2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级同步经典题精练之特殊的平行四边形

1、2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级同步经典题精练之特殊的平行四边形一、选择题（共10小题）1（2020秋舞钢市期中）如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是A10B15C20D252（2020秋坪山区期末）菱形，矩形，正方形都具有的性质是A四条边相等，四个角相等B对角线相等C对角线互相垂直D对角线互相平分3（2019春武清区期中）平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是A一般平行四边形B一般四边形C对角线垂直的四边形D矩形4（2019春庆云县期末）如图，在中，点为斜边上一动点，过点作于，于点，连接，则线段的最小值为A24

2、B3.6C4.8D55（2019春江北区期末）如图，在矩形中，点在上，点是的中点，的面积记为，周长记为，则点从点到点运动过程中A逐渐变大，保持不变B保持不变，逐渐变小C保持不变，先变小再变大D逐渐变大，先变大再变小6（2019春行唐县期末）在菱形中分别在、上且，与交于点，连接，若，则的度数为ABCD7（2017聊城）如图，中，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是ABCD平分8（2014春东昌府区期中）在四边形中，点是对角线的交点，在下列条件中，能判定这个四边形为正方形的是A，B，C，D，9（2014宁波）如图，正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长是A2.5BCD210小明在学习了正方

3、形之后，给同桌小文出了道题从下列四个条件；中选两个作为补充条件，使成为正方形，如图，现有下列四种选法，你认为其中错误的是ABCD二、填空题（共8小题）11（2020秋南山区校级期末）有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形的周长为12（2019安顺）如图，在中，且，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为13（2017春广东期中）如图，在，点为的中点，是外角的平分线，交于，则四边形的形状是 14（2014万州区校级模拟）如图，正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，延长交于若，则15（2009青海）如图，四边形的对

4、角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）16（2009本溪）如图所示，菱形中，对角线，相交于点，为边中点，菱形的周长为24，则的长等于 17矩形的中心恰好在原点，且点坐标为，则点的坐标为18已知，在中，为中点，则三、解答题（共8小题）19（2018秦淮区一模）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，连接求证：四边形是菱形20（2016枣庄）如图，把放置在菱形中，使得顶点，分别在线段，上，已知，且（1）求的大小；（2）若，求的值；（3）若的三个顶点、分别在线段、上运动，请直接写出长的最大值和最小值21（2016通辽）如图，四边形是正方形，点是的中点，交正方

5、形外角的平分线于求证：22（2013泰安）如图，在四边形中，是上一点，交于，连接（1）证明：，（2）若，试证明四边形是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点的位置，使得，并说明理由23（2012春雨湖区校级期中）如图所示，矩形的对角线，相交于点，分别是，的中点，求证：四边形是矩形24（2009安顺）已知：如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接（1）求证：是的中点；（2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论25如图，在中，为的中点，于点，求的长26已知：是所在平面内一动点，连接，并将，的中点，依次连接，如果能构成四边形：（1）如图，当点在内部时，证明四边形

6、是平行四边形；（2）当点移动到外部时，（1）的结论是否还成立？画出图形并说明理由；（3）若四边形为矩形，点所在位置应满足什么条件？试说明理由2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级同步经典题精练之特殊的平行四边形参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1（2020秋舞钢市期中）如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是A10B15C20D25【答案】【考点】全等图形；菱形的判定与性质【专题】推理能力；矩形 菱形 正方形；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形【分析】先证四边形平行四边形，再证四边形是菱形，得，设，则，然后在中，由勾股

7、定理得出方程，解方程即可【解答】解：如图所示：由题意得：矩形矩形，四边形平行四边形，平行四边形的面积，四边形是菱形，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，四边形的周长；故选：【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；证明四边形为菱形是解题的关键2（2020秋坪山区期末）菱形，矩形，正方形都具有的性质是A四条边相等，四个角相等B对角线相等C对角线互相垂直D对角线互相平分【答案】【考点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质【专题】常规题型【分析】利用菱形、矩形和正方形的性质进行判断【解答】解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分故选：【点评】本题考查了正方形的性质：

8、正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形3（2019春武清区期中）平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是A一般平行四边形B一般四边形C对角线垂直的四边形D矩形【考点】：平行四边形的性质；：矩形的判定【专题】556：矩形 菱形 正方形【分析】由于平行四边形的邻角互补，那么每两条相邻的内角平分线都互相垂直，则围成四边形就有4个直角，因此这个四边形一定是矩形【解答】解：如图；四边形是平行四边形，；、平分、，即；同理可证得：；故四边

