高考数学(文科B(课标3卷地区通用课件坐标系与参数方程

1、五年高考A组统一命题课标卷题组考点坐标系与参数方程1. （2018课标全国III,22,10分）选修 U:坐标系与参数方程X = COS&,L在平面直角坐标系2）：中的参数方程为y = sn0（9为参数），过点（0, 血）且倾斜角为a的直 线/与OO交于43两点.（1）求a的取值范围；求A3中点P的轨迹的参数方程.解析本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系.(1)00的直角坐标方程为F+y1.当g彳时，/与OO交于两点.当=/= 时，记tan a我贝I的方程为尸妆2当且仅当v 1时，/与O O交于两点，解得X1或心1, IViTFl即a(-耳或aW(兰(42丿 (2 4丿综上,的

2、取值范围是(諾(2的参数方程为x = tcosa.y = -y/2+tsina为参数冷3Qa4 )设对应的参数分别为tAMP,则侶且f满足尸-27sina+l=0 2于是心+佔2炉in ag炉in a.x = tp cos a,又点P的坐标(x,y)满足彳r-.y = -yJ2 +tp sin a所以点p的轨迹的参数方程是Tsin2V2_V22cos 2aa为参数，兰va v43tt.Tj思路分析(l)将O o的参数方程化为普通方程分直线斜率存在与不存在两种 情况讨论一由点到直线的距离公式得到关于斜率的不等式-得出斜率的取值范围,进而得到倾斜角的取值范围(2) 利用中点坐标公式建立A、B、P坐

3、标的关系,即可求P的轨迹方程.易错警示容易忽略直线斜率不存在的情形,求倾斜角时要注意斜率是否存在.2. (2018课标全国I ,22,10分)选修坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线G的方程为)=闭刘+2.以坐标原点为极点丸轴正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线G的极坐标方程为p+2pcos 0-3=0.(1) 求G的直角坐标方程；(2) 若G与G有且仅有三个公共点，求G的方程.解析 由x=pcos &,)=psin &得G的直角坐标方程为(x+l)+y=4.由知G是圆心为A(1,O),半径为2的圆.由题设知,C是过点3(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为仁y轴左边的射线为

4、厶.由于B在圆G的外面，故G与G有且仅有三个公共点等价于人与G只有一个公共点且厶与G有两 个公共点，或2与G只有一个公共点且厶与G有两个公共点.当人与G只有一个公共点时A到人所在直线的距离为2,所以早旦=2,故或&0.经检验，当R=0时仏与G没有公共点；当R二上时，人与G只有一个公共点仏与G有两个公共点.3当厶与G只有一个公共点时A到厶所在直线的距离为2,所以1+21“故“或+ 13经检验，当R=0时仏与G没有公共点；当R二纟时,厶与G没有公共点.3综上，所求C的方程为)=4 bd+2.3方法技巧极坐标方程与直角坐标方程互化的技巧：(1) 巧用极坐标方程两边同乘p或同时平方的技巧，将极坐标方程

5、构造成含有“cos apsin的 形式，然后利用公式代入化简得到直角坐标方程.(2) 巧借两角和、差公式转化成9Sin(殛Z)或pcos(0a)的结构形式,进而利用互化公式得到直角 坐标方程.(3) 将直角坐标方程中的兀转化为pcos。，将y转化为“sin 0,即可得到其极坐标方程.3. (2018课标全国II ,22,10分)选修k坐标系与参数方程在直角坐标系xO)：中，曲线C的参数方程为X = 2aCOS0为参数),直线/的参数方程为 y = 4sin0O),M的极坐标为仏&)0).由题设知IOP=p,OM=Pi= COS&由IOMIIOPI=16得G的极坐标方程为p=4cos %90).

