圆的有关证明及计算

1、2015圆的有关证明及计算1如图，直线AB与O O相切于点 A，弦CD / AB,E,F为圆上的两点，且/ CDE= / ADF .若O O的半径为 2 2 , CD=4.求弦EF的长2如图，直线I与半径为4的O O相切于点A, P是O O上的一个动点(不与点 A重合)，过点P作PB丄I，垂足为B，连接PA .设PA=x, PB=y.求(x- y)的最大值.3如图，已知 AB为O O的直径，AB=2, AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作O O的切线CF,分别交AD、BE于点M、N,连接AC、CB,若/ ABC=30 ,求AM的长.4如图，O O的直径AB为10cm,弦BC

2、为5cm, D、E分别是/ ACB的平分线与O O, AB的交点，P为AB延长线上一点，且 PC= PE.D(1) 求AC、AD的长；(2) 试判断直线 PC与O O的位置关系，并说明理由.(1) 求证：CD是O O的切线；(2) 若O O的半径为2,求图中阴影部分的面积.6如图，O O与RtA ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知/ B=30 O O的半径为12,弧DE的长度为4 n(1) 求证：DE / BC;(2) 若AF=CE，求线段BC的长度.7如图，在 RtA ABC中，/ ACB=90 以AC为直径作O O交AB于点D，连接CD .(1) 求证

3、：/ A=Z BCD ;B(2) 若M为线段BC上一点，试问当点 M在什么位置时，直线 DM与O O相切？并说明理由.8如图，AB是O O的直径，过点 A作O O的切线并在其上取一点 C,连接0C交O O于点D，BD的延长线交 AC于E,连接AD .(1) 求证： CDECAD ;(2) 若 AB=2 , AC=2 匚，求 AE 的长.9如图的O 0中，AB为直径，0C丄AB，弦CD与0B交于点F，过点D、A分别作O 0的切线交于点G ,并与AB延长线交于点E.(1 )求证：/ 1 = / 2.(2)已知：0F: 0B=1: 3,O 0的半径为3，求AG的长.10.如图，在RtAABC中，/

4、BAC=90 AB=4, AC=3，线段 AB为半圆 0的直径，将RtAABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆0相切于点6,得厶DEF , DF与BC交于点H .(1) 求BE的长；AD 0B(2) 求RtAABC与厶DEF重叠(阴影)部分的面积.11如图，O O是厶ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD丄AB于点D，延长DO交O O于占J 八、(1)(2)(3)P,过点P作PE丄AC于点E,作射线 DE交BC的延长线于 F点，连接PF .若/ POC=60 , AC=12，求劣弧PC的长；(结果保留 n求证：OD=OE;A求证：PF是O O的切线.12.如图，点B、C、D都在O O上，过C

5、点作CA/ BD交OD的延长线于点 A,连接BC,/ B=Z A=30 BD=3 .(1)求证：AC是O O的切线；(2)求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积.(结果保留 n13.如图，E是长方形 ABCD的边AB上的点，EF丄DE交BC于点F(1)求证： ADE BEF ;G1.733.14.D (2)设H是ED上一点，以EH为直径作O O, DF与O O相切于点 G,若DH=OH=3 , 求图中阴影部分的面积(结果保留到小数点后面第一位,14.如图，O 01与O 02外切与点D，直线I与两圆分别相切于点 A、B,与直线 01、02V3相交于点 M，且 tan/ AM01=, M

6、D=4(1) 求O 02的半径；(2) 求 ADB内切圆的面积；求证：0A丄BC;BC=6 -c i : sin / A0B=；四边形AB0C是菱形.A15如图，在半径为6cm的O 0中，点A是劣弧三的中点，点D是优弧二上一点，且/ D=30 16.如图，在O 0中，半径0C与弦AB垂直，垂足为 E,以0C为直径的圆与弦 AB的一个 交点为F, D是CF延长线与O 0的交点.若 0E=4, 0F=6，求O 0的半径和CD的长.CDO O的切线，交BC于E.(1) 求证：点E是边BC的中点；(2) 求证：BC2=BDSBA ；(3) 当以点0、D、E、C为顶点的四边形是正方形时， 求证： ABC

