高等数学复习ch(3)课件

1、高等数学复习ch(3)曲线积分与路径无关的定义曲线积分与路径无关的定义曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件二元函数的全微分的求积二元函数的全微分的求积高等数学复习ch(3)babaxFdxdxxdF)()(: 式式的的推推广广格格林林公公式式可可看看成成牛牛莱莱公公理理论论上上分分曲曲线线积积分分可可化化为为二二重重积积计计算算上上 :条条件件曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关的的应应用用上上:B(1,1)OAy=xxy1)2(210310222 xdxxxdyxxydxOB解解：110200222101022 dyxyxdxxdyxxydxABOA高等数学复习ch(3)Gyxo

2、 1LQdyPdx则则称称曲曲线线积积分分 LQdyPdx在在G内内与与路路径径无无关关, , 2LQdyPdx1L2LBA 否否则则与与路路径径有有关关. .一、曲线积分与路径无关的定义一、曲线积分与路径无关的定义GLLBAGBAGyxQyxPG 21,),(),(, 的的任任意意两两条条曲曲线线及及从从点点给给定定的的对对有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,内内具具在在是是一一个个开开区区域域点点设设定义定义高等数学复习ch(3)为为任任一一条条封封闭闭曲曲线线内内与与路路径径无无关关在在CQdyPdxGQdyPdxCL, 0 定理定理2,曲曲线线为为任任一一条条封封闭闭设设C证明证

3、明GyxoBAc2L1L 221LLL021 LL0, C即即BAC,上上任任取取两两点点在在高等数学复习ch(3)GyxoBA2L1L021 CLL的任意两条光滑曲线的任意两条光滑曲线为从为从设设BALLGBA 2, 1, 21LL 21LL即即高等数学复习ch(3) 设设开开区区域域G是是一一个个单单连连通通域域, , 函函数数),(),(yxQyxP在在G内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, ,则则曲曲线线积积分分 LQdyPdx在在G内内与与路路径径无无关关（或或沿沿G内内任任意意闭闭曲曲线线的的曲曲线线积积分分为为零零）的的充充要要条条件件是是xQyP 在在G内内恒恒成成立立.

4、 .定理定理3 3二、曲线积分与路径无关的条件二、曲线积分与路径无关的条件.由由格格林林公公式式是是显显然然的的 证明证明高等数学复习ch(3)xQyPGM 处处设设在在用用反反证证法法)(.02),0(/0 yPxQKMMMK上上恒恒有有在在02)( KdxdyyPxQQdyPdxxQyPGQdyPdxC 内内要要证证在在已已知知, 0, 0)(0 MyPxQ不不妨妨设设内内连连续续在在GxQyP ,有有的正向边界的正向边界是是设设,K !0相相矛矛盾盾的的面面积积与与为为 LQdyPdxK yPxQ 高等数学复习ch(3)(1) 开开区区域域G是是一一个个单单连连通通域域.(2) 函函数数

5、),(),(yxQyxP在在G内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数.两条件缺一不可两条件缺一不可 CCyxCyxxdyydxI 21:2222如如注02),(441:12222 yxGLGyxyPxQyxG但但内内部部的的任任一一闭闭路路包包含含原原点点在在高等数学复习ch(3).)2()(.)2, 1()0,0(的值的值且计算且计算面内与路径无关面内与路径无关证明曲线积分在整个平证明曲线积分在整个平 dyyxedxxeyy.2与与路路径径无无关关 xQeyPyxeQxePyyyM(1,2)(0,0)(1,0)xy 2010)2, 1()0 , 0()2()1()2()(dyyedxxdy

6、yxedxxeyyy272202102)1 (2 eyeyx例例1解解高等数学复习ch(3)dyyfdxxfdzyxfz ),(:前前面面讲讲过过).,()2(;),()1(,),(),(:yxuyxudyyxQdxyxP如如何何求求出出的的全全微微分分它它是是某某一一函函数数在在什什么么条条件件下下已已知知反反过过来来的的问问题题 三、二元函数的全微分的求积三、二元函数的全微分的求积高等数学复习ch(3) 设设开开区区域域G是是一一个个单单连连通通域域, , 函函数数),(),(yxQyxP在在G内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , 则则dyyxQdxyxP),(),( 在在G内内

7、为为某某一一函函数数),(yxu的的全全微微分分的的充充要要条条件件是是等等式式xQyP 在在G内内恒恒成成立立. .定理定理4 4高等数学复习ch(3).),(:),(:3,000内内与与路路径径无无关关的的曲曲线线积积分分在在终终点点，起起点点由由定定理理内内有有设设在在单单连连通通区区域域GyxMyxMxQyPG xQyPxQyxuyPyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdu 22),(),(),(),(),(则则，设设证明证明高等数学复习ch(3) ),(),(00),(),(),(),(yxyxLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(0),(:),(.,

8、yxyxoQdyPdxyxuyxuyx记记为为的的函函数数是是起起点点固固定定时时),(),(:的的原原函函数数称称为为下下面面将将证证明明QdyPdxyxuQdyPdxyxdu ),(),(yxQyuyxPxu 即即高等数学复习ch(3)yOxGM0(x0,y0)M(x,y)N(x+x,y)xyxuyxxuxux ),(),(lim0事实上，事实上，xyxyxMNyxyxxoo ),(),(),(),(000limxyxyxyxxyxxoo ),(),(),(),(000limxdxyxPxxxx ),(lim0),(),(lim0yxPxxyPx 高等数学复习ch(3)xQyP 若若 ),

9、(),(00),(yxByxAQdyPdxyxu则则dyyxQdxyxPyyxx),(),(000 ),(0yxC ),(yxB xyo),(00yxA dxyxPdyyxQxxyy),(),(000 或或高等数学复习ch(3).:22并并求求出出一一个个这这样样的的函函数数函函数数的的全全微微分分是是某某个个面面内内在在整整个个验验证证ydyxdxxyxoy .22是是某某个个函函数数的的全全微微分分ydyxdxxy 2202202020),()0 , 0(2000),(yxydyxydyxxydyxxdxyxuyyxBAAyx XB(x,y)A(x,0)yO(0,0)平面平面整个整个xoy

10、yxyQxyyPyxQxyP ),(222例例2解解高等数学复习ch(3)例例 3 3 设设曲曲线线积积分分 Ldyxydxxy)(2与与路路径径无无关关, 其其中中 具具有有连连续续的的导导数数, 且且0)0( , 计计算算 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy. 积分与路径无关积分与路径无关xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 高等数学复习ch(3)由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)( cxx 2)( 10100ydydx.21 高等数学复习ch(3)小结小结与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区