湖南师范大学高等数学22函数的求导法则课件

1、湖南师范大学高等数学22函数的求导法则2.2 函数的求导法则函数的求导法则2.2.1求导数的四则运算法则求导数的四则运算法则)()( )()(xvxuxvxu（1）)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu（2）,)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu（3）).0)(xv定理定理1设函数设函数)(),(xvxux处可导，则它们处可导，则它们在点在点可导，且有可导，且有x和、差、积、商（分母为零的点除外）在点和、差、积、商（分母为零的点除外）在点处处湖南师范大学高等数学22函数的求导法则hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(li

2、m0.)()()()(lim0hxvhxvhxuhxuh).()(xvxu.)(处可导处可导在在xxf且有且有).()( )()(xvxuxvxu证（证（2）略。）略。),()()(xvxuxf证证 （1）设）设湖南师范大学高等数学22函数的求导法则证（证（3）hxfhxfxfh)()(lim)(0 ),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 湖南师范大学高等数学22函数的求导法则.)()(

3、)()()(2xvxvxuxvxu.)(处可导处可导在在xxf且（且（3）成立。）成立。)()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 湖南师范大学高等数学22函数的求导法则和、差、积的求导法则可和、差、积的求导法则可推广推广到到任意有限任意有限个函数个函数的情形：的情形：);()()( )()()(xwxvxuxwxvxu.)(wucwvuvwuuvw特殊地特殊地,如果如果)( 为常数CCv , 0C.)(uCCu,则因则因得得例如，设例如，设在点在点x)(),(),(xwxvxu则有则有处可导，处可导，湖南师范大学高等数学22函数的求导法则, 3ln

4、cos)(3xxxfxxxfsin3)(2. 143)2(2 f例例1设设)(xf ).2(f 求求与与解解例例2 设设xxycos2.y)(coscos)()cos(222xxxxxxy，求，求解解.sincos22xxxx湖南师范大学高等数学22函数的求导法则)cossin()(tanxxxyxytan例例3 设设，求，求.y解解xxxxx2cos)(cossincos)(sinxxxxx22222seccos1cossincos.sec)(tan2xx即即类似可得类似可得.csc)(cot2xx湖南师范大学高等数学22函数的求导法则,sec xy .y例例4 设设求求)cos1()(se

5、cxxyxxx2cos)(cos1cos) 1 (解解.tanseccossin2xxxx.tansec)(secxxx即即.cotcsc)(cscxxx类似可得类似可得湖南师范大学高等数学22函数的求导法则),sin(cosxxeyx.y例例5 设设求求)sin)(cos()sin(cos)(xxexxeyxx解解)cossin()sin(cosxxexxexx.cos2xex湖南师范大学高等数学22函数的求导法则2.2.2 反函数求导法则反函数求导法则 定理4)(Iyxyj j 内单调、可导在某区间设函数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.)(,xfy 在对应区间那末它的反函数且0)

6、( yj,且有内也可导x.)(1)(yxfj证证 由反函数存在定理知，由反函数存在定理知，连续。连续。（4）下证公式（下证公式（4）成立。）成立。)(xfy 在在x内单调内单调湖南师范大学高等数学22函数的求导法则于是有于是有,1yxxy ,)(连连续续xf),0(0 xy,0)( yj又又)(11limlim00yyxxyyxj.)(1)(yxfj即即任取任取xxx), 0(xxxxx以增量以增量,给给由由)(xfy, 0)()(xfxxfy的单调性可知的单调性可知湖南师范大学高等数学22函数的求导法则例例6 求求的导数。的导数。) 1 , 1(,arcsinxxy解,)2,2(sin内单调

7、、可导内单调、可导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内内有有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 同理可得同理可得.112x211)(arccosxx);1 , 1(x211)(arctanxx);,(x211)cot(xxarc).,(x湖南师范大学高等数学22函数的求导法则, 0ln)( aaayy且且,), 0(内有内有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解,),(内内单单调调、可可导导在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx .log的导数的导数求函数求函数xya 例例7.ln1)(logaxx

