线性代数第1章高教版江龙等编

1、 目录 上页 下页 返回 结束 第一章第一章 线性方程组线性方程组1.1 1.1 线性方程组线性方程组 1.2 1.2 矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换 1.3 1.3 线性方程组的矩阵解法线性方程组的矩阵解法 目录 上页 下页 返回 结束 1.1 1.1 线性方程组线性方程组 一一 引例引例解解路口路口A：1450 x 2=610 x 路口路口B：路口路口C：路口路口D：2520 x 3=480 x 3390 x 4=600 x 4640 x 1=310 x 1223341416040210330 xxxxxxxx 即即1 交通问题交通问题 目录 上页 下页 返回 结束 2 化学方程式化学方

2、程式 解解适当地选择适当地选择 1234,xxxx，使化学反应的方程式，使化学反应的方程式 12223246126xCOx H Ox Ox C H O为平衡方程式为平衡方程式.令方程式两边的碳、氢和氧原子分别相等令方程式两边的碳、氢和氧原子分别相等, 得得141234246226212xxxxxxxx1412342460: 226060 xxxxxxxx即 目录 上页 下页 返回 结束 n元线性方程组的一般形式元线性方程组的一般形式: 11 11221121 1222221 122. . . . .nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb齐次线性方程组齐次线

3、性方程组: 非齐次线性方程组非齐次线性方程组: 0(1,2,.,)ibim0ib不全为线性方程组的解集线性方程组的解集: 方程组解的全体方程组解的全体 二二. 基本概念基本概念 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 如何判别方程组无解？有唯一解？有无穷多解？如何判别方程组无解？有唯一解？有无穷多解？(2) 如何求方程组的通解？如何求方程组的通解？要解决的问题：要解决的问题：11 11221121 1222221 122. . . . .nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb 目录 上页 下页 返回 结束 三三 解法解法1 线性方程组的初等变换线性方程组的初

4、等变换 （1）交换任意两个方程的位置；）交换任意两个方程的位置； （2）任一个方程的两边同乘一个非零的实数；）任一个方程的两边同乘一个非零的实数； （3）任一个方程的倍数加到另一个方程上）任一个方程的倍数加到另一个方程上 【注】【注】线性方程组的初等变换是同解变换线性方程组的初等变换是同解变换2 求解举例求解举例 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1 解线性方程组解线性方程组 12312312322421442xxxxxxxxx解解 (1)(2)12312312321224442xxxxxxxxx(2) 2 (1) 12321xxx23322xx123442xxx1231231232242

5、1442xxxxxxxxx(3) 4 (1) 1232321322xxxxx23342xx 目录 上页 下页 返回 结束 (3) (2) 1232321322xxxxx324x 123232321322342xxxxxxx 回代回代 342x231(22)3xx12312xxx 22 1 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.2 解引例解引例1.1中的方程组中的方程组 1223341416040210330 xxxxxxxx 解解 1223341416040210330 xxxxxxxx (4) (1) 1223342416040210170 xxxxxxxx 目录 上页 下页 返回 结束 (

6、4) (2) 1223343416040210210 xxxxxxxx 142434330170210 xxxxxx4()xk k设为任意实数 ，则方程组的解为1234330170210 xkxkxkxk 目录 上页 下页 返回 结束 矩阵通常用大写字母矩阵通常用大写字母 记之记之.A B,矩阵的第矩阵的第 i 行第行第 j 列列元素元素,简称简称 (i , j) 元素元素. 111212122212nnmmmnaaaaaaaaamn 称为称为 m行行n列矩阵列矩阵，简称，简称 矩阵矩阵. 定义定义 由由 个数个数(1 2,1 2, )ijaimjn ， ，；， ，mn 排成的排成的 m 行行

7、 n 列的数表列的数表ija其中其中 称为该称为该1.2 目录 上页 下页 返回 结束 或或 或或 ()ijm nAa m nA ()ijAa 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 为了强调矩阵为了强调矩阵A的元素的元素 或阶数或阶数 ，常把，常把mn ija矩阵矩阵A简写为简写为 目录 上页 下页 返回 结束 特别地特别地(1) 当当 时时, 称称 A 为为 n 阶方阵阶方阵或或 n 阶矩阵阶矩阵, 即即mn 121212121122nnnnnnaaaaaaaAaa 其中其中 称为称为 A 的的主对角元主对角元.1122,nnaaa(2) 11的矩阵的矩阵 视同普通的数视

8、同普通的数 .( )Aa a 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 只有一行的矩阵只有一行的矩阵 naaaA,21 称为行矩阵或称为行矩阵或 n 维行向量维行向量. ai 称为称为A的第的第 i 个个分量分量.称为列矩阵或称为列矩阵或 m 维列向量维列向量. ai 称为称为A的第的第 i 个个分量分量.(4) 只有一列的矩阵只有一列的矩阵 maaaA21(5) 元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，记为，记为O . 目录 上页 下页 返回 结束 （P6）记作记作12diag(,)nDd dd 12nddDd 1. 对角矩阵对角矩阵(约定约定:未写出的元素全为零未写出的元素全为零