7、是等腰直角三角形.18如图，半径为6cm的O 0中，C、D为直径AB的三等分点，点 E、F分别在AB两侧的半圆上，/ BCE = Z BDF=60,连接AE、BF，求图中两个阴影部分的面积.19如图，在正方形 ABCD中，AD=2, E是AB的中点，将 BEC绕点B逆时针旋转 90 后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处.再将线段AF绕点F顺时针旋转90。得线段FG,连接EF , CG.(1) 求证：EF / CG ;(2) 求点C,点A在旋转过程中形成的 匚,G与线段CG所围成的阴影部分的面积.21.如图，已知(2)如图，PC.(1)如图, ABC是O O的内接三角形，AB=AC，

8、点P是小的中点,连接PA, PB,22.如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90 点D是AB边上一点，以 BD为直径的O O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点 F.(1) 求证：BD=BF ;(2) 若 CF=1，cosB= 求O O 的半径.520.如图，AB是O O的直径，AF是O O切线，CD是垂直于 AB的弦，垂足为 E,过点C 作DA的平行线与 AF相交于点F，CD= *二，BE=2 .求证：(1) 四边形FADC是菱形；(2) FC是O O的切线.23.已知直线PD垂直平分O O的半径OA于点 线，E为切点，连结 AE，交CD于点F.(1) 若O O的半径为

9、8,求CD的长；(2) 证明：PE=PF;(3) 若 PF=13, sinA=_，求 EF 的长.13B, PD交O O于点C、D, PE是O O的切AB FG24.如图，OC平分/ MON，点A在射线OC上，以点 A为圆心，半径为 2的O A与OM相切与点B,连接BA并延长交O A于点D，交ON于点E.(1) 求证：ON是O A的切线；(2) 若/ MON=60 求图中阴影部分的面积.(结果保留n)25.如图，在 RtAABC中，/ A=90 O是BC边上一点，以 O为圆心的半圆与 AB边相切9于点D,与AC、BC边分别交于点 E、F、G,连接OD,已知BD=2 , AE=3 , tan/

10、BOD=.3(1) 求O O的半径OD;(2) 求证：AE是O O的切线；(3) 求图中两部分阴影面积的和.1. 解：连接0A,并反向延长交 CD于点H，连接0C, 直线AB与O 0相切于点A, 0A 丄 AB,/弦 CD / AB, AH 丄 CD , CH = CD = 4=2,O O的半径为， OA=OC=,0H=、-二J =， AH = OA+OH=+=4, AC=v=2 / CDE= / ADF , = /., EF=AC=2 :.故选B .E2.作直径AC,连接CP，得出 APCPBA，利用 M=三，得出y= 1 所以x-y=x81 21 2 12- x = - x +x= -(x

11、- 4) +2,当 x=4 时，x- y 有最大值是 2.88 83.解：连接OM , OC,/ OB=OC，且/ ABC=30 / BCO= / ABC=30 ,/ AOC为厶BOC的外角，/ AOC=2 / ABC=60 , MA, MC分别为圆O的切线， MA=MC，且/ MAO = Z MCO=90在 RtA AOM 和 RtA COM 中，/MA=MClOM=OM RtAAOM 也 RtA COM ( HL ),/ AOM= / COM = Z AOC=30 ,在 RtAAOM 中，OA=AB=1，/ AOM =30 ,tan30=，即辺=塑,0A 31解得：AM=J.3故答案为：並

12、34解解：(1)如图，连接BD ,答：/ AB是直径， / ACB= / ADB=90 ,在 RTA ABC 中，AC=J2 _B(?=&02 _ 6 J， CD 平分/ ACB, AD=BD, RtA ABD是直角等腰三角形,2 2(2)直线PC与O O相切， 理由：连接OC,/ OC=OA,/ CAO= / OCA,/ PC=PE,/ PCE= / PEC,/ PEC= / CAE+Z ACE,/ CD 平分Z ACB, Z ACE= Z ECB, Z PCB= Z ACO,vZ ACB=90 ,直线PC与O O相切.(1)证明：连接OC. Z OCP= Z OCB+ Z PCB= Z A