8、a即即湖南师范大学高等数学22函数的求导法则2.2.3复合函数求导法则复合函数求导法则)(xuj处可导处可导,则复合函数则复合函数 在点在点)(xfyj在点在点x处可导，且有处可导，且有).()(xufdxdyjy. y有增量有增量)(lim0ufuyu).()(uufuy. 0)(lim0uu其中其中定理定理5 设设x)(ufy )(xuj处可导处可导,而函数而函数在点在点证证 给给xxuu,相应地相应地一个增量一个增量,则则有增量有增量)(ufy 在点在点u可导，有可导，有湖南师范大学高等数学22函数的求导法则,)(xuxuufxy).0(xxuxuufxyxx)(limlim00于是于是

9、xuxuufxxx000limlimlim)().()(xufj).()(xufdxdyj即即当当0uuuufy)(时，得时，得当当0u0，则上式也成立。，则上式也成立。时，规定时，规定湖南师范大学高等数学22函数的求导法则.dxdududydxdy即即: :因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间等于因变量对中间变量求导变量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )。或或)(),(),(xvvuufyj推广推广 设设)(xfyjdxdvdvdududydxdy则复合函数则复合函数的导数为的导数为湖南师范大学高等数学22函数的求导

10、法则xy3sin) 1 (102)2()2(xxyxylnarctan)3(xey2sin)4(例例8 求下列函数的导数求下列函数的导数: .3cos3xdxdududydxdy,sin,3uyxu解解 (1) 记记，则，则.)2)(41 (1092xxxdxdududydxdy(2) 记记 2102,xxuuy，于是，于是湖南师范大学高等数学22函数的求导法则)(lnln11)ln(arctan)3(2xxxy2sinsin)(sin)()4(22xeeyxx.2sin2sin xxe.)ln1 (12xx)(sinsin22sinxxex湖南师范大学高等数学22函数的求导法则.,dxdy求

11、xysinln例例9 设设)(sinsin1)sin(lnxxxy解解.cot21)(cossin1xxxxx湖南师范大学高等数学22函数的求导法则.)(1xx证明证明,)(lnlnxxeex.)()(1lnlnxxeexxx小结小结 复合函数求导，如同剥竹笋，由复合函数求导，如同剥竹笋，由外往里层外往里层层深入层深入，直至殆尽，最后求它们的，直至殆尽，最后求它们的连乘积连乘积。0 x例例10当当时时,证明幂函数的导数公式证明幂函数的导数公式湖南师范大学高等数学22函数的求导法则).(0 xdxdy例（例（p77 7.）2005年考研题年考研题2arctan)(,2323xxfxxfy已知已知

12、022)23(12)2323arctan(xxxx00)2323)(2323(xxxxxxfdxdy解解.431arctan343则则湖南师范大学高等数学22函数的求导法则书书 P.75 加上四则运算公式，复合函数求导法则。加上四则运算公式，复合函数求导法则。以及计算技巧。以及计算技巧。湖南师范大学高等数学22函数的求导法则2.2.4初等函数求导数初等函数求导数.)(sinsinsin)(sinxnxxnxynn),(sinsin为常数nxnxyn.y例例11设设求求解解 首先应用积的求导法则首先应用积的求导法则,再再用复合函数求导用复合函数求导法则法则,得得 xxnnxxnxnnncossinsinsincos1)cossinsin(cossin1xnxxnxxnn.) 1sin(sin1xnxnn湖南师范大学高等数学22函数的求导法则)(cos(cos)(sin(sin2222xxfxxfy).(xf 求求)(cos)(sin2sin22xfxfx解解小结小结 若函数构成中既有四则运算若函数构成中既有四则运算,又有复合运算又有复合运算, 求导时