DTFT性质的讨论，目的在于揭示信号时性质的讨论，目的在于揭示信号时域和频域特性之间的关系。域和频域特性之间的关系。一、周期

15、性一、周期性 (periodic)：比较：比较：这是与这是与CTFT不同的。不同的。Properties of the Discrete-Time Fourier Transform(2 )()()jjX eX e则则若若jx nX e（ ）（），)()()()(2121jjebXeaXnbxnax二二. 线性线性 (linearity):三三. 时移与频移时移与频移 (shifiting):00()( )()jnjx n eX e ( )(),jx nX e若若则则00()()j njx nnX ee时移特性时移特性频移特性频移特性四四. 时域反转时域反转 (reflaction):()()

16、jxnX e若若则则( )(),jx nX e五五. . 共轭对称性共轭对称性 (symmetry properties):)()(),()(*jjeXnxeXnx若若则则由此可进一步得到以下结论由此可进一步得到以下结论: :Re()Re()Im()Im()jjjjX eX eX eX e)()(),()(*jjjjeXeXeXeX即即1. 1. 若若)(nx是实信号，则是实信号，则)()(*nxnx()()()()jjjjX eX eX eX e2. 2. 若若)(nx是实偶信号，则是实偶信号，则),()(nxnx*( )( )()()jx nx nxnX e()()(),jjjX eX e

17、Xe于是有于是有: :即即是实偶函数。是实偶函数。)(jeX*( )(),( )( )x nxnx nx n 3. 3. 若若是实奇信号，是实奇信号，)(nx()()(),jjjX eX eXe 于是有于是有: :表明表明是虚奇函数。是虚奇函数。)(jeX( )( )( )eox nx nx n，4. 4. 若若则有则有: :说明说明: :这些结论与连续时间情况下完全一致。这些结论与连续时间情况下完全一致。( )Re()jex nX e( )Im()jox njX e0( )(1)(1) ()()( )()(2)1jjjnjjkkx nx neX eX ex kX eke 六六. 差分与求和差

18、分与求和 (Differencing and Accumulation):）je1 (说明说明: :在在 DTFT中中对应于对应于CTFT中的中的 。j1( )(2)1jku nke 例例: :( )( )nku nk( )1n七七. 时域内插时域内插 ( Interplation ):，0),/()(knxnxk定义定义为为的整数倍的整数倍其他其他nkn()( )()jj nj rkkkknrXex n ex rk e( )()j rkjkrx r eX e( )()jkkx nX e信号的时域与频域特性之间有一种相反的关系。信号的时域与频域特性之间有一种相反的关系。dedXjnnxj)()

19、(八八. 频域微分频域微分( Differention in Frequency ):222)(21)(deXnxjn九九. . Parseval定理定理: :2)(jeX称为称为的的能量谱密度函数。能量谱密度函数。)(nxNkkNnanxN22)(1比较比较: :在在DFS中有中有称为周期信号的称为周期信号的功率谱。功率谱。2ka5.4 卷积特性卷积特性( The Convolution Property ) ( )( )* ( ),()()(),jjjy nx nh nY eX eH e若若则则说明：说明：该特性提供了对该特性提供了对LTI系统进行频域分析系统进行频域分析的理论基础。的理论

20、基础。即是即是系统的频率特性系统的频率特性。()jH e)()()(jjnkeUeXkxkjjkeeX)2(11)(kjjjkeXeeX)2()(1)(0例例: :求和特性的证明求和特性的证明)(*)()(nunxkxnk5.5 相乘性质相乘性质（The Multiplication Property)()(21)()(21)(),()()(212)(2121jjjjjeXeXdeXeXeYnxnxny如果如果则则由于由于 和和 都是以都是以 为周期的，为周期的，1()jX e因此上述卷积称为因此上述卷积称为周期卷积周期卷积。22()jXe)()()(ncnxny)(nc)(nx,) 1()(

21、nnc()2(2)jkC ek ()22()01() ()2() ()()jjjjX eC edX edX e 例例: :( )( 1)nj nc ne 1()()()2jjjY eX eC e22)(jeC0)(jeXMM015.6 傅里叶变换的性质及基本变换对列表傅里叶变换的性质及基本变换对列表（自学）（自学）)(jeY10MM5.7 对偶性对偶性（Duality）NnnNjkkNknNjkkenxNaeanx22)(1,)( 由于由于 本身也是以本身也是以N为周期的序列，当然也可以为周期的序列，当然也可以将其展开成将其展开成DFS形式。形式。ka一一. .DFS的对偶的对偶21()jkn

22、NknNaxn eN即即: :或或21()jknNnkNaxk eN( )1()DFSkDFSnx naaxkN 即即: : 利用对偶性可以很方便的将利用对偶性可以很方便的将DFS在时域得到的在时域得到的性质，通过对偶得到频域相应的性质。性质，通过对偶得到频域相应的性质。),(1kxN这表明：这表明：序列序列 的的DFS系数就是系数就是na)(1)(kxNaanxnk2()( )jMnNkk Mxnax n ea，例例1: 1: 从时移到频移从时移到频移002)(1knNjnnekxNa利用时移性质利用时移性质有有: :211()jMnNk Mxn eaNN 由对偶性由对偶性有有: :频移特性

