高等数学第八节多元函数的极值及其求法课件

1、高等数学第八节多元函数的极值及其求法1第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及最大值、最小值一、多元函数的极值及最大值、最小值52P定义定义的的某某邻邻域域在在点点设设函函数数000yxPyxfz,:,)(如如果果都都适适合合内内的的点点对对于于内内有有定定义义yxPPUPU0000yxfyxf,;,0000yxfyx有有极极大大值值则则称称函函数数在在点点:如果都适合如果都适合00yxfyxf,.,0000yxfyx有有极极小小值值则则称称函函数数在在点点.,极极小小值值统统称称为为极极值值极极大大值值.为极值点为极值点使函数取得极值的点称使函数取得极值

2、的点称0P)(0PUP高等数学第八节多元函数的极值及其求法2.),(.00043122zyxz点有极小值点有极小值在在例例)( 开口向上的椭圆抛物面开口向上的椭圆抛物面.),(.000222zyxz点点有有极极大大值值在在例例)( 顶点在上的圆锥面顶点在上的圆锥面,),(.不取极值不取极值在点在点例例003yxz ,),(0IIIIzyx象象限限时时落落在在因因为为当当,),(0IVIIzyx象限时象限时落在落在当当.),(000z点点而而在在马鞍面之鞍点马鞍面之鞍点 .高等数学第八节多元函数的极值及其求法3,处处有有极极大大值值在在设设000yxPyxfz 内内恒恒有有则则在在)(0PU,

3、),(),(00yxfyxf,),(),(000yxfyxf特别有特别有,处处取取极极大大值值在在0 xx ;),(000yxfx),(0必为必为如果存在如果存在一元函数在极值点导数一元函数在极值点导数.),(000yxfy处处在在极极值值点点函函数数必必要要条条件件定定理理),(,)(.001yxyxfz 则必有则必有偏导数若存在偏导数若存在 ,.),(,),(000000yxfyxfyx.),(,的的驻驻点点为为则则称称如如果果fyxyxf00000),(0yx),(00yx0P.,),(,),(000000000yxfyxfyxfyx),(0yxf一一元元函函数数表明表明从而从而同理同理

4、高等数学第八节多元函数的极值及其求法4:),(极值的方法极值的方法求二元函数求二元函数yxfz )( 与与一一元元函函数数相相类类似似, ),(, ),(:.2211yxyx找出可能的极值点找出可能的极值点一一,. 偏偏导导数数不不存存在在的的点点1.),(,.的点的点即即驻点驻点02yxf?, ),(, ),(.极极大大还还是是极极小小是是否否极极值值点点判判定定二二2211yxyx. 按按定定义义1)(.见见下下页页定定理理 22. )(),(,)(),(.最小值最小值上的最大值上的最大值在在的函数值就是的函数值就是那么可以肯定该驻点处那么可以肯定该驻点处一个驻点一个驻点内只有内只有而函数

5、在而函数在的内部取得的内部取得一定在一定在最小值最小值的最大值的最大值由实际问题知道函数由实际问题知道函数按实际问题背景判定按实际问题背景判定DyxfDDyxf3高等数学第八节多元函数的极值及其求法5,),(,),(.oyxfCyxfz0022设设函函数数定定理理,),(),(000000yxfyxfyx且且即即,),(,),(,),(CyxfByxfAyxfyyxyxx000000记记:则有结论则有结论,),()(有有极极值值时时yxfCBBA01.),(.),(为极大值为极大值为极小值为极小值000000yxfAyxfA.),()(非极值非极值时时0002yxfCBBA.,)(不定不定时时

6、03CBBA)?!(非非极极值值异异号号 CA)( 充分条件充分条件高等数学第八节多元函数的极值及其求法60104224222zyxzyx求求由由方方程程例例 .),(的的极极值值确确定定的的函函数数yxfz :. 对方程微分对方程微分解解0422222zdydxdzdzydyxdxydzyxdzxzd21212121zyyzzxxz,),(11 P驻驻点点21zxxzxx322212)()()(zxz2)2() 1()2(zxzxz21zxyzzxyyx221)(zxyz3211)()()(zyx2212)()()(zyzyz21zyyzyy322212)()()(zyz),(11 P驻驻点