9、)A 2. 数量矩阵数量矩阵 目录 上页 下页 返回 结束 111E 3. 单位矩阵单位矩阵4. .上上( (下下) )三角矩阵三角矩阵11121222nnnnaaaaaAa 上三角上三角下三角下三角11212212nnnnaaaAaaa 目录 上页 下页 返回 结束 ), 2 , 1,(njiaajiij 5. .对称矩阵对称矩阵 设设 为为 n 阶方阵，如果阶方阵，如果()ijAa 则称则称A为为对称矩阵对称矩阵. . 023211313A 例如例如 目录 上页 下页 返回 结束 023201310A 例如例如是是 3 阶反对称矩阵阶反对称矩阵.设设 为为 n 阶方阵，如果阶方阵，如果()

10、ijAa ( ,1,2, )ijjiaai jn 则称则称 A 为为反对称矩阵反对称矩阵. 6.反对称矩阵反对称矩阵 : A是反对称矩阵，那么是反对称矩阵，那么(1,2?, )iinai 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义 设设 是两个是两个 矩阵矩阵,且满足且满足(),()ijijAaBb), 1;, 1(njmibaijij 则称则称 A 与与 B 相等相等，记作，记作 A = B.mn0000A 000000B ：零矩阵：零矩阵 与零矩阵与零矩阵相等吗？相等吗？ 11,00acABbd：矩阵：矩阵 且且 A=B , , ,?a b c d 则则 目录 上页 下页 返回 结束 初等变换

11、是研究矩阵的性质、求矩阵的逆和解线初等变换是研究矩阵的性质、求矩阵的逆和解线性方程组的重要工具性方程组的重要工具.其核心是利用初等变换其核心是利用初等变换,把复杂把复杂矩阵化成简单矩阵来处理矩阵化成简单矩阵来处理, 同时要求简单矩阵还要保同时要求简单矩阵还要保留原来矩阵的若干性质留原来矩阵的若干性质. 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，(1) 交换矩阵的某两行，记为交换矩阵的某两行，记为jirr (2) 以不等于的数乘矩阵的某一行，记为以不等于的数乘矩阵的某一行，记为irk 记为记为jirkr 称矩阵的下面三种变换

12、分别为第一、第二、称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、第三种第三种初等行变换初等行变换:定义定义类似定义三种类似定义三种初等列变换初等列变换:jiijikcckkccc )3()0()2()1(以上六种变换统称为矩阵的以上六种变换统称为矩阵的初等变换初等变换. 目录 上页 下页 返回 结束 记号记号rc初等行变换初等行变换初等列变换初等列变换初等变换初等变换通常通常, 第一种初等行第一种初等行(列列)变换又称变换又称对调变换对调变换;第二种初等行第二种初等行(列列)变换又称变换又称倍乘变换倍乘变换;第三种初等行第三种初等行(列列)变换又称变换又称倍加变换倍加变换. 目录 上页 下页 返回 结

13、束 3210 103212r 1064 216rr 1004 216rr121r 21rr 21rr例如例如jirr ik r 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换1;irk jikrr 逆变换逆变换().ijrk r 初等列变换也有类似的结果初等列变换也有类似的结果 目录 上页 下页 返回 结束 等价，记作等价，记作与与就称矩阵就称矩阵，矩阵矩阵经有限次初等变换变成经有限次初等变换变成如果矩阵如果矩阵BABABA定义定义 ： 等价关系的性质等价关系的性质 ： 具有上述三条性质的关系称为具有上述三条性质的关系称为等价等价,AB(2)对称性对称性 则则;BA (1)反身性反身性 ;AA(3)传递

14、性传递性 若若 ,AB BC则则.AC 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1化成上三角矩阵化成上三角矩阵 113012121A解解 113012121A 250250121 000250121122rr 23rr 每个每个“阶梯阶梯”上只有一行；上只有一行； 每个阶梯上第一个数不等于每个阶梯上第一个数不等于0 0； 阶梯的左下方元素全为阶梯的左下方元素全为0 0。 具有以上三个特点的矩阵称为具有以上三个特点的矩阵称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 133rr 目录 上页 下页 返回 结束 000250121 0005210121 00052105101具有特点具有特点的行阶梯形矩阵称为的行阶梯形

