基本不等式导学案

1、精心整理基本不等式（一）【学习目标】（1）学会推导并掌握基本不等式.0B,理解此不等式的几何意义;四个直角三角形的由基本不等式可得：a,b的等差中项a,b的等比中项（,），自主学习（2）了解熟悉算术平均数、几何平均数的概念（3）会应用不等式及其变形求一些简单的最值问题 【课前预习】如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。 在北京召开的24届国际数学家大会上作为会 标。你知道这其中含有哪些数学因素吗？设小直角三角形的两条直角边为a、b，则正方形的边长为，正方形的面积为。I勺面积和为。4 S 三角形S 正方形思考：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是，（4 S三角形S正方形）概念:一般

2、的，对于任意的实数a,b,我们有，当且仅当时，等号成立.特别的,如果la 0,b 0|,我们用苗、応分别代替a,b ,可得。我们通常把上式写成.ab-_ （a 0,b 0）2第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的，那么第二个不等式我们能不能直接 利用不等式的性质来推导呢？证明过程:要证必 Ob2只需证（同时平方）要证只需证0（右边的项移到左侧）要证只需证（）2 0显然成立.当且仅当a b时，等号成立.a,b ,概念扩展：回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数a,b,且a 0,b 0, 是a,b的，叫做a,b的算术平均数，2 ab是叫做a,b的，叫做a,b的几何平均数，特别的，当a

3、b时，a,b的等差中项等于a,b的等比中项。【预习自测】习题一：若a 0，则a -a若ab 0，则-bb a思考：习题二：（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短？设菜园的长为x，宽为y，则xy ，篱笆的总长度表示为，由b Vab可得x y ，2当等号成立时，所用篱笆最短，此时x ,y .（2） 段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？设菜园的长为x，宽为y，则x y ，篱笆的面积表示为，由 _b /ab可得xy ，2当等号成立时，面积最大，此时x ,y .总结：两个实数a 0,b 0,若它们的积为定值，贝U它们的和有

4、最值，当且仅当a b成立。若它们的和为定值，贝尼们的和有最值，当且仅当a b成立。练习：1直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小值为 多少？设两边分别为x,y。则xy x y2用20cm长的历铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？3把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？4把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？基本不等式（二）1 已知x, y都是整数，(1) 若x y s (和为定值)，则当x y时，积xy取得(2) 若xy p (积为定制)，则当x y时，和x y取得上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大。2

5、. 设x,y满足x 4y 40，且x,y都是正数，则lg x lg y的最大值是()A. 40B. 10C. 4D. 23. 在下列函数中，最小值为2的是()1xX11A. y x B. y 33 C. y Igx (1 x 10)D. y sinx (0 x 一)xlg xsi nx24. 若x 4，则函数y x丄()x 4A.有最大值-6 . B.有最小值6C有最大值-2D.有最小值25 .已知lgx lg y 1，则- -的最小值为x y利用均值不等式求最值时，应注意的问题知识拓展1.基本不等式的变形：2 2 2 2 2a一般地，对于n个正数a1,a2丄(n 2)，都有，臼比L an n

6、臼鼻山耳(当且仅当na1 a2 L an时取等号) b2旦；(山)2a一 ； aba- ； abV)2 ； (a b)24ab2 2 2 2 2 各项均为正数，特别是出现对数式、三角数式等形式时，要认真考虑。 求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值。 确保等号成立。以上三个条件缺一不可，可概括“ 一正、二定、三相等”。二、 学习探究【题型一】利用不等式求函数的最值已知x A. 2b.二 C.2D2、22，求函数y 4x 2 2. 设x,y满足x+4y=40,且想，且x,y R，则Igx lg y的最大值是() A. 40B。10Co 4Db 2的最大值。44x 51变式已知0x0,则y=3-3x-的最大值是；函数f(x)=3x+lgx+ (0x-1 )的最小值为x 18.某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为 800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m，且不计 房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能