9、形是矩形故选：【点评】本题考查的是平行四边形的性质以及矩形的判定：四个角都是直角的四边形是矩形4（2019春庆云县期末）如图，在中，点为斜边上一动点，过点作于，于点，连接，则线段的最小值为A24B3.6C4.8D5【答案】【考点】垂线段最短；矩形的判定与性质【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观【分析】连接，当时，最小，利用三角形面积解答即可【解答】解：连接，四边形是矩形，当最小时，也最小，即当时，最小，的最小值为：线段长的最小值为4.8故选：【点评】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答5（2019春江北区期末）如图，在矩形中，点在上，点是的中点，的面积记

10、为，周长记为，则点从点到点运动过程中A逐渐变大，保持不变B保持不变，逐渐变小C保持不变，先变小再变大D逐渐变大，先变大再变小【答案】【考点】三角形的面积；矩形的性质【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力；几何直观；等腰三角形与直角三角形；数形结合【分析】先由等高三角形的性质和矩形中三角形与矩形的面积关系得出，则可知保持不变；连接，利用直角三角形的斜边中线性质、三角形的三边关系、矩形的对角线相等及直角三角形的斜边大于直角边，可得周长的关系【解答】解：点在上，点是的中点，保持不变；连接，如图：则，逐渐变小故选：【点评】本题考查了矩形的性质、等高三角形的性质、直角三角形的斜边中线性质及三角形的三边关系

11、等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键6（2019春行唐县期末）在菱形中分别在、上且，与交于点，连接，若，则的度数为ABCD【考点】：全等三角形的判定与性质；：菱形的性质【专题】11：计算题；556：矩形 菱形 正方形【分析】连接，根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数【解答】解：四边形为菱形，在和中，故选：【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质7（2017聊城）如图，中，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是ABCD平分【考点】：菱形的判定【分析】当平分时，四边形是菱形，可知先证明四边形是平行

12、四边形，再证明即可解决问题【解答】解：当平分时，四边形是菱形，理由：，四边形是平行四边形，四边形是菱形其余选项均无法判断四边形是菱形，故选：【点评】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型8（2014春东昌府区期中）在四边形中，点是对角线的交点，在下列条件中，能判定这个四边形为正方形的是A，B，C，D，【考点】：正方形的判定【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案【解答】解：、一组对边平行，对角线相等可能是等腰梯形，故本选项错误；、一组对边

13、平行，一组对角相等的四边形可能是矩形，故本选项错误；、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确；、对角线互相平分，邻边相等的四边形有可能是菱形故本选项错误；故选：【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角9（2014宁波）如图，正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长是A2.5BCD2【答案】【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理【专题】几何图形问题【分析】连接、，根据正方形性质求出、，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据直角三角形斜边上的中线等

14、于斜边的一半解答即可【解答】解：如图，连接、，正方形和正方形中，由勾股定理得，是的中点，故选：【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键10小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题从下列四个条件；中选两个作为补充条件，使成为正方形，如图，现有下列四种选法，你认为其中错误的是ABCD【答案】【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；平行四边形的性质【专题】推理能力；矩形 菱形 正方形【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可【解答】解：、四边形是平行四

15、边形，当时，平行四边形是菱形，当时，菱形是正方形，故此选项正确，不符合题意；、四边形是平行四边形，当时，平行四边形是矩形，当时，这是矩形的性质，无法得出四边形是正方形，故此选项错误，符合题意；、四边形是平行四边形，当时，平行四边形是菱形，当时，菱形是正方形，故此选项正确，不符合题意；、四边形是平行四边形，当时，平行四边形是矩形，当时，矩形是正方形，故此选项正确，不符合题意故选：【点评】此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判定方法是解题关键二、填空题（共8小题）11（2020秋南山区校级期末）有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起

16、，则重合部分构成的四边形的周长为【答案】【考点】：菱形的判定与性质；：全等图形【专题】554：等腰三角形与直角三角形；556：矩形 菱形 正方形；67：推理能力；553：图形的全等【分析】由题意得出，证四边形是菱形，得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，即可得出答案【解答】解：由题意得：矩形矩形，四边形是平行四边形，平行四边形的面积，四边形是菱形，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，四边形的周长，故答案为：【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；证明四边形为菱形是解题的关键12（2019安顺）如图，在中，且，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连

17、接，则线段的最小值为【考点】：矩形的判定与性质；：垂线段最短【专题】554：等腰三角形与直角三角形；556：矩形 菱形 正方形【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题【解答】解：，且，四边形是矩形，当时，的值最小，此时，的面积，的最小值为；故答案为：【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型13（2017春广东期中）如图，在，点为的中点，是外角的平分线，交于，则四边形的形状是矩形【考点】：矩形的判定【分析】首先利用外角性质得出，进而得到，即可求出四边形是平行四边形