6、因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x #= 0).设点B的极坐标为血,幺)(妙0).由题设知IOAI=2q=4cos %于是OAB的面积S=|lOA|.-sinZAOB=4cos a- sinf a- 当幺=壬时,S取得最大俏.2+石.12所以 OA3面积的最大值为2+石.5. （2017课标全国I ,22,10分）选修坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为f = 3C（0为参数）,直线/的参数方程为y = sinay = l-t为参数）.（1）若a=l,求C与/的交点坐标；若C上的点到/距离的最大值为而，求U.解析本题考查极坐标与参数方程的应用.曲线C的普通方

7、程为斗+炖 当时，直线/的普通方程为x+4y3=0.x + 4y-3 = 0, *k+/ = i21252425从而C与/的交点坐标为(3,0),21 242525 丿直线/的普通方程为x+4y4=0,故C上的点(3cos 9,sin 0)到/的距离为厶13 cos 3 + 4 sin 6-a-4Vi?当时，的最大值为翌,V17由题设得翌二庐，VT7所以4=8；当x-4时，的最大值为芳， 由题设得亏#二佰，所以心16. 综上,a=8或=16.方法总结极坐标与参数方程的应用./9 =少+ 2 ,tan =x(1)极坐标方程与直角坐标方程的相互转化.Op = pcos&,（&为参数）.y = p

8、sin 0 (2)参数方程转化为普通方程.消去参数，若参数为 y，一般利用sZe+cos淤1消去，若参数为“广，一般直接代入消参即可.6.(2017课标全国III,22,10分)选修坐标系与参数方程在直角坐标系xO)：中,直线人的参数方程为X = 一2 + 2, m (my = T为参数)，直线厶的参数方程为, y = kt为参数).设人与厶的交点为P,当k变化时的轨迹为曲线C.(1) 写出C的普通方程；(2) 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设/3:p(cos &+sin 0)- V2=0,M为厶与C的交点，求M的极径.解析消去参数/得人的普通方程人:)=心2);消去参数加得

9、厶的普通方程Q坯S+2).y = k(X-2), 设P(x,y),由题设得 1“y = -(x + 2).k消去k得疋$=4(y =# 0).所以C的普通方程为xf=4(y工0).(2)解法一:C的极坐标方程为/九cos8sin&)=4(Ov027r,0工兀).联立2(cs叨 一sin。) = 4,p(cos 0 + sin 0) - y/2 = 0得cos 0-sin &=2(cos 9+sin 0).故 tan 9=-l,从而 cos:9=2_ ,sin2(9=丄，31010代入/(cos沆sin昭)=4得p-5,所以交点M的极径为厉.解法二:由h：p(cos d+sin 0)-V2=O可

10、得厶的普通方程兀+尸血.由心是才=4得(兀+刃=4, 故兀)=2.可得x-y = 2/2,3迈2 l 则IOMI二V2 尸一亍所以交点M的极径为 思路分析（1）应用直线的参数方程，分别求得直线/丄的普通方程，消去参数可得交点的轨 迹C的方程为兀52=4（）# 0）.解法一:将C:FA=40#0）化为极坐标方程，联立直线人与C的极坐标方程可求得点M的极径. 解法二:将厶的极坐标方程化为普通方程兀+尸2,结合疋夕=4（）#0）求得点M的坐标，进而可得厶与 C的交点M的极径.7. （2016课标全国III,23,10分）选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线G的参数方程为为参数）.以坐

11、标原点为极点，以兀轴的 y = since正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为psin” +彳=2.（1）写出C的普通方程和G的直角坐标方程；设点P在C上，点0在G上，求IPQ啲最小值及此时P的直角坐标.8. (2016课标全国II ,23,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y=25.(1)以坐标原点为极点，兀轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程;直线啲参数方程是X = tCSa，(t参数)，/与C交于A,B两点，肋I二価,求/的斜率. y = tsina9. (2016课标全国I ,23,10分)选修44:坐标系与参数方程在

12、直角坐标系2)冲，曲线C的参数方程为二:詁为参数,。0).在以坐标原点为极点/轴 正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G:p=4cos 0.(1)说明G是哪一种曲线，并将C的方程化为极坐标方程；直线G的极坐标方程为&=如其中偽满足伽=2,若曲线C与C?的公共点都在G上，求a解析 消去参数/得到C的普通方程:*Hyl)re是以(0,1)为圆心皿为半径的圆.将epcos 0,y=psin &代入C的普通方程中，得到G的极坐标方程为八2psin 0+l-a2=O.(2)曲线G,G的公共点的极坐标满足方程组p1 -2psin& + l - / =0,*p = 4cos& 若p 工 0,由方程组得 16cos