13、CO+ Z OCB= Z ACB=90, OC 丄 PC,5解答:/ AC=CD , Z ACD=120 , Z A=Z D=30./ OA=OC, Z 2= Z A=30 . Z OCD=90 . CD是O O的切线./ 1=2 / A=60 . S扇形T 2-S扇形BOC=_.3603在 RtA OCD 中,占-AOCD图中阴影部分的面积为.:-36.解 解：（1）证明：连接 OD、OE,答: OD是O O的切线, OD 丄 AB，/ ODA =90 ,又弧DE的长度为4n, n=60, ODE是等边三角形,/ ODE=60，EDA=30 ,/ B=Z EDA, DE / BC .(2)连

14、接FD,/ DEF=90 , FD是O 0的直径，由(1)得：/ EFD=30 , FD=24, EF=j3,又因为/ EDA=30 DE=12, AE= ,又 AF=CE,. AE=CF, CA=AE+EF + CF=201,又 t旳上牺C二二晋 BC=60.7. (1)证明：T AC为直径， / ADC =90 , / A+ / DCA=90 ,/ ACB=90 , / DCB+Z ACD=90 , / DCB=Z A;(2)当MC = MD (或点M是BC的中点)时，直线 DM与O O相切; 解：连接DO , / DO = CO,/ DM=CM ,/ 4= / 3,/ 2+ / 4=90

15、 ,:丄 1+ / 3=90 ,直线DM与O O相切.8解答：（1）证明：T AB是O O的直径,/ ADB =90 ,/ B+ / BAD=90 ,AC为O O的切线， BA 丄 AC ,/BAC=90 ,即/ BAD + Z DAE=90 ,/ B= Z CAD ,/ OB=OD , Z B= Z ODB ,而 Z ODB = Z CDE, Z B= Z CDE , Z CAD=Z CDE,而Z ECD=Z DCA , CDE sCAD ;(2)解：T AB=2 , OA=1,在 RtA AOC 中，AC=2 二 OC=T匚 C=3， CD=OC- OD=3- 1=2 ,/ CDECAD

16、, !=打即亠一；CE CD CE 2 CE=9.解答：(1)证明：连结OD，如图，DE为O O的切线， OD 丄 DE , / ODE=90 即/ 2+Z ODC=90/ OC=OD, / C= / ODC , / 2+ / C=90 ,而 OCX OB, / C+ / 3=90 , / 2= / 3,/ 1 = / 2;(2)解：T OF: OB=1: 3,0 O 的半径为 3, OF=1 ,/ 1 = / 2, EF=ED,在 RtAODE 中，OD=3, DE=x，贝U EF=x, OE=1 + x,2 2 2t OD +DE =OE , 32+t2= (t+1) 2，解得 t=4,

17、DE =4, OE=5, AG为O O的切线， AG 丄 AE, / GAE=90 ,而/ OED= / GEA, RtA EOD s RtA EGA , = 即 _ =二 AG AE， AG 竟， AG=6.10.解解：(1)连结OG ,如图，答：/ BAC=90 AB =4 , AC=3 , bc=JabSm=5， AD=BE, DF=AC=3, EF=BC=5，/ EDF=Z BAC=90 EF与半圆O相切于点G, OG 丄 EF , AB=4，线段AB为半圆O的直径, OB=OG=2 , RtA EOGs RtA EFD ,匕i -EF DF即_：= ，解得OE=匚5 33 BE=OE

18、- OB=2=丄；334 8(2) BD=DE - BE=4 -=.3 3/ DF / AC,J DH 二 BD 即世3 丘卞，石肓，解得：DH=2. S 阴影bdh = BDRH =22 33,解答:(1)解：T AC=12, CO=6,=2 n;(2) 证明：T PE丄AC, OD 丄AB,/ PEA=90 / ADO=90在厶ADO和厶PEO中，rZAD0=ZPE0* ZAOD=ZPOE ,loa=oc POE AOD ( AAS), OD = EO;(3) 证明：如图，连接 AP, PC,/ OA=OP,/ OAP = Z OPA, 由(1 得 OD=EO, / ODE = / OED