18、，再利用平行四边形的性质求出四边形是平行四边形，即可求出四边形是矩形【解答】证明：，点为的中点，是的外角平分线，又，四边形是平行四边形，平行且等于，又，平行且等于，故四边形是平行四边形，又，平行四边形是矩形即四边形是矩形故答案为矩形【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形是解题关键14（2014万州区校级模拟）如图，正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，延长交于若，则【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质【分析】设与相交于点，连接，过点作角的延长线于，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应边相等可

19、得，然后求出，根据等边对等角可得，再根据三角形的内角和定理和四边形的内角和定理求出，再根据等腰三角形两底角相等的性质用表示出，然后求出，根据三角形的内角和定理可得，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出，再求出，然后利用勾股定理列式计算即可求出的长，根据正方形的四条边都相等即可得解【解答】解：如图，设与相交于点，连接，过点作交的延长线于，在和中，即，（对顶角相等），是等腰直角三角形，在中，故答案为：【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于作辅助线构造成全等三角形和等腰直角三

20、角形，熟记各性质并综合应用是解题的关键15（2009青海）如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是或或或（只填一个你认为正确的即可）【考点】：菱形的判定【专题】16：压轴题；26：开放型【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质，可添加：或，或，或，或【解答】解：四边形的对角线互相平分，则四边形为平行四边形，再依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可添加：或，或，或，或（答案不唯一）【点评】本题考查平行四边形及菱形的判定菱形的判定方法有三种：定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等；对角线互相垂直平分的四边形是菱形16（2009本溪）

21、如图所示，菱形中，对角线，相交于点，为边中点，菱形的周长为24，则的长等于3【考点】：直角三角形斜边上的中线；：菱形的性质【专题】11：计算题【分析】根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，为的中点，从而求得的长【解答】解：菱形的周长等于24，在中，为斜边上的中线，故答案为：3【点评】此题主要考查直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，还综合利用了菱形的性质17矩形的中心恰好在原点，且点坐标为，则点的坐标为【答案】【考点】矩形的性质；坐标与图形性质【专题】平面直角坐标系；几何直观；矩形 菱形 正方形【分析】依据矩形的性质，即可得出点与点关于原点对称，进而得到点的坐标【解答】解：矩

22、形的中心恰好在原点，点与点关于原点对称，又点坐标为，点的坐标为，故答案为：【点评】本题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分18已知，在中，为中点，则6【答案】6【考点】直角三角形斜边上的中线【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解【解答】解：如图在中，为中点，故答案为：6【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键三、解答题（共8小题）19（2018秦淮区一模）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，连接求证：四边形是菱形【考点】：平行四边形的性质；：

23、菱形的判定【专题】55：几何图形【分析】先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可证明【解答】证明：的平分线交于点，四边形是平行四边形，同理，四边形是平行四边形，是菱形，【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是先证明四边形是平行四边形20（2016枣庄）如图，把放置在菱形中，使得顶点，分别在线段，上，已知，且（1）求的大小；（2）若，求的值；（3）若的三个顶点、分别在线段、上运动，请直接写出长的最大值和最小值【考点】：几何问题的最值；：菱形的性质【专题】11：计算题【分析】（1）根据锐角三角函数求出，最后求出（2）先判断出，再根据锐角三角函数求解即可，（3）根据

24、运动情况及菱形的性质判断求出最大和最小值【解答】解：（1）过点作于点，如图1所示，在中，（2）过点作于点，作于点，如图2所示为菱形的对角线，在和中，又，（3）如图，当点在右边时，点，四点共圆，是此圆的直径时，最大，时，最大，当，点在的右侧时，有最大值，在中，由（1）知，是顶角为的等腰三角形，满足条件的点只有两个点，点在右侧时，最大，点再左侧时，最小，即：当，点在的左侧时，有最小值，设与交于点，同理，的最大值为12，的最小值为6，【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数，解本题的关键是作出辅助线21（2016通辽）如图，四边形是正方形，点是的中点，交正方形

25、外角的平分线于求证：【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质【专题】证明题【分析】先取的中点，连接，根据和是正方形，得出，再根据是的中点，是的中点，得出，最后根据是的角平分线，得出，从而证出，即可得出【解答】证明：取的中点，连接；，四边形是正方形，是的中点，是的中点，是的角平分线，在和中，【点评】此题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是取的中点，得出，再根据全等三角形的判定得出22（2013泰安）如图，在四边形中，是上一点，交于，连接（1）证明：，（2）若，试证明四边形是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点的位置，使得，并说明理由【考点】：全等三角形的判定与性质；：菱

