计算物理学pptchp3

1、上节回顾计算机数和误差计算机数及其表示：离散数据表示整数实数，数值溢出误差：误差来源模型误差 测量误差 截断误差 舍入误差选用及设计算法时的原则：1. 尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数；2. 防止大数“吃掉”小数 ；3. 尽量避免相近数相减； 4. 避免绝对值很小的数做分母； 5. 选用数值稳定性好的算法，以控制舍入误差高速增长实验数据的统计处理统计直方图：y=hist(x,10), hist(x,10)画直方图平均值 方差 标准偏差：标准差:std( ), 方差:var( ), 最大值:max( )，最小值:min( ), 平均值:mean( ), 求和:sum( ),求积: prod(

2、 )错误值的剔除：拉依达方法，肖维勒方法，一阶差分法计算物理第三章 实验数据的插值目录实验数据的插值线性插值二次插值 n 次插值逐次线性插值二元函数的拉格朗日多点插值 在生产和实验中，函数 f(x)或者其表达式不便于计算, 或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的近似函数(x)，来逼近函数 f(x)。 常用的函数逼近方法有： 插值法； 最小二乘法（或称均方逼近）； 一致逼近等。插值问题的背景 插值法插值法 插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用。简单地说，插值法就是用给定的(未知)函数 f(x)的若干点上的函数值(或其导数值) 来构

3、造 f (x)的近似函数(x)，要求(x)与 f(x)在给定点的函数值相等。 有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermite插值，分段插值和样条插值。函数可以未知，只需已知若干点上的值。表示物理量关系的解析式未知或比较复杂时，通过一系列已知值，如何寻求函数f (x)反映量x, y之间的关系？在一区间a, b测得一系列观测点和函数值（互不相同）yi = f (xi)i = 0,1, n寻求 f (x)的近似表达式 y = y (x)x = a, b由于代数多项式简单而又便于计算，所以经常采用多项式为插值函数

4、。即即插值函数y (x) 是是 x 的多项式，满足：的多项式，满足：1. y (x)是不超过 n 次的多项式2. 在插值节点 xi (i = 0,1, n) 上， f (x)的插值函数 y (x)与 f (x)相等 yi = y (xi)，i = 0,1, n插值区间插值区间插值余项 R(x) = f (x) y (x) 被插函数与插值函数之差线性插值按代数多项式 y (x) 的方次分类，常用的插值方法有：线性插值，二次插值，n次插值，逐次线性插值，二元函数的拉格朗日多点插值。已知两节点 x0 和 x1 及其函数值 y0= f (x0)、y1= f (x1)，构造的插值函数为一次多项式y(x)

5、 = Ax+B拉格朗日(Lagrange)线性插值由节点得到解出 A, B，代入式 y(x) = Ax+B ，得到一次多项式两个线性函数组合成插值多项式两个线性函数组合成插值多项式记 则可写成A0(x)、A1(x) 分别为节点 x0 和 x1 的一次插值基函数两点式两点式直线方程直线方程牛顿(Newton)线性插值由直线方程或记则可写成点斜式点斜式直线方程直线方程函数关于点函数关于点x0 和点 x1的的一阶差商一阶差商二次插值（抛物线插值）线性插值只利用两个节点的数据来构造插值函数，精确度较低。利用三个节点的数据来构造插值函数会减小插值误差：有解出 A, B, C，代入式 y(x) = A+B

6、x+Cx2 ，得到二次多项式插值函数插值函数是抛物线是抛物线方程方程拉格朗日二次插值y(x) = A0(x)y0+A1(x)y1+A2(x)y2其中A0(x)、A1(x) 、A2(x) 分别为节点 x0 、x1和 x2 的二次插值基函数拉格朗日二次插值多项式三个二次函数线性组合成插值多项式三个二次函数线性组合成插值多项式牛顿二次插值与线性插值类似，作变换后可得到牛顿二次插值多项式其中为 f (x) 关于两点 x0 、 x1 的一阶差商一阶差商为 f (x) 关于三点 x0 、 x1 、 x2 的二阶差商二阶差商例1：已知解：由题意，两个插值节点代入拉格朗日线性插值公式，得线性插值基函数线性插值

7、方程故 y(115) = 225/21 = 10.7 14285其精确值为其精确值为 10.7 23805，估算值有，估算值有 3 位有效数字。位有效数字。例2：已知解：代入拉格朗日二次插值公式，得二次插值基函数二次插值方程故 y(115) = 10.72 28其精确值为其精确值为 10.72 3805，估算值有，估算值有 4 位有效数字。位有效数字。n 次多项式插值一般地，n + 1 个插值节点最多构造 n 次插值多项式y(x) = a0+a1 x+a2 x2+an xn根据各节点函数值可得 n + 1 阶线性方程组a0+a1 x0+a2 x02+an x0n = y0 a0+a1 x1+a

8、2 x12+an x1n = y1 .a0+a1 xn+a2 xn2+an xnn = yn 系数行列式 , 则(a0, a1 , an)的解唯一所以要求所以要求 Aj (xi) =n 次拉格朗日插值的关键是要构造出n + 1 个节点上的 n 次插值基函数。如何确定基函数如何确定基函数 Aj (x) ( j = 0, 1, , n) ？要使得构造的插值函数通过每个节点(xi,yi)，则n 次拉格朗日插值n + 1个个 n 次基函数线性组合成次基函数线性组合成 n次插值多项式次插值多项式y(x) = Aj (x)yjy(xi) = Aj (xi)yj = yiij基函数Aj (xi)应只挑选出