23、频移特性2()jMnNk Mxn ea 12( )( )kkx nx nabN)()(1)(1)(12121kxkxNNkxNkxNbannkkNmmkmNmmkmbabanxnxbaNnxnxN)()(1)()(12121例例2:2:由卷积特性到相乘特性由卷积特性到相乘特性由时域卷积性质由时域卷积性质: :由对偶性由对偶性: :时域相乘性质时域相乘性质1211()()nnaxkbxkNNDFS的卷积特性的卷积特性2)(21,)(dteeXaeaeXjktjtkkjktkjt二二. DTFT与与CFS间的对偶间的对偶()( )()jj njnX ex n eX e由由知知是一个以是一个以2 为

24、周期的连续函数为周期的连续函数, , 如果在时域构造一个如果在时域构造一个以以 为周期的连续时间信号为周期的连续时间信号 则可以将则可以将其表示为其表示为CFS形式形式:),(jteX2deeXnxnjj2)(21)(由由DTFT有：有： 利用这一对偶关系，可以将利用这一对偶关系，可以将DTFT的若干特性的若干特性对偶到对偶到CFS中去；或者反之。中去；或者反之。()kaxkka比较比较和和的表达式可以看出的表达式可以看出)(nx这表明：这表明：( )()DTFTjx nX e ()()CFSjtX ex k 若若则则kCFSkaTjtxdtd2)( 2()()()2CFSjtdX ejkxk

25、jkxkTdtT，（）例例: 从从CFS的时域微分到的时域微分到DTFT的频域微分的频域微分CFS的时域微分特性的时域微分特性DTFT的频域微分特性的频域微分特性()()CFSjtX exk若若则则( )(),DTFTjx nX e ( )()jdjnx nX ed)()()()()()()()(22112211kxeXkxeXeXnxeXnxCFSjtCFSjtjDTFTjDTFT 1212()()2() (),(2 )CFSjtjtX eX exk xkT)()(21)()()()()()(221212121jjDTFTjjDTFTeXeXnxnxeXeXnxnx 例例: 从从CFS的卷积

26、特性到的卷积特性到DTFT的相乘特性的相乘特性再由对偶性：再由对偶性：由由CFS的卷积特性的卷积特性12( )*( )kkx txtTa bDTFT的相乘特性的相乘特性可以将对偶关系归纳为如下图表可以将对偶关系归纳为如下图表: :连续时间傅立叶级数katx)(离散连续、周期、非周期连连续、非周期续、非周期连续时间傅立叶变换)(2)()()(xjtXjXtx离散时间傅立叶变换)()(jeXnx离散连、非周期续、周期)2(1kTjXTak)(12kNjkeXNa)()(jDTFTeXnx )()(kxeXCFSjt离散时间傅立叶级数( )kx na 离离散、周期散、周期1()nax kN时域的连续

27、性时域的连续性可以看出：信号在时域的特性和在频域的可以看出：信号在时域的特性和在频域的特性之间存在以下对应关系：特性之间存在以下对应关系：时域的周期性时域的周期性时域的离散性时域的离散性时域的非周期性时域的非周期性频域的离散性频域的离散性频域的连续性频域的连续性频域的周期性频域的周期性频域的非周期性频域的非周期性5.8 由由LCCDE表征的系统表征的系统NkkNkkknxbknya00)()( 相当广泛而有用的一类离散时间相当广泛而有用的一类离散时间LTI系统可以系统可以由一个线性常系数差分方程（由一个线性常系数差分方程（LCCDE）来表征来表征: :一一. 由由LCCDE描述的系统的频率响应

28、描述的系统的频率响应:),(nh进而对进而对 做变换而求得做变换而求得 。方法一方法一: :可以从求解可以从求解 时的差分方程得到时的差分方程得到)()(nnx)(nh)(jeHSystems Characterized by Linear Constant-Coefficient Difference Equations( )jj ny nH ee （方法二方法二: : 可以通过求出可以通过求出 时方程的解而时方程的解而因为因为njenx)(),(jeHnje是是LTI系统的特征函数系统的特征函数,得到得到此时的此时的 。方法三方法三: : 对方程两边进行对方程两边进行DTFT变换，可得到变

29、换，可得到:00()()NNkkkka y nkb x nk00()()NNjkjjkjkkkka eY eb eX eNkjkkNkjkkjjjeaebeXeYeH00)()()( 可见可见 是一个有理函数。当需要得到是一个有理函数。当需要得到时时, , 往往是先从方程得到往往是先从方程得到 进而通过反变进而通过反变换得到换得到 。)(jeH)(nh),(jeH)(nh二二. .系统的频率响应系统的频率响应: : 刻画了刻画了LTI系统的频域特征，它是系系统的频域特征，它是系统单位脉冲响应的傅里叶变换。统单位脉冲响应的傅里叶变换。)(jeH三三. .由方框图描述的系统由方框图描述的系统: :

