保险精算(三)

1、生命表函数与生命表构造第三章本章重点n生命表函数n生存函数n剩余寿命n死亡效力n生命表的构造n有关寿命分布的参数模型n生命表的起源n生命表的构造n选择与终极生命表n有关分数年龄的三种假定第一节生命表函数分布函数n一个人的寿命从出生到死亡的时间长度，是无法事先确定的，在概率上称之为随机变量，记为X。是连续型随机变量。 Pr0XXF xXxx 用用表表示示出出生生婴婴儿儿未未来来寿寿命命的的随随机机变变量量，则则 的的分分布布函函数数00 xx 即即 岁岁的的人人在在 岁岁之之前前死死亡亡的的概概率率。 ,0XfxfxFxx 的的概概率率密密度度函函数数记记为为则则， 50X 那那么么P Pr r

2、表表示示什什么么？5050 x表表示示 岁岁的的人人在在岁岁以以后后死死亡亡的的概概率率，即即在在岁岁仍仍然然生生存存的的概概率率。 Pr501Pr50150XXF ()Pr xXxt Xx表表示示什什么么？xxxt 表表示示活活到到 岁岁的的人人在在 之之间间死死亡亡的的概概率率，即即 PrPr1Pr1XxtXxXxF xtF xF x ()Pr()PrPr xXxt XxxXxtXxXx 0E Xxf x dx生存函数n定义n意义：新生儿能活到 岁的概率。n与分布函数的关系：n与密度函数的关系：n新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：( )Pr()S xXx)(1)(xFxS)()(xSxf

3、xPr()( )( )xXzs xs z剩余寿命n定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。nT分布函数记为 ( ()()1( )()( )TFtPr T XtPr xXxt XxF xtF xF xs xs xts x TFt ,TTTs xtTftftFts x 的概率密度函数记为 T x在精算学中，用国际通用的符号来表示有关的各种概率。 ( ()()txqPr T XtPr xXxt Xxs xs xts x Pr,0txqT xttxxt用表示 岁的人在岁以前死亡的概率剩余寿命n剩余寿命的生存函数 ：n特别：txpPr( ( )Pr()()(

4、 )txpT xtXxt Xxs xts x0( )xps xxxt表示 岁的人在岁仍活着的概率。剩余寿命n ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率n ：x岁的人将在1年内去世的概率n ：X岁的人活过t年后在往后u年内去世的概率即在xt岁到xtu岁之间死亡的概率。 xpxqxt uq1xxpp1xxqq PrPrxt ut uxtxtxt uxqPr tT xtuT xtuT xtqqpp 整值剩余寿命n定义： 未来存活的完整年数，简记n概率函数( )x( )K x(),( )1,0,1,K XkkT xkk 11Pr()Pr( )1)Pr( )1)Pr( )1PrkxkxkxkxK XkkT x

5、kkT xkT xkT xkqqpp剩余寿命的期望与方差n期望剩余寿命： 剩余寿命的期望值(均值),简记( )x 00000000( ( )()()oxTtxtxtxtxtxtxsxteE T xtft dttdts xtpdtt pp dtt pp dtp dt oxe剩余寿命的期望与方差n剩余寿命的方差2220( ( )( ( ) )( )2otxxVar T xE T xE T xtp dte整值剩余寿命的期望与方差n期望整值剩余寿命： 整值剩余寿命的期望值(均值),简记( )x1012233412310( )()23xkxkxkxxxxxxxxxkxkeE K xkpppppppppp

6、ppxe整值剩余寿命的期望与方差n整值剩余寿命的方差22210( )()()(21)kxxkVar K xE KEKkpe死亡效力n定义： 的瞬时死亡率，简记n死亡效力与生存函数的关系( )xx( )( )ln ( )( )( )xs xf xs xs xs x 死亡效力与生存函数的关系 000000lnln,lnxyxxyxxxyydydys ydys ydys xdys xe 两边积分， 00 x tx tyyxxydydytxdys xtepes xe从而，死亡效力n死亡效力与密度函数的关系 0 xsdsxxf xs xe第二节生命表的构造有关寿命分布的参数模型 nDe Moivre模型

7、(1729) nGompertze模型(1825)1( )1 , 0 xxxs xx ( )exp(1)/ln , B0,c1,0 xxxBcs xB ccx有关寿命分布的参数模型 nMakeham模型(1860)nWeibull模型(1939)( )exp(1)/ln , B0,A-B,c 1,0 xxxA Bcs xAxB ccx1( )exp/(1) , 0,0,0nxnkxs xkxnknx参数模型的问题n至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。n使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差n寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参

