湖南师范大学高等数学27洛必达法则课件

1、湖南师范大学高等数学27洛必达法则2.7 洛必达法则洛必达法则2.7.3 其它类型的末定式其它类型的末定式 基本内容基本内容2.7.100型未定式型未定式2.7.2型未定式型未定式湖南师范大学高等数学27洛必达法则基本要求基本要求1.掌握洛必达法则成立的条件，能正确地判断在掌握洛必达法则成立的条件，能正确地判断在 2.能能熟练地用洛必达法则求熟练地用洛必达法则求,003.会求会求0010、五种未定式五种未定式的极限的极限. .哪些情况下洛必达法则失效哪些情况下洛必达法则失效; 型的极限型的极限; ; 湖南师范大学高等数学27洛必达法则定义定义.00)()(lim)()()()(型未定式或常把这

2、种极限称为在通可能存在、也可能不存极限大，那末都趋于零或都趋于无穷与时，两个函数或如果当xgxfxgxfxaxxax型未定式型及00湖南师范大学高等数学27洛必达法则2.7.1型未定式000)(lim)(lim) 1 (00 xgxfxxxx 定理定理1 设设)()(xgxf与满足条件满足条件:0)( xg(2)在点在点0 x),(0 xUo内可导内可导,且且的某个去心邻域的某个去心邻域(3)()(lim0 xgxfxx存在或为存在或为)()(lim0 xgxfxx则则存在存在(或为或为),.)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx且且湖南师范大学高等数学27洛必达法则则有则

3、有)(0 xf0)(0 xg补充定义补充定义,不会影响极限不会影响极限.),(0 xUxo,0为端点的区间上与在以xx从而从而,)(),(件满足柯西中值定理的条xgxf)()()()()()()()(00gfxgxgxfxfxgxf0 xx 0 x当当时时,从而得从而得.)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx)()(lim0 xgxfxx证由于证由于与与)(0 xf)(0 xg无关，无关，和和(x0 x在在与与之间之间)湖南师范大学高等数学27洛必达法则使用洛必达法则，即定理的条件，可以继续满足型，且仍属如果)(),(00)()(xgxfxgxf.)()(lim)()(li

4、m)()(lim000 xgxfxgxfxgxfxxxxxx.,该法则仍然成立时当x.)()(lim)()(limxgxfxgxfxx 这种在一定条件下通过分子分母分别求导数这种在一定条件下通过分子分母分别求导数,再再求极限来确定未定式的值的方法称为求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则洛必达法则。湖南师范大学高等数学27洛必达法则bxaxxsinsinlim0例例1求求).0( b解解.coscoslimsinsinlim00babxbaxabxaxxx例例2 求求.sinlim30 xxxx616sinlim3cos1limsinlim02030 xxxxxxxxxx解解xxxxx33

5、123lim例例3 求求. 01333lim23lim221331xxxxxxxx解解湖南师范大学高等数学27洛必达法则例例4 求求.1arctan2limxxx22111lim1arctan2limxxxxxx解解11lim22xxx湖南师范大学高等数学27洛必达法则注意注意 由由1.3定理定理6 （函数极限与数列极限的关系）（函数极限与数列极限的关系）nnnnnn1arctan2lim)arctan2(lim. 11arctan2limxxx,)(lim)(limAnfAxfnx可得可得于是于是湖南师范大学高等数学27洛必达法则2.7.2 )()(lim0 xgxfxx则则存在存在(或为或

6、为 ),且且.)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx)(lim,)(lim) 1 (00 xgxfxxxx型未定式 定理定理3 3 设设)()(xgxf与满足条件满足条件:0 x),(0 xUo0)( xg(2)在点在点内可导内可导,且且的某个去心邻域的某个去心邻域(3)()(lim0 xgxfxx存在或为存在或为湖南师范大学高等数学27洛必达法则证明相应的结论也成立证明相应的结论也成立.例例5 求求).( ,lnlim Nnxxnx解解01lim1limlnlim1nxnxnxnxnxxxx0 xxxxxx,00将将,可以可以换成换成湖南师范大学高等数学27洛必达法则例例