7、点xxz.,),(621121zzP解解得得代代入入原原方方程程将将则则有有设设,211100zyx,41A.41C,0B,0161CBBA,0A.),(为为极极小小值值2111zz则则有有设设,611200zyx,41A.41C,0B,0161CBBA,0A.),(为为极极大大值值6111zz16211222)()()(zyx010422222zyxzyx椭球面高等数学第八节多元函数的极值及其求法70104224222zyxzyx求求由由方方程程例例 .),(的的极极值值确确定定的的函函数数yxfz :. 对方程微分对方程微分解解0422222zdydxdzdzydyxdxydzyxdzxz

8、d21212121zyyzzxxz,),(11 P驻驻点点21zxxzxx322212)()()(zxz2)2() 1()2(zxzxz高等数学第八节多元函数的极值及其求法8,2121zyyzzxxz,)()()(322212zxzzxx),(11 P驻点驻点21zxyzzxyyx221)(zxyz3211)()()(zyx2212)()()(zyzyz21zyyzyy322212)()()(zyz.,),(621121zzP解解得得代代入入原原方方程程将将010422222zyxzyx则则有有设设,211100zyx,41A.41C,0B,0161CBBA,0A.),(为为极极小小值值211

9、1zz高等数学第八节多元函数的极值及其求法9则则有有设设,611200zyx,41A.41C,0B,0161CBBA,0A.),(为为极极大大值值6112zz,)()()(322212zxzzxx),(11 P驻点驻点,)()()(3211zyxzxy.)()()(322212zyzzyy010422222zyxzyx16211222)()()(zyx010422222zyxzyx椭球面高等数学第八节多元函数的极值及其求法10立立方方米米的的有有盖盖长长方方体体水水体体积积为为某某厂厂要要用用铁铁板板做做成成一一个个例例25.,才才能能使使用用料料最最省省高高各各取取怎怎样样的的尺尺寸寸时时宽

10、宽问问当当长长箱箱.,.米米则则高高应应为为米米宽宽为为米米设设水水箱箱的的长长为为解解yxyx2水箱用料面积为水箱用料面积为yxxyxyyxA222yxyx222),(00yx:的的最最小小值值以以下下求求 A,0222令令xyAx.0222令令yxAy,:3322yx解解得得上上唯唯一一的的可可能能这这是是),(00yx,极值点极值点,定定存存在在此此实实际际问问题题的的最最小小值值一一3334622,A所所以以.就就是是最最小小值值.32于于此时水箱的长宽高都等此时水箱的长宽高都等.水箱为正方体水箱为正方体高等数学第八节多元函数的极值及其求法11xyo6 yxD:求求最最大大值值最最小小

11、值值举举例例.上上的的最最大大值值与与最最小小值值在在求求函函数数Dz, )(.yxyxz462设设二二元元函函数数例例,轴轴所所围围成成轴轴和和由由直直线线闭闭区区域域YXyxD6内的驻点内的驻点先求函数在先求函数在解解D.12yxPD的的坐坐标标内内唯唯一一驻驻点点得得04042222yxyxxzyxyxyxzyx)()(由由412),()(zPz0zYX,轴上轴上轴与轴与在在高等数学第八节多元函数的极值及其求法126424),(z,上上在在直直线线6 yxxy 6)(yxyxz42)()(262xx)(2362xx )(xxxdzd12322)(46xx0令令4 x26xyxyo6 yx

12、D.),(min6424 zz,的边界上的边界上所以在所以在 D,max0z:,),()(得得相相比比较较与与412 zPz.),(为为最最大大值值412z,),(为最小值为最小值6424z)(yxyxz42高等数学第八节多元函数的极值及其求法13二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法:条件极值条件极值)(),(),(Azyxzyxfu0 设设条件.的极值的极值求求 u),(),(),(.yxuuzyxzyxfu确确定定隐隐函函数数解解0 0zdydxdzdfydfxdfudzyxzyx ydxdfydfxdfudzyzxzyx ),(yxzz 高等数学第八节多元函数的极值及其

13、求法14.ydffxdffudzyzyzxzx 即即zxzxffxu zyzyffyu xxf yyf zzf 0zzf :),(),(满满足足的的驻驻点点坐坐标标000zyxyxuu )(),(Bzyxfffzzyyxx0000 )(),(),(Azyxzyxfu0 ),(yxuu 隐隐函函数数高等数学第八节多元函数的极值及其求法15乘数法乘数法Lagrange),(),(),(zyxzyxfzyxL 作作辅辅助助函函数数.),(),(的的极极值值求求设设uzyxzyxfu0 为待定常数为待定常数 :),(),(得得的的驻驻点点注注意意到到求求0zyxzyxL 0000),(),(),(),