8、数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。n在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。生命表起源n生命表的定义n根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.n生命表的发展历史n1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过生命表的自然和政治观察。这是生命表的最早起源。n1693年，Edmund Halley,根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。n生命表的特点n构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假

9、定（非参数方法）生命表的构造n原理n在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）n常用符号n新生生命组个体数：n年龄：n极限年龄：x0l生命表的构造n 个新生生命能生存到年龄X的期望个数：n 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：特别：n=1时，记作0lnxdxd1nxxx nxxxdlldllxl0( )xlls x0lxxxdlq生命表的构造n 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：n 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：txxyxtdylLxyxoxxxTl dyTel0l0ltxLxTxxld生命表中列有的 和的值会给计算各种概率带

10、来方便。,1x kxx kkxkxkxxxlllpqpll xkxk mxk mx kx k mxxx kx k mxqpplllllll 生命表实例（美国全体人口生命表）年龄区间死亡比例期初生存数期间死亡数在年龄区间共存活年数剩余寿命总数期初存活者平均剩余寿命天0-1.00463100000463273738775873.881-7.00246995372451635738748574.227-28.00139992921385708738585074.38年0-1.0126010000126098973738775873.881-2.00093987409298694728878573.8

11、22-3.00065986486498617719009172.89txxxtqxtdxtLxTxexl例3.1：n已知 n计算下面各值：（1）（2）20岁的人在5055岁死亡的概率。（3）该人群平均寿命。)1001 (10000 xlx30103030302030,qqpd例3.1答案1000000020555020530304140301030603030303050302031303050)1001 ( 316/1 270/1 7/3 7/5 1001dxxlTlllqlllqlllqllpllde、生命表的类型n国民生命表n经验生命表n国民生命表：是根据全国范围内的人口统计资料构造出来

12、的，反映的是一个特定时期内全国人口的寿命分布情况。n经验生命表：是人寿保险公司经营寿险业务死亡率的经验结果，它是以人寿保险公司的被保险人群体为对象。它分为终极表、选择表和综合表。选择-终极生命表n选择-终极生命表构造的原因n需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。n需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失n选择-终极生命表的使用选择-终极表实例x选择表终极表70.0175 .0249 .0313 .0388 .0474 .0545 7571.0191 .0272 .0342 .0424 .0518 .0596 7672.0209 .0

13、297 .0374 .0463 .0566 .0652 7773.0228 .0324 .0409 .0507 .0620 .0714 7874.0249 .0354 .0447 .0554 .0678 .0781 7975.0273 .0387 .0489 .0607 .0742 .0855 8076.0298 .0424 .0535 .0664 .0812 .0936 8177.0326 .0464 .0586 .0727 .0889 .1024 8278.0357 .0508 .0641 .0796 .0973 .1121 83xq5xq1 xq2 xq3 xq4 xq5x 225001

14、.,150602 50603xs xe给出生存函数求：（）人在岁至岁之间死亡的概率；（ ） 岁的人在岁以前死亡的概率；（ ）人能活到70岁的概率；（4）50岁的人能活到70岁的概率。 1 Pr(5060)X 5060ss 361250.36790.23690.1310ee 10503612515050102500.370.240.370.35ssqseee 49253 Pr70700.14086Xse 20504925150204500.140860.367880.38561spsee 8080810.07,3129,.qdl 2 2. . 已已知知求求81808080808080808081

15、3129447000.0744700312941571llddlqdlql( )( )( )1( )B( )1( )C( )( )1D( )1( )S xF xAS xF xS xF xS xF xS xFx 之之间间的的关关系系正正确确的的是是( (、1 1、生生存存函函数数和和分分布布数数函函、 2)TTTTTtxxTftsxtsxtAftBfts xs xsxtCftDftps x 、关关于于剩剩余余寿寿命命 的的概概率率密密度度函函数数表表述述正正确确的的是是( (、 113PrPr1 ,0,1,PrPrPrkxkxkxkxkx kxAK xkkT xkkBK xkK xkKqqCppDpqxk 、下下列列表表述述错错误误的的是是（）、 00004xxyyxydydyxdyyAs xeBs xeCs xedyDs xe 、死死亡亡效效力力和和生生存存函函数数之之间间的的关关系系表表述