7、6 求求).0,( ,limNnexxnx解解 相继应用洛必达法则相继应用洛必达法则n n次，得次，得 . 0!limlimlim1xnxxnxxnxenenxex注注 :上例中若上例中若n是任何正数是任何正数,那末极限仍为零那末极限仍为零.湖南师范大学高等数学27洛必达法则例例7 求求.lim310 xexxxt1解令解令310limxexx. 0lim3ttet,再利用例再利用例6的结果的结果,得得湖南师范大学高等数学27洛必达法则 2.7.3其它类型的未定式其它类型的未定式 提示提示: :对对型，再利用洛必达法则求值。型，再利用洛必达法则求值。 00,1 ,0 ,0, ,先将其转化为先将

8、其转化为或00例例8 求求.lnlim0 xxnx)0(100001limlnlim1lnlimlnlimnxnxnxnxnxxxxxxxx解解0lim0nxnx.湖南师范大学高等数学27洛必达法则)(1)()(1)()()(xfxgxgxfxgxf若遇有对数函数或反三角函数若遇有对数函数或反三角函数, 取倒数时一般应取倒数时一般应将将对数函数对数函数或或反三角函数保留在分子反三角函数保留在分子.0小结小结 对对或00型型.，利用取倒数化为，利用取倒数化为湖南师范大学高等数学27洛必达法则例例9 求求)().sin11(lim0 xxx)sin11(lim0 xxxxxxxxxxxxxcoss

9、in1coslimsinsinlim00解解. 0sincos2sinlim0 xxxxx小结小结 对对,一般是通过一般是通过通分通分或或有理化有理化的的方法将其化为方法将其化为或00型型 .湖南师范大学高等数学27洛必达法则例例10 求求.limsin0 xxx)0(0解解 设设xxysinxxylnsinlnxxyxxcsclnlimlnlim000sincossinlimcossinlimcotcsc1lim0200 xxxxxxxxxxxxx)(xxxsin0lim. 1lim0lnlimln00eeeyyxx于是于是,取对数得取对数得湖南师范大学高等数学27洛必达法则. 例例11 求

10、求.)sin(lim210 xxxx)1 (21)sin(xxxy 解解 设设,sinln1ln,2xxxy xxxxxxxxxxyxxx2sincossinlimsinlnlimlnlim20200616sinlim2sincoslim2030 xxxxxxxxx210)sin(limxxxx.lim61lnlimln00eeeyyxx于是于是湖南师范大学高等数学27洛必达法则.limnnn例例12 求求xxxxxxxxeexlnlimln11limlim解解, 101limeexx.nnnlim1lim01exxx.小结小结 对对,1 ,000一般是先取对数一般是先取对数,将其转化为将其转

11、化为 0再转化为再转化为 或00型型. )(0湖南师范大学高等数学27洛必达法则注注1 1 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但应注意定理的条件是但应注意定理的条件是充分的充分的. )()(lim0 xgxfxx)()(lim0 xgxfxx即当即当不存在（等于无穷大的情况除外）时不存在（等于无穷大的情况除外）时, ,仍有可能存在仍有可能存在. 例如例如 求求.limxxxxxeeee)()()(limxgxfx仍为仍为 , ,因此不能用洛必达法则求极限因此不能用洛必达法则求极限, ,但但. 111limlim22xxxxxxxxeeeeee湖南师范大学高等数学27洛必达法则 注注2.求未定式极限时求未定式极限时,最好将最好将洛必达法则洛必达法则与与其他其他求极限的求极限的方法结合使用方法结合使用，例如能化简时应尽可能，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷。应尽可能应用，这样可以使运算简捷。.sinsinlim20 xxxxx例例13 求求提示