19、 , 又/ AOP= / EOD , / OPA=Z ODE , AP / DF ,/ AC是直径，/ APC=90 ,/ PQE=90 PC丄EF,又 DP / BF ,/ ODE = / EFC ,/ CEF = / EFC , CE = CF, PC为EF的中垂线，/ EPQ = Z QPF, CEPs CAP / EPQ = / EAP, / QPF=Z EAP, / QPF=Z OPA,/ OPA+/ OPC=90 , / QPF+Z OPC=90 , OP 丄 PF , PF是O O的切线.解答：(1) 证明：连接OC,交BD于E,/ B=30，/ B=/ COD ,2 / COD

20、 =60 ,/ A=30 , / OCA=90 ,即 OCXAC , AC是O O的切线；(2) 解：T AC/ BD , / OCA=90 , / OED = / OCA=90 , DE= BD=:,2np/ sin / COD= ,0D OD=2 ,在 RtA ACO 中，tan/ COA= , oc AC=2 7,9 S 阴影乂X2X2厲=2 -L .2360313解 (1)证明：四边形 ABCD是矩形, 答：A= / B=90 ./ EF 丄 DE,/ DEF=90 ./ AED=90 -Z BEF= / EFB ./ A= Z B,Z AED= Z EFB , ADEBEF .(2)

21、解：T DF与O O相切于点G,OG 丄 DG . Z DGO =90 ./ DH =OH=OG,np sin Z ODG =.0：D Z ODG =30 . Z GOE=120 . G12。兀 x 32 cS 扇形 OEG=.=3 n .在 RtA DGO 中,EF_EF_V3tan/ EDF=DE 93 DG=3 7.在 RtA DEF 中, EF=3 _. Sdef=DE?EF=X9 X3匸一,-S 阴影= def DGO S扇形 OEG=.9 3 n9 X 1.733 3.14=6.15 6.2图中阴影部分的面积约为6.2.14.解 解：（1）连结01A、O2B，如图，设。01的半径为

22、r, Q 02的半径为R, 答：vQ O1与。O2外切与点D ,直线O1O2过点D, _ MO2=MD+O2D=4_；+R,v直线I与两圆分别相切于点 A、B, O1A 丄 AB , O2B 丄 AB ,v tan/ AM01=- / AM01=30 ,在 RtA MBO2 中，MO2=O2B=2R , 4；+R=2R，解得 R=4；,15.答:即。02的半径为4(2)v/ AMO2=30 ,/Z MO2B=60 ,而 O2B=O2D ,/ 02BD为等边三角形，/ BD=O2B=4W j：,Z DBO2=60 ,/Z ABD=30 ,vZ AMO1=30 ,/Z MO1A=60 , 而 01

23、A=01D ,/Z 01AD= Z 01DA ,1/Z 01AD= :Z M01A=3 ,/Z DAB=60 ,/Z ADB=180 - 30 - 60 =90 ,血BD=4, AB=2AD=8 ,AD+BD - AB 4+43 - 3=2 丘-2 ,在 RtA ABD 中，AD= . =n?(2丙2) 2= (16 3) n; ADB内切圆的半径 ADB内切圆的面积3J解：v点A是劣弧：的中点，OA过圆心, /OAL BC,故正确；vZ D=30 ,/Z ABC=Z D=30 ,/Z AOB=60 ,v点A是点A是劣弧L 的中点，/ BC=2CEv OA=OB/ OB=OB=AB=6cmVs

24、/ BE=AE3Cos30 =6 x =3 cm,/ BC=2BE=6 _:cm,故 B 正确； vZ AOB=60 ,V5/ sin Z A0B=sin60= 2 ,故正确；/ AOB=60, AB=OB点A是劣弧的中点, AC=OC AB=BO=OC=CA四边形ABOC1菱形， 故正确.故选B.16解答：解：T OE丄AB,:丄 OEF=90 ,/ OC为小圆的直径，/ OFC=90 ,而/ EOF = / FOC , RtA OEF s Rt OFC , OE: OF = OF : OC，即卩 4: 6=6: OC, O O的半径OC=9 ;在 RtA OCF 中，OF=6, OC=9,

