线性代数第五章特征值,特征向量,矩阵相似

1、第五章第五章 特征值、特征向量、矩特征值、特征向量、矩阵的相似阵的相似 1 1 特征值、特征向量特征值、特征向量v ve ec ct to or r) )。s st ti ic cc ch ha ar ra ac ct te er ri i c ct to or r, ,向向量量( (e ei ig ge en nv ve e的的特特征征) )特特征征值值是是A A的的属属于于( (或或对对应应于于00X，和和非非零零的的n n维维列列向向量量存存在在复复数数，如如果果为为复复数数域域上上的的n n阶阶矩矩阵阵设设 定定义义1 100XAv va al lu ue e) )， s st ti

2、ic cc ch ha ar ra ac ct te er ri i e e, ,( (e ei ig ge en nv va al lu u是是A A的的一一个个特特征征值值，则则称称使使得得0000XAX特特征征值值2 2的的特特征征向向量量。是是A A的的属属于于值值，所所以以2 2是是A A的的一一个个特特征征011X，例例0112011000220111,000220111因为A阵阵。如如不不加加以以说说明明，都都是是方方阵阵而而言言的的，本本章章的的矩矩阵阵注注：由由于于特特征征值值是是对对方方，的的特特征征向向量量，且且值值是是A A的的属属于于同同一一个个特特征征若若 性性质质

3、1 10,21021 XXXX的的特特征征向向量量。也也是是A A的的属属于于则则021XX 2121)(AXAXXXA证证明明： )(2102010XXXX为为任任意意非非零零常常数数，向向量量，的的特特征征是是A A的的属属于于特特征征值值若若 性性质质2 2kX00向向量量。的的，也也是是A A的的属属于于特特征征值值的的非非零零线线性性组组合合征征向向量量的的特特一一个个特特征征值值由由此此可可知知，A A的的属属于于同同征特01210)0(,tiiitXkXXX的的特特征征向向量量。也也是是A A的的属属于于特特征征值值则则00kX结结论论成成立立。，证证明明：因因为为)()()()

4、(,00000000kXXkAXkkXAkX然然数数，是是A A的的特特征征值值，m m为为自自设设 性性质质3 30的特征值。的特征值。是是则则mmA0；，则则，使使得得由由定定义义知知，存存在在) )证证明明：( (02000000020000)()()(0XAXXAAXAXAXAXX首先，数学归纳法3 3中中m m可可以以为为整整数数。注注：当当A A可可逆逆时时，性性质质，设设01001XXAmm其次，所以结论成立。所以结论成立。 则则。00010010010)()()(XAXXAXAAXAmmmmm) )。所所以以与与特特征征向向量量的的定定义义矛矛盾盾，。故故若若则则有有可可逆逆，

5、。若若，使使得得向向量量存存在在特特征征的的任任意意一一个个特特征征值值，则则是是( (设设的的特特征征值值。是是，且且因因为为当当A A可可逆逆时时，可可得得000000000100000001100XXAXAXAXXAA的的特特征征值值。是是数数m m，的的特特征征值值。所所以以对对于于整整是是m m为为自自然然数数，- -m m为为负负整整数数，则则的的特特征征值值；如如果果是是如如果果m m是是自自然然数数，的的特特征征值值；是是如如果果m m为为零零，mmmmmmmmAAAAAEA01100000001 )()(,为为一一个个数数，为为n n阶阶矩矩阵阵，设设 定定义义2 2nija

6、A)(的的特特征征矩矩阵阵，为为称称AAE ) )。p po ol ly yn no om mi ia al l t te er ri is st ti ic cc ch ha ar ra ac ca al l, ,e en np po ol ly yn no om mi i的的特特征征多多项项式式( (e ei ig g为为 称称特特征征矩矩阵阵的的行行列列式式AaaaaaaaaaAEfnnnnnn212222111211)(的非零解。的非零解。齐次线性方程组齐次线性方程组是是的特征向量的特征向量属于属于是是 性质4性质40)(0000XAEXAX0, 00000XAXX0000, 0XAX

7、X证明：证明：0, 0)(000XXAE充分必要条件立即得：充分必要条件立即得：程组有非零解的程组有非零解的由性质4与齐次线性方由性质4与齐次线性方的的根根。是是特特征征多多项项式式即即，的的特特征征值值是是 : :性性质质5 5AEfAEA)(0000) )。是是不不全全为为零零的的任任意意常常数数( (其其中中量量为为的的全全部部特特征征向向的的属属于于，则则系系的的一一个个基基础础解解次次线线性性方方程程组组，求求出出齐齐对对于于每每个个不不同同的的特特征征值值( (3 3) )；全全部部特特征征值值的的的的全全部部根根，得得求求出出( (2 2) )；计计算算特特征征多多项项式式( (