26、形的判定与性质【专题】16：压轴题【分析】（1）首先利用定理证明可得，再证明，可得，进而得到；（2）首先证明，再根据等角对等边可得，再有条件，可得，可得四边形是菱形；（3）首先证明可得，再根据可得，进而得到【解答】（1）证明：在和中，在和中，；（2）证明：，又，四边形是菱形；（3）当时，即为过且和垂直时垂线的垂足，理由：四边形为菱形，在和中，【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具23（2012春雨湖区校级期中）如图所示，矩形的对角线，相交于点，分别是，的中点，求证：四边形是矩形【考点】三角形中位线定理

27、；矩形的判定与性质【专题】证明题【分析】根据三角形中位线定理和矩形的性质和判定证明【解答】证明：是的中点，是的中点，四边形是矩形，同理可证四边形是平行四边形，同理又，四边形是矩形【点评】解答此题关键是找到四个三角形的中位线，熟练运用矩形的判定方法24（2009安顺）已知：如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接（1）求证：是的中点；（2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论【考点】：平行四边形的性质；：等腰三角形的性质；：矩形的判定；：全等三角形的判定与性质【专题】14：证明题【分析】（1）可证，得出，进而根据，得出是中点的结论；（证法2：可根据平行且相等

28、于，得出四边形是平行四边形，从而证得是的中位线，由此得出是中点）（2）若，则是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知；而与平行且相等，故四边形是平行四边形，又，则四边形是矩形【解答】（1）证明：是的中点，在和中，即：是的中点（2）解：四边形是矩形；证明：，四边形是平行四边形，即平行四边形是矩形【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用25如图，在中，为的中点，于点，求的长【考点】：直角三角形斜边上的中线；：含30度角的直角三角形【专题】66：运算能力；554：等腰三角形与直角三角形【分析】先求出，根据含角的直角三角形的性质得出，代入

29、求出即可【解答】解：，为的中点，【点评】本题考查了含角的直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线，能根据含角的直角三角形的性质得出是解此题的关键26已知：是所在平面内一动点，连接，并将，的中点，依次连接，如果能构成四边形：（1）如图，当点在内部时，证明四边形是平行四边形；（2）当点移动到外部时，（1）的结论是否还成立？画出图形并说明理由；（3）若四边形为矩形，点所在位置应满足什么条件？试说明理由【答案】（1）证明见解答；（2）成立；（3）点满足，四边形是矩形【考点】矩形的性质；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质【专题】几何直观；矩形 菱形 正方形；三角形【分析】（1）（2）根据平行四边形

30、的判定性质求证（3）把结论当做已知条件，由结论推出已知【解答】（1）证明：、中点分别为、分别为和的中位线且四边形是平行四边形；（2）解：成立，理由是：如图所示，由（1）知，且四边形是平行四边形；（3）解：当点满足，四边形是矩形由三角形中位线性质得，所以平行四边形是矩形故答案是：点满足，四边形是矩形【点评】本题考查了中点四边形矩形的判别方法是说明一个四边形为矩形的理论依据，常用三种方法：定义；三个角是直角相等；对角线相等且互相平分考点卡片1坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；距离都是非负数，而坐标可以是负

31、数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题2垂线段最短（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段（2）垂线段的性质：垂线段最短正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择3三角形的面积（1）三角形的面积

32、等于底边长与高线乘积的一半，即S底高（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分4全等图形（1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形（2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形（3）三角形全等的符号“全等”用符号“”表示注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角5全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角

33、形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形6等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（2）等腰三角形的性质等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等【简称：等边对等角】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合【三线合一】（3）在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶角平分线以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论7含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题

34、中常用来求边的长度和角的度数（3）注意：该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；应用时，要注意找准30的角所对的直角边，点明斜边8直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形该定理可以用来判定直角三角形9勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2c2（2）勾股定

35、理应用的前提条件是在直角三角形中（3）勾股定理公式a2+b2c2 的变形有：a，b及c（4）由于a2+b2c2a2，所以ca，同理cb，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边10三角形中位线定理（1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半（2）几何语言：如图，点D、E分别是AB、AC的中点 DEBC，DEBC11平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（2）平行四边形的性质：边：平行四边形的对边相等角：平行四边形的对角相等对角线：平行四边形的对角线互相平分（3）平行线间的距离处处相等（4）平行四边形的面积：平行四

36、边形的面积等于它的底和这个底上的高的积同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等12平行四边形的判定与性质平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形

37、的性质和判定去解决问题13菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（2）菱形的性质菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线（3）菱形的面积计算利用平行四边形的面积公式菱形面积ab（a、b是两条对角线的长度）14菱形的判定菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等菱形）；四条边都相等的四边形是菱形几何语言：ABBCCDDA四边形ABCD是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）几何语言：ACBD，四边形ABCD是平行四边形平行四边形ABCD是菱形15菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的