25、 CF= .1：=3 ，/ OF 丄 CD , CF=DF, CD=2CF=6 .17.证明：（1）如图，连接 OD.t DE 为切线，/ EDC + Z ODC=90 / ACB=90 , / ECD + Z OCD=90 .又t OD=OC， / ODC=Z OCD , Z EDC= Z ECD , ED=EC;t AC 为直径，/ ADC=90 , Z BDE+ Z EDC=90 , Z B+Z ECD=90 , / B= Z BDE , ED=DB. EB=EC，即点E为边BC的中点；(2)v AC 为直径，/ ADC=/ACB=90 又二 B= / B ABCCDB , 丄BC2=B

26、D?BA； BC BD(3)当四边形 ODEC为正方形时，/ OCD=45 / AC为直径,/ADC=90CAD= / ADC / OCD=90 - 45 =45E RtA ABC为等腰直角三角形.18解答:解：如图作 DBF的轴对称图形 HAG，作AM丄CG , ON丄CE, / DBF的轴对称图形 HAG, ACG BDF ,/ ACG = Z BDF =60 ,/ ECB=60 , G、C、E三点共线，/ AM 丄 CG , ON 丄 CE, AM / ON ,型 _E=2 0M oc T在 RTAONC 中，/ OCN=60 , ON=sin/ OCN?OC=近?OC ,2/ OC=丄

27、0A=2 , ON=V , AM =2 任,/ ON 丄 GE, ne=gn=2ge,2连接OE,在RTAONE中，=寸厲2-0祈吋6亍-（丘）负, GE=2NE=2 负, S age=丄GE?AM=丄 沦、阳 X2jF=6 JTI,2 2图中两个阴影部分的面积为 6 岳,故答案为6向.19解答:(1 )证明：在正方形 ABCD 中，AB=BC=AD=2，/ ABC=90 , BEC绕点B逆时针旋转90得到 ABF , ABF CBE,/ FAB= / ECB ,Z ABF= / CBE=90 , AF=EC ,/ AFB+ / FAB=90 ,线段AF绕点F顺时针旋转90得线段FG,/ AF

28、B+ / CFG= / AFG=90 ,/ CFG= / FAB= / ECB , EC / FG ,/ AF=EC , AF=FG , EC=FG ,四边形EFGC是平行四边形， EF / CG ;(2)解：T AD=2 , E是AB的中点，_L 1 FE=BE= -AB=勺=1 ,.AF=勇匸-由平行四边形的性质， FEC CGF , SA FEC=SA CGF , S 阴影=S 扇形 BAC+S ABF+S FGC - S 扇形 FAG ,90兀鸟i i+ 22xi+ 2x( 1+2)20解答：证明：(1)连接OC,/ AB是O O的直径，CD丄AB ,丄 1 CE=DE=，：CD=冈；

29、=2；,设 OC=x,/ BE=2 , OE=x - 2,在 Rt OCE 中，OC2=OE2+CE2 , x2= (x - 2) 2+ (2 :) 2,解得：x=4 , OA=OC=4，OE=2 , AE=6 ,在 Rt AED 中，AD= f =4 爲 AD=CD ,/ AF是O O切线， AF 丄 AB ,/ CD 丄 AB , AF / CD , / CF / AD ,四边形FADC是平行四边形， ? FADC是菱形；(2)连接OF,四边形FADC是菱形， FA=FC,在厶AFO和厶CFO中，rFA=FCPF二OFPARC , AFO CFO (SSS), / FCO= / FAO=90 ,即 OCX FC,/点 C 在O O 上, FC是O O的切线.21.解答:解：(1 )/ BPC=60 ,/ BAC=60 ,/ AB=AC , ABC为等边三角形，/ ACB= / ABC=60 ,/ APC= / ABC=60 ,.而点P是小的中点，_1/ ACP= -Z ACB=30 ,/ PAC=90 ,PA 业 tanZ PCA= =tan30 =, AC= :PA;(2)过A点