8、1 1) )tttjtjjnkkkXkXkXkAXXXXAEAAEAE,0,02122112121一一般般程程序序：的的特特征征值值和和特特征征向向量量的的矩矩阵阵性性质质。得得到到求求n n阶阶由由特特征征值值和和特特征征向向量量的的A特特征征多多项项式式。三三角角形形矩矩阵阵，计计算算A A的的的的对对角角元元素素分分别别为为思思考考题题：如如果果矩矩阵阵A A是是。，可可知知计计算算：( (这这里里只只说说明明, ,数数为为1 1，的的n n次次多多项项式式，首首项项系系为为 特特征征多多项项式式由由行行列列式式的的定定义义可可以以得得nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaAaa

9、aaaaaaaaffAaAaaaaaaaaAEf,)()()()()()()(22112122221112112211111110011 niiinnnnnnijatrAtraceAAaaaAaAn12211212121),(.).2(;|).1(,)(:记记为为的的迹迹的的主主对对角角元元素素之之和和为为则则：的的特特征征值值为为阶阶矩矩阵阵设设定定理理 当是当是的特征值时，的特征值时，的特征多项的特征多项12,n 式可分解为式可分解为 fEA 12n 112121nnnnn 0, 121nn 12.nA 因为行列式因为行列式它的展开式中，主对角线上元素的乘积它的展开式中，主对角线上元素的乘

10、积 1122nnaaa EA 是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至多含个主对角线上的元素，多含个主对角线上的元素，含的项只能在主对角线上元素的乘积项中含的项只能在主对角线上元素的乘积项中1nn 与与 11122nnnnEAaaa 故有故有比较比较，有，有121122.nnnaaa 111212122212nnnnnnaaaaaaaaa 因此，特征多项式中因此，特征多项式中( (三三重重) )。所所以以特特征征值值 解解：A A的的特特征征多多项项式式的的特特征征向向量量。求求A A的的特特征征值值与与对对应应, ,设设 例例3 311

11、0017535212201335212201335212132 )(AEA是是非非零零的的任任意意常常数数。为为1 1的的全全部部特特征征向向量量- -，属属于于，得得基基础础解解系系X X令令为为自自由由未未知知量量。所所在在的的位位置置可可知知，秩秩为为2 2，根根据据非非零零首首元元，初初等等行行变变换换，对对系系数数矩矩阵阵施施行行时时，解解方方程程组组当当1 1kkxxAEXAE,11111110001101012133251011013252130)(1331 ，时时，解解方方程程组组当当。，二二重重A A的的特特征征值值为为解解：A A的的特特征征多多项项式式向向量量。特特征征求

12、求A A的的特特征征值值与与对对应应的的例例4 4设设0161651338428001338428001212 XAEAEA)()()( 为为不不全全为为零零的的常常数数) )。( (，1 1的的全全部部特特征征向向量量为为- -属属于于，得得基基础础解解系系和和分分别别令令，知知，自自由由未未知知量量为为根根据据非非零零首首元元的的位位置置可可，212211213232322010832008000000438438438000kkXkXkXXxxxxxxAE, 是非零的任意常数。是非零的任意常数。向量为向量为征征，所以属于6的全部特，所以属于6的全部特，得，得令令，时，解时，解当当kkXX

13、xAEXAE,)(33311010001100013384480076066 从特征值和特征向量的性质可以看出，矩从特征值和特征向量的性质可以看出，矩阵阵A的一个特征值对应若干个线性无关的的一个特征值对应若干个线性无关的特征向量；但反之，一个特征向量只能属特征向量；但反之，一个特征向量只能属于一个特征值。于一个特征值。 满满足足：，的的特特征征向向量量，若若有有为为某某个个矩矩阵阵设设事事实实上上210, AX020010,XAXXAX 有有而而或或则则有有, 0, 0)(00210201 XXXX 2121, 0 .:,. 521212121的的特特征征向向量量不不是是证证明明对对应应的的特

14、特征征向向量量分分别别是是的的两两个个不不同同的的特特征征值值是是矩矩阵阵设设例例AXXXXA 则则：如如果果用用反反证证法法证证明明),()(,:2102122211XXXXAXAXXAX 20102211XXXX 或或0)()(220110 XX )1(得得式式两两端端左左乘乘则则,)1(A0)()(22201110 XX )2(得得式式两两端端数数乘乘用用,)1(1 0)()(21201110 XX )3(:),3()2(得得 0)(21220 X )4(201212202:, 0, 0)(, 0 得得而而有有由由X.,)1()2( ,102 有有同同理理.,2121的的特特征征向向量量

15、不不是是故故与与假假设设矛矛盾盾于于是是导导出出AXX 0)()(22201110XX)2(的特征值。的特征值。是矩阵是矩阵则则是任意常数，是任意常数，是矩阵A的特征值，是矩阵A的特征值，设设 例6例6kAkk00的特征值。的特征值。是矩阵是矩阵所以所以，而，而，使得，使得证明：存在证明：存在kAkXkXkAXkXkAXAXX00000000000)()()()(0的特征值相同。的特征值相同。矩阵A与A矩阵A与A 例7例7T T。项式项式证明：矩阵A的特征多证明：矩阵A的特征多TTAEAEAE)(1 1。A A的的特特征征值值只只能能为为0 0或或，证证明明：满满足足若若矩矩阵阵 例例8 8AAA2。，可可知知由由于于，于于是是而而，使使得得证证明明：存存在在1