13、2(9-8sin &cos 9+1 -a2=0,由己知tan 0=2,可得 16cos2(9-8sin &cos &=0,从而 1 -cr=0,解得1(舍去)或心.0=1时，极点也为G,G的公共点，在G上.所以d=l.易错警示 对“互化”过程不熟悉,对参数和极坐标的几何意义理解不透彻是失分的主要原 因.评析 本题考查了圆的极坐标方程和参数方程.熟练掌握极坐标方程与直角坐标方程、参数 方程与普通方程的互化是求解的关键.10. (2015课标 I ,23,10分,0.72)在直角坐标系兀Oy中，直线G：x=-2,fflC2:(x-l)24-(-2)2=l,W坐标原 点为极点注轴的正半轴为极轴建立极

14、坐标系.(1) 求的极坐标方程；(2) 若直线G的极坐标方程为&二扌SR),设G与G的交点为M,N,求GMN的面积.11. （2015课标II ,23,10分,0.332）选修4T:坐标系与参数方程在直角坐标系2）冲，曲线G： 2心也（为参数，泮0）,其中0WqVtl在以O为极点,x轴正半轴为 y = tsna极轴的极坐标系中，曲线C2:p=2sin 0,G：p=2巧cos Q.（1）求G与G交点的直角坐标；若G与C?相交于点A,C与G相交于点5求SBI的最大值.解析 曲线C2的直角坐标方程为#+八2)=0,曲线G的直角坐标方程为F+产2石*0.x2 + y2-2y = 0,疋+U解得V3或

15、y = 0以联立T532所以G与G交点的直角坐标为(0,0)和,扌. /曲线C的极坐标方程为0=处9 e R,p #= 0),其中OWqVtl因此4的极坐标为(2sin a,aB的极坐标为(2馅cos a,a).所以IABI=l2sin a2cos al=4 sin -彳 当妇2时,IA3I取得最大值，最大值为4.6评析 本题考查了极坐标和参数方程，考查了最值问题.利用极径的几何意义建立关系式是求 解关键.12. (2014课标II ,23,10分,0.462)选修4T:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点/轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程 为p=2coso,y

16、 .(1)求c的参数方程；设点D在C,C在D处的切线与直线/:)=馅兀+2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的 坐标.解析(1)C的普通方程为(x-l)2+y2=l(Oyl). 可得C的参数方程为“1 + COS*为参数 OW0y = sin t(2)设D(l+cos r,sin t).由(1)知C是以G(1,O)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与/垂直，所以直线GD与/的斜率相同.tan匸屈匸彳.故D的直角坐标为113. （2014课标I ,23,10分）选修4一I:坐标系与参数方程己知曲线C:刍+注1,直线屮科冷（为参数）.49y = 2-2t（1）写出曲线C的参数方

17、程，直线/的普通方程；过曲线C上任意一点P作与/夹角为30。的直线，交吁点A,求IPA啲最大值与最小值.自主命题省（区、市）卷题组考点 坐标系与参数方程1. （2015湖南,12,5分）在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为*2sin &,则曲线C的直角坐标方程为.2. （2015广东,14,5分）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xO）：中,以原点O为极点必轴 的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C.的极坐标方程为p（cos &+sin 0）=2,曲线G的参数方程为 lx=2,曲线C的方程为9=4cos &,求直线/被曲线C截得的弦

18、长.连接08,因为Q4为直径，所以上OBA=g 所以 AB=4cos-=2V3.6因此,直线/被曲线C截得的弦长为2羽.一题多解把直线和曲线的极坐标方程化成直角坐标方程得到/:rVy-4=0,C:F+b4x=0,则C:(x-2)2+y=4,半径/?=2,圆心C(2,0倒/的距离J=j = l,此,直线/被曲线C截得的眩长为2俯-宀 25. （2016江苏,21C,10分）选修4一I:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，己知直线/的参数方程为x = + t,2a为参数），椭圆c的参数方程为W （&为参数）.设直线/与椭圆C相交于43两点,求线段的长. y = 2sin&6. (2015陕西