14、(),(),(),(zyxzyxzyxfzyxzyxfzyxzyxfzzyyxx 极值点极值点解此方程组得到可能的解此方程组得到可能的),(, ),(111000zyxzyx)( 条件极值条件极值.然后判定然后判定)(B此即方程组此即方程组ofL 高等数学第八节多元函数的极值及其求法16),(),(),(yxyxfyxL 作作辅辅助助函函数数.),(),(,的的极极值值求求设设类类似似地地uyxyxfu0 为待定常数为待定常数 :),(),(得得的驻点注意到的驻点注意到求求0yxyxL 000),(),(),(),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 极值点极值点解此方程组得到可能的解此方

15、程组得到可能的),(, ),(1100yxyx)( 条件极值条件极值.然后判定然后判定ofL 高等数学第八节多元函数的极值及其求法17.的体积的体积而体积为最大的长方体而体积为最大的长方体求表面积为求表面积为例例27a,.zyx设长方体的三棱长为设长方体的三棱长为解解zyxV 则则体体积积:归结为求极值归结为求极值02222axzzyyxzyxV , ),(yxzxzyV ),(yxzxzy222222 02222axzzyyxyxyxzxzxzyzy)(唯唯一一解解6azyx定存在定存在由实际问题本身可知一由实际问题本身可知一这是唯一的可能极值点这是唯一的可能极值点 ,最大值最大值.就是所求

16、最大值就是所求最大值所以所以66633aazyxV)( 正方体正方体 /VV0高等数学第八节多元函数的极值及其求法18)()(zyxzxyzxxzyy02222axzzyyxyxyxzxzxzyzy附附页页xyzxzyxz 同理同理高等数学第八节多元函数的极值及其求法19.),(为可能极值点为可能极值点由此解出由此解出tzyx.),(),(),(:的极值的极值求求设设推广推广utzyxtzyxtzyxfu00 ),(),(tzyxftzyxL设设),(),(tzyxtzyx 21:),(程程联联立立得得的的驻驻点点的的方方程程及及条条件件方方求求tzyxL00000021212121),(),

17、(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(tzyxtzyxtzyxtzyxtzyxftzyxtzyxtzyxftzyxtzyxtzyxftzyxtzyxtzyxftttzzzyyyxxx otzyxL),(高等数学第八节多元函数的极值及其求法20 , ),(tzyxfffff截成一截成一被平面被平面抛物面抛物面例例1822zyxyxz.,与与最最短短距距离离求求原原点点到到这这椭椭圆圆的的最最长长椭椭圆圆的最大最小的最大最小归结为下面的归结为下面的解解2222zyxdu.:值问题值问题00),(),(),(tzyxtzyxtzyxfu 00),(),(tzyxt

18、zyx 0 f01022222zyxzyxzyxu高等数学第八节多元函数的极值及其求法2101022222zyxzyxzyxu0100202202222zyxzyxzyyxx , ),(zyxu222, ),(122yx . ),(111 写出前三个方程写出前三个方程由由0 u:解解得得驻驻点点坐坐标标32213111zyx32213222zyx高等数学第八节多元函数的极值及其求法22xz210100202202222zyxzyxzyyxx 附附页页022022 yx)()(代入后两个方程代入后两个方程yx 12022zxzx1222xx21xx,高等数学第八节多元函数的极值及其求法23.,离离分分别别对对应应最最长长与与最最短短距距这这里里只只有有两两个个驻驻点点,长与最短距离一定存在长与最短距离一定存在原点到一空间椭圆的最原点到一空间椭圆的最3592222222zyxd3592121211zyxd.离离为原点到椭圆的最长距为原点到椭圆的最长距3592d.离离为原点到椭圆的最短距为原点到椭圆的最短距3591 d32213111zyx32213222zyx高等数学第八节多元函数的极值及其求法24小结：小结：:),(极值的方法极值的方法求二元函数求二元函数yxfz , ),(, ),(:.2211yxyx找出可能的极值点找出可能的极值点一一,. 偏偏导导数数不不存存在在