15、矩阵称为行最简阶梯形矩阵行最简阶梯形矩阵251r 212rr 每个阶梯上第一个数为每个阶梯上第一个数为1 1， 并且这些并且这些1 1所在列所在列的其它元素全为零。的其它元素全为零。 。: :箭头不能为等号箭头不能为等号 目录 上页 下页 返回 结束 下面矩阵也是下面矩阵也是行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵下面矩阵是下面矩阵是行最简阶梯形矩阵行最简阶梯形矩阵 0000100001100201112002120001000003201000120000000000 目录 上页 下页 返回 结束 只用初等行变换将矩阵只用初等行变换将矩阵 A 尽量化简尽量化简.例例2 21122213542462123A

16、1122011102420121221431241rrrrrr 42rr 322rr 1122011100240012112201110012000034312rrr 阶梯形阶梯形 目录 上页 下页 返回 结束 12rr 23rr 21 r 阶梯形阶梯形 最简阶梯形最简阶梯形 1122011100120000 132rr 1102010300120000 1001010300120000 目录 上页 下页 返回 结束 根据例根据例2，不难得到下面定理：，不难得到下面定理： 只用只用初等行变换初等行变换必能将矩阵化为行阶梯矩必能将矩阵化为行阶梯矩阵和行最简形梯矩阵阵和行最简形梯矩阵. 梯矩阵不唯

17、一梯矩阵不唯一, 行简化梯矩阵唯行简化梯矩阵唯一一. 例例3 3 用初等行变换将用初等行变换将A化为行阶梯形矩阵，进而化为行阶梯形矩阵，进而化为行最简阶梯形矩阵化为行最简阶梯形矩阵. 6333401211216010A21rr 6333401260101121 目录 上页 下页 返回 结束 3141121120106032230963rrrr 516001620060101121932423rrrr 6333401260101121343126rrr 41424368rrrrrr 10008100601011211000010000100121131221000010000100001rrrr

18、 目录 上页 下页 返回 结束 作业：作业：P11 2，4 目录 上页 下页 返回 结束 mn mb bb12, 特别地特别地, 当当 m=n 时时,称为称为 n 元齐次元齐次( (非齐次非齐次) )线性线性方程组方程组.(1)若常数项若常数项 全为零全为零, 则称方程组为则称方程组为 齐次线性方程组齐次线性方程组. . 反之反之, 若常数项若常数项 不全不全为零为零, 称为称为 非齐次方程组非齐次方程组. mn 12,mb bb11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 线性方程组线性方程组定义定义 目录 上页 下页 返回

19、 结束 当当(1)式右端常数全为式右端常数全为0而得到的齐次线性方程组而得到的齐次线性方程组 111122121122221122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xaxaxaxax 称为称为(1)导出的齐次线性方程组导出的齐次线性方程组。 若存在若存在 使使(1)式每个方程成式每个方程成为恒等式，则称为恒等式，则称 是是(1)的一个解的一个解,否则称之为无解或不相容。否则称之为无解或不相容。 nncxcxcx ,2211nncxcxcx ,2211 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如230342A 03221 xx24321 xx线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的线性

20、方程组与它的增广矩阵是一一对应的. . 由方程组由方程组(1)的系数与常数项组成的矩阵的系数与常数项组成的矩阵11121121222212nnmmmnmaaabaaabAaaab 称为方程组称为方程组(1)的的增广矩阵增广矩阵. 定义定义 目录 上页 下页 返回 结束 (注意注意方程组初等变换方程组初等变换与与增广矩阵初等行变增广矩阵初等行变 换换的关系）的关系） 我们将通过下面的例子我们将通过下面的例子, ,来说明来说明高斯消元法高斯消元法的的求求解过程解过程. . 例例1 1 解线性方程组解线性方程组123123123224 (1)21 (2)442 (3)xxxxxxxxx 解解 目录

21、上页 下页 返回 结束 123123123224 (1)21(2)442 (3)xxxxxxxxx 互换方程互换方程(1)与与(2)的位置的位置, ,得得212411214142A 24442212321321321xxxxxxxxx(1)(2)(3)112121244142 目录 上页 下页 返回 结束 (2)(1)2, (3)(1)4, 得得 (3)(2), 得得( 2) ( 4) ( 1) 24442212321321321xxxxxxxxx(1)(2)(3)xxxxxxx 123232321322342(1)(2)(3)xxxxxx 1232332132224(1)(2)(3)1121

22、21244142 112103220342112103220024 目录 上页 下页 返回 结束 112103220012112103220024 4222312332321xxxxxx(3)(-1/2),得得 222312332321xxxxxx(1)(2)(3) 梯形方程组梯形方程组 梯矩阵梯矩阵 目录 上页 下页 返回 结束 110303060012 (2)+(3)2, (1)+(3)(-2), 得得2 ( 2) (2)(-1/3), 得得 222312332321xxxxxx(1)(2)(3)12233362xxxx (1)(2)(3) 2233221xxxx(1)(2)(3)1121