19、,23,10分)选修 H:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线/的参数方程为a为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系的极坐标方程sin 0.(1)写出OC的直角坐标方程;(2)P为直线/上一动点，当P至0圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.7. (2014辽宁,23,10分)选修 H:坐标系与参数方程 将圆卡+才=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程；设直线/:2兀+y2二0与C的交点为只,以坐标原点为极点，兀轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 过线段Pf 2的中点且与/垂直的直线的极坐标方程.解析(1)设(兀心)为圆上的点，经变换

20、为C上点(心),依题意，得辽丁 y-y 由#+炸1得F+住丫=1,即曲线C的方程为疋+匚1.12丿4故C的参数方程为f = osz，(r为参数). y = 2sinrx = 0, y = 2.x2. r =1由才解得2x + y 2 = 0J不妨令只(1,0),“0,2),则线段时的中点坐标为住1,所求直线斜率为碍，于是所求直线方程为 y-l= x，21 2)化为极坐标方程，并整理得2pcos 0-4/?sin &=3,即/?=.4sin& - 2cos0评析 本题考查了图象的伸缩变换、椭圆的参数方程及极坐标等知识，考查了运算求解能力.C组教师专用题组1. （2014广东,14,5分）（坐标系

21、与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C与C?的方程分别为2pcos扫sin &与pcos 0=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系,则曲线G与G交点的直角坐标为X-2. （2014湖南,12,5分）在平面直角坐标系中，曲线）22 +务,a为参数）的普通方程为2V yt3. (2013课标全国II,23,10分)已知动点化0都在曲线C:f ：.(为参数)上，对应参数分别为匸 y = 2sinra 与 t=2a(0a)=4.标系.已知直线/:V2psin & +经过点”4伍,彳(1)求直线/和曲线C的直角坐标方程;若点0为曲线C上任意一点，且点0到直线/的距离为

22、，求的最小值.4. (2018云南昆明一中测试)在直角坐标系xOy中，已知直线/的参数方程为2 (为参数),y = tU2以原点O为极点/轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为psin2&=4cos 0. (1)求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；若点M的坐标为(2,1),直线/与曲线C交于两点，求IMAI+IMB啲值.x = 2r,解析由2 （为参数）消去参数r,得直线/的普通方程为x+yl=O, v = 1 f 2由/sin29=4cos &,两边同乘p,得psin0=4pcos &,即）F=4x, 故曲线C的直角坐标方程为才=4x.X = 2 +牙 F,nr在2 （为

23、参数）中，令存r, y = -t2x = 2芈；得直线/的参数方程的标准形式为厂（f为参数）, 尸-1 + %、 2代入曲线C:y2=4x,整理得（f ）32 歼14=0.设A0所对应的参数分别为儿血则儿+化=2血,儿行=14/ = 0,： AB=pB-pA=4 3-2 73=2 羽.V3x =r + a，7.（2017四川南充模拟）已知过点P,0）的直线/的参数方程是2a为参数），以平面直角）冷坐标系的原点为极点，兀轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为X4COS&（1）求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；若直线/与曲线C交于4方两点，试问是否存在实数使得I品+云1=6

24、且11=4?若存在，求出实数。的值;若不存在，说明理由.8. （2017广西桂林模拟）已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合屈C的3X = / + C/, 极坐标方程是p=2“sin e,直线/的参数方程是45（为参数）.r（1）若a=2,M为直线/与x轴的交点,N是圆C上一动点，求IMM的最大值;若直线/被圆C截得的弦长为2石，求“的值.9. (2017贵州黔东南州模拟)在极坐标系中，点M的坐标为卩,彳，曲线C的方程为尸2血sin4 +冬.以极点为坐标原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，斜率为1的直线/经过 I 4丿点M.(1) 求直线/和曲线C的直角坐标方程；(

25、2) 若P为曲线C上任意一点,直线/和曲线C相交于两点，求PAB面积的最大值.解析（I）：在极坐标系中，点M的坐标为3,彳,.x=3cosf =0,y=3sin 彳=3,点M的直角坐标为（0,3）,直线/的方程为）=讥+3,由p=2Vsin& +扌，得”=2psin /2,-1 的直角坐标为(2,2),.yU=2,曲线C在点(2,2)处的切线方程为y2=2(r2), 即直线/的直角坐标方程为2x-y-2=0.(2) IP为椭圆兰+=1上一点,设卩(73 cos a,2sin a),34则P到直线/的距离的cos 2siw-2l4sina- 0).y = 2sina124(2)设Q(2/3 co