9、i = j 时的那个 yi 值分别构造x0 , x1, , xn 上的 n 次插值基函数 A0(x), A1(x), , An(x),满足性质： 即1,0,1,2,()0jiijijnA xij， 节点基函数x0 x1x2xnA0(x)1000A1(x)0100A2(x)0010An(x)00010111()()()()jjjjjjnaxxxxxxxx先构造 A0(x)。由上表知， x1 , x2, , xn 为 A0(x) 的零点，设由A0(x0)=1，得同理， j = 1, 2, , n 时可设由Aj (xj)=1，得0012( )()()(),nA xaxxxxxx00102012001

10、0201()()()()()()( )()()()nnnaxxxxxxxxxxxxA xxxxxxx011( )()()()()jjjjnA xaxxxxxxxx于是，所以我们得到 n 次Lagrange插值多项式：容易验证， yn(xi) = yi, i = 0, 1, 2, n0110111()()()()( )()()()(),1,2,jjnjjjjjjjnnijiiijxxxxxxxxA xxxxxxxxxxxjnxx00110( )( )( )y( )( )nnjjnnjyxAx yA xA x yAx y0( ),0,1,2,nijjiiijxxA xjnxx&A0(x)n 次插值

11、基函数：注意：增加一个节点，所有的基函数都要重新计算注意：增加一个节点，所有的基函数都要重新计算例例 已知插值点 (-2.00,17.00), (0.00,1.00), (1.00,2.00), (2.00,17.00), 求三次插值，并计算 f (0.6)。解解 先计算4个节点上的基函数：1230010203()()()( )()()()(0)(1.00)(2.00)( 2.000)( 2.00 1.00)( 2.002.00)1(1)(2),24xxxxxxA xxxxxxxxxxx xx 0231101213()()()1( )(2)(1)(2),()()()4xxxxxxA xxxxx

12、xxxxx0132202123()()()1( )(2) (2),()()()3xxxxxxA xxx xxxxxxx 三次Lagrange插值多项式为： f (0.6) L3(0.6) = -0.472.0123303132()()()1( )(2) (1).()()()8xxxxxxA xxx xxxxxxx3171( )(1)(2)(2)(1)(2)244217(2) (2)(2) (1).38L xx xxxxxxx xxx x n 次牛顿插值n 次牛顿插值的关键是要构造出1, 2, , n 阶差商。关于 2 个点的一阶差商（函数值之差与自变量之差的比值）关于 3 个点的二阶差商关于

13、k + 1 个点的 k 阶差商性质：性质：差商的值只与节点有关，而与节点的顺序无关，即差商对节点具有对称性。注：注：函数函数 f(x) 关于一个点关于一个点 x0 的零阶差商为函数的零阶差商为函数 f(x) 在在 x0 处的函数值处的函数值 f(x0) n 次牛顿插值n 次牛顿插值多项式计算量比拉格朗日插值计算少，便于程序设计。计算量比拉格朗日插值计算少，便于程序设计。n 次牛顿插值差商表xkf(xk)1 阶差商阶差商2 阶差商阶差商3 阶差商阶差商n 阶差商阶差商x0f (x0)x1f (x1)f (x0, x1)x2f (x2)f (x1, x2)f (x0, x1, x2)x3f (x3

14、)f (x2, x3)f (x1, x2, x3)f (x1, x2, x3, x4)xnf (xn)f (xn-1, xn)f (xn-2, xn-1, xn)f (xn-3, , xn)f (x0, x1, xn)n 次牛顿插值例3：已知一组观测数据如下，试用此组数据构造 3 次牛顿插值多项式 f3 (x)，并由此估算 f3 (1.5)、 f3 (2.5)的值。解：先作出如下差商表i01 2 3 xi1234yi0-5-63xiyi1阶差商阶差商2阶差商阶差商3阶差商阶差商102-5-53-6-1243951相相减减的的方方向向要要一一致致n 次牛顿插值差商表相应的 3 次牛顿插值多项式：

15、y3(x) = f (x0) + f (x0, x1)(x-x0) + f (x0, x1, x2)(x-x0)(x-x1) + f (x0, x1, x2, x3)(x-x0)(x-x1)(x-x2) = 0 + (-5)(x-1) + 2(x-1)(x-2) + 1(x-1)(x-2)(x-3) = 3 - 4x2 + x3f3 (1.5) y3(1.5) = 3 - 41.52 + 1.53 = -2.625f3 (2.5) y3(2.5) = 3 - 42.52 + 2.53 = -6.375xiyi1阶差商阶差商2阶差商阶差商3阶差商阶差商102-5-53-6-1243951逐次线性插值逐次线性插值是对线性插值函数再进行一次线性插值，从而得到高一次的插值多项式。设三个插值节点为(x0，y0), (x1，y1), (x2，y2)先用(x0，y0)和(x1，y1)两点进行拉格朗日线性插值，得再用(x0，y0)和(x2，y2)两点进行拉格朗日线性插值，得最后用x1, y(1)(x), x2, y(2)(x)作线形插值，得逐次线性插值 此函数为二次多项式，经过给定的三个插值节点。它是通过两次插值