30、这说明这说明: :稳定系统可以由其频率响应来描述。稳定系统可以由其频率响应来描述。)(jeH 由由 所表征的系统应该是稳定系统。所表征的系统应该是稳定系统。 3/4D DD D( )x n( )y n212()jW e如果如果 ，则，则 存在。存在。| ( )|nh n )(jeH但并非所有的但并非所有的LTI系统都一定存在频率响应。系统都一定存在频率响应。2()jjW ee()jjW ee22227124()133121244jjjjjjjjeeeH eeeee 通过对图中两个加法器的输出列方程可得到通过对图中两个加法器的输出列方程可得到:23()()2()()4jjjjjjW eX eW

31、eeW ee2()()2()()jjjjjjY eX eW eeW ee23()(12)()4jjjjX eeeW e由上式可得：由上式可得：27()(1)()4jjjY eeW e四四. LTI系统的频域分析方法系统的频域分析方法:2. 2. 根据系统的描述，求得系统的频率响应根据系统的描述，求得系统的频率响应 。()jH e1. 1. 对输入信号做傅里叶变换，求得对输入信号做傅里叶变换，求得 。 ()jX e3. 3. 根据卷积特性得到根据卷积特性得到 。()()()jjjY eX eH e4. 4. 对对 做傅里叶反变换得到系统的响应做傅里叶反变换得到系统的响应 。()jY e( )y

32、n 做傅里叶变换或反变换的主要方法是做傅里叶变换或反变换的主要方法是部分分式部分分式展开、利用傅里叶变换的性质和常用的变换对展开、利用傅里叶变换的性质和常用的变换对。5.9 小结小结 Summaryv通过对通过对DTFT性质的讨论，揭示了离散时间信号性质的讨论，揭示了离散时间信号时域与频域特性的关系。不仅看到有许多性质在时域与频域特性的关系。不仅看到有许多性质在CTFT中都有相对应的结论，而且它们也中都有相对应的结论，而且它们也存在存在一一些重要的差别，例如些重要的差别，例如DTFT总是以总是以2为周期的。为周期的。v本章与第本章与第4章平行地讨论了章平行地讨论了DTFT，讨论的基本，讨论的基

33、本思路和方法与第思路和方法与第4章完全对应，得到的许多结论章完全对应，得到的许多结论也很类似。也很类似。v对偶性的讨论为进一步认识连续时间信号、离对偶性的讨论为进一步认识连续时间信号、离 散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述的几散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述的几种工具之间的内在联系，提供了重要的理论根据。种工具之间的内在联系，提供了重要的理论根据。 深入理解并恰当运用对偶性，对深刻掌握深入理解并恰当运用对偶性，对深刻掌握CFS、DFS、CTFT、DTFT的本质关系有很大帮助。的本质关系有很大帮助。v通过卷积特性的讨论，对通过卷积特性的讨论，对LTI系统系统建立了频域建立了频域分析

34、的方法。同样地，相乘特性的存在则为离散分析的方法。同样地，相乘特性的存在则为离散时间信号的传输技术提供了理论基础。时间信号的传输技术提供了理论基础。v与连续时间与连续时间LTI系统一样，对由系统一样，对由LCCDE或由方或由方框图描述的框图描述的LTI系统，可以很方便的由方程或方系统，可以很方便的由方程或方框图得到系统的频率响应函数框图得到系统的频率响应函数H(ej)，进而实现，进而实现系统的频域分析。其基本过程和涉及到的问题与系统的频域分析。其基本过程和涉及到的问题与连续时间连续时间LTI系统的情况也完全类似。系统的情况也完全类似。 随着今后进一步的讨论，我们可以看到随着今后进一步的讨论，我

35、们可以看到CFS、DFS、CTFT、DTFT之间是完全相通的。之间是完全相通的。对偶性对偶性连续时间周期信号连续时间周期信号katx)(连续时间非周期信号连续时间非周期信号)()(jXtx离散时间周期信号离散时间周期信号( )kx na离散时间非周期信号离散时间非周期信号( )()jx nX e时域时域采样采样对偶性对偶性对偶性对偶性)2(1TkXTak频域采样频域采样)2(1NkXNak频域采样频域采样时域时域采样采样v但随着但随着 的振荡频率变高，起伏的的振荡频率变高，起伏的幅度趋小幅度趋小; ;,( )Wx nWv当当 时，振荡与起伏将完全消失，不会出时，振荡与起伏将完全消失，不会出现吉伯斯现吉伯斯(Gibbs)现象，也不存在收敛问题。现象，也不存在收敛问题。由图可以得到以下结论由图可以得到以下结论: :v当以部分复指数分量之和近似信号时，也会当以部