23、03220012110301020012 1()3 目录 上页 下页 返回 结束 (1) (2), 得得 221321xxx( 1) 可得原方程组的解为：可得原方程组的解为：. 2, 2, 1321 xxx 2233221xxxx(1)(2)(3)110301020012 100101020012 行简化梯矩阵行简化梯矩阵 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 交换方程的位置；交换方程的位置；(2) 以不等于以不等于0的数乘某个方程两边；的数乘某个方程两边；(3) 一个方程加上另一个方程的若干倍一个方程加上另一个方程的若干倍. 由于三种变换均可逆由于三种变换均可逆, , 所以所以. . 在例在

24、例1的求解过程中，对方程组始终用到如下的求解过程中，对方程组始终用到如下三种变换三种变换: 等价地，就是等价地，就是. 目录 上页 下页 返回 结束 对增广矩阵使用初等对增广矩阵使用初等行行变换化变换化梯矩阵梯矩阵: :123111231131532054012122300002rA 最后一行对应的方程是：最后一行对应的方程是： , ,所以方程组无解所以方程组无解. .求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组12341234123423135322223xxxxxxxxxxxx 解解例例2 2 目录 上页 下页 返回 结束 12013121382402612152A 1201300145000

25、0000000r 25262428323 243214214321421xxxxxxxxxxxxxx解非齐次线性方程组解非齐次线性方程组例例3 3 解解 目录 上页 下页 返回 结束 124342345xxxxx 1201300145 543243421xxxxx此时此时, 右边的未知量称为右边的未知量称为自由变量自由变量. 一般解一般解 通解通解全部解全部解即令即令 , 为任意常数为任意常数.2412,kxkx 12,k k 目录 上页 下页 返回 结束 ( 取任意常数取任意常数)21,kk 242312211 54 32kxkxkxkkx得方程组的一般解为得方程组的一般解为: 543243

26、421xxxxx 目录 上页 下页 返回 结束 不妨设不妨设 线性方程组线性方程组(2.2)的增广矩阵经过一的增广矩阵经过一系列初等行变换化为如下梯形矩阵系列初等行变换化为如下梯形矩阵, mn 一般线性方程组解的情况一般线性方程组解的情况 111211,1112222,122,11000rrnrrnr rr rr nrraaaaadaaaadaaadd 未写出的全为零未写出的全为零,0(1,2, )iiair 目录 上页 下页 返回 结束 同解梯形方程组为同解梯形方程组为 11112211,111122222,1122,1110rrrrnnrrrrnnrrrr rrrnnrra xa xaxa

27、xaxdaxaxaxaxda xaxaxdd (2.3) 由梯形方程组可得由梯形方程组可得 1) 若若 , ,方程组方程组(1)中有矛盾方程中有矛盾方程, ,方程组无解方程组无解; ; 10rd 2) 若若 则方程组有解，则方程组有解，10,rd 目录 上页 下页 返回 结束 方程组有唯一解方程组有唯一解. 当当 r = n 时时, ,梯形方程组为梯形方程组为 1111221122222nnnnnnnna xa xaxdaxaxdaxd 2) 若若 则方程组有解，且则方程组有解，且10,rd 目录 上页 下页 返回 结束 当当 r n 时时, ,梯形方程组为梯形方程组为 11112211,11

28、1122222,1122,11rrrrnnrrrrnnrrrr rrrnnra xa xaxaxaxdaxaxaxaxda xaxaxd 移项移项111122111,111222222,112,11rrrrnnrrrrnnrrrrr rrrnna xa xaxdaxaxaxaxdaxaxa xdaxax 任给自由变量任给自由变量 一组值一组值, 可唯一确可唯一确定定 12,rrnxxx 12,.rx xx因此原方程组有无穷多个解因此原方程组有无穷多个解. 目录 上页 下页 返回 结束 设方程组的增广矩阵设方程组的增广矩阵 经过初等行变换化经过初等行变换化为行阶梯形矩阵为行阶梯形矩阵T ,系数矩

29、阵系数矩阵A化为行阶梯形矩阵的化为行阶梯形矩阵的 的阶梯数为的阶梯数为r,A,0T0T(1)当当T 的阶梯数的阶梯数= =r+1时时，方程组无解；方程组无解；a)当当 r=n（未知量个数）时，（未知量个数）时，方程组有唯一解方程组有唯一解;b)当当 rn 时，时，方程组有无穷多解方程组有无穷多解.0T(2)当当T 的阶梯数的阶梯数= = 的阶梯数的阶梯数= =r 时时，方程组此时有方程组此时有 解，并且解，并且 目录 上页 下页 返回 结束 故故(1). 特别地特别地, 对于齐次方程组对于齐次方程组, 不妨设其增广矩阵化为不妨设其增广矩阵化为梯矩阵为梯矩阵为111211,112222,12,10000000rr