26、s a,2sin a)(0aTt)点P的极坐标(4臂)化为直角坐标为(4,4).则M(馅 cos a+2,sin a+2).点M到直线/的距离辰os V22 sin打+ iosina -101 3丿V2当sin”_分1,即z=时，等号成立.点M到直线/的距离的最大值为6 VL名师点睛本题考查极坐标和直角坐标的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直角坐标方程与参数方程的互化，点到直线的距离公式的应用,三角函数的最值问题的应用.其中把极坐 标转化成直角坐标,进一步利用点到直线的距离公式是解题的关键.2. (2018广西南宁适应性考试)在极坐标系中设极点O到直线/的距离为2.由点O向直线/作垂线

27、OA,垂足为A,射线04的极坐标方程为&二？S$0).6(1) 求直线/的极坐标方程；(2) 以极点O为平面直角坐标系的原点,极轴为兀轴的正半轴，建立直角坐标系.若点P在直线/上， 将向量几按逆时针旋转彳，再伸缩为原来的疋0)倍得到向量ok使得I 6kloMl=8.求动点M 的轨迹C的直角坐标方程.解析解法一:在/上任取一点q(p，由题意可知点A的极坐标为2,?,0-=2,=2,则？cos（0-化简得动点M的轨迹C的极坐标方程为p=4cos） S0）.所以点M的轨迹C的直角坐标方程疋+），+2r 2羽）=0（曲0,）# 0）.3. (2017云南大理统考)己知在直角坐标系中，曲线C的参数方程为

28、胃节警%为参数)，现以 y = l + 2sin原点为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为 cos&-sm&(1) 求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；(2) 在曲线C上是否存在一点P,使点P到直线/的距离最小?若存在，求出距离的最小值及点P的 直角坐标;若不存在,请说明理由.解析 曲线c的参数方程；二：；：；9为参数）化成普通方程为（小+（）小4,由直线/的极坐标方程可得直角坐标方程为（2）若点P是曲线（?上任意一点，则可设P（ 1 +2cos 卩,1 +2sin 卩），设其到直线/的距离为，则11 + 2 cos 一 （1 + 2 sin ） - 412V2co

29、sf + -4化简得厶 当（p+-=2kn伙WZ）,艮卩4（p=2kn-兰伙 W Z）时,6/min=l2-2 721=22-2,4此时点P的直角坐标为（1+血,1血）.4. (2017广西柳州模拟)在极坐标系中，曲线G的方程为尸1,以极点为原点，极轴为兀轴的非负半轴建立平面直角坐标系，己知曲线G的参数方程为兀=1+丄匚2)=2 +孕(为参数).(1)求曲线G的直角坐标方程和曲线G的普通方程;(2)曲线C上的点经过坐标变换f，= U得到曲线G,若P(x,y)是曲线G上的一动点，求x+2馅y的 y = y取值范围.由八力,得X =产；代入方1, bF I,得也（忙1,4即曲线G的方程为S+y=l

30、.4则曲线G的参数方程为$ = 2cos&,（&为参数）, y = sin6设点P（2cos 9,sin 0）,于是x+2y/jy=2cos 0+23 sin &=4sin从而-4Wx+2 的）W4,即x+2亦y的取值范围是-4,4 5. (2017云南模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点/轴的非负半轴为极轴建立极 坐标系.已知曲线C的极坐标方程为p=2sin(0 + *倾斜角为彳，且经过定点P(0,l)的直线/与 曲线C交于M,N两点.(1)写出直线/的参数方程的标准形式，并求曲线C的直角坐标方程；求亠+丄的值.I PM 丨 PN解析倾斜角为彳,1x = t,2羽a为参数）. y = 1 +271x = rcos ,且经过定点mo的直线/的参数方程为3 a为参数），即 ,71y = l + rsin 3曲线C的极坐标方程为0=2血sin 6 + -,整理得”=2pcos 0+2psin &,可得曲线C的直角坐标方程为 x2+y2=2x+2y.1x = 将直线/的参数方程.J厂a